福建省泉州市南安市多校2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省泉州市南安市多校2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式：“被开方数不含开方开的尽的因数或因式，不含分母”，进行判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，最简二次根式，符合题意；
D、，不符合题意；
故选C．
2. 若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠B=60°，则∠C′等于 （ ）
A. 20°B. 40°C. 60°D. 80°
【答案】D
【解析】
【详解】∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠C′=∠C=180°-40°-60°=80°
故选：D.
3. 若把方程化为的形式，则的值是（ ）
A. 5B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：将配方得，
，
则，
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
4. 在中，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，csA，csB和tanB即可．
【详解】解：由勾股定理得：BC==3，
所以sinA=，csA=，csB=，tanB=，
即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
5. 一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，小明通过大量摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则估计红球的个数约为（ ）
A. 35个B. 60个C. 90个D. 130个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估算概率，根据部分的具体数目=总体数目×相应频率直接计算即可．
【详解】摸到红球的频率为30%，
估计红球的个数约为（个）
故选B．
6. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的元降到了元，设平均每次降价的百分率为，列出方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据降价后的价格=原价(1-降低的百分率)，本题可先用x表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价,即可列出方程．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x,
由题意得出方程为．
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解决此类两次变化问题，可利用公式,其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的降低率．
7. 如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似多边形的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟练掌握相似多边形的定义，是解题的关键．
8. 如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（ ）

A. 的值越大，梯子越陡
B. 的值越大，梯子越陡
C. 的值越小，梯子越陡
D. 陡缓程度与的函数值无关
【答案】A
【解析】
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减小，逐一判断即可．
【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
陡缓程度与的函数值有关，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键．
9. 如图，在中，，，，两条中线和相交于点，则的长是（ ）

A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查重心的性质，斜边上的中线．利用勾股定理求出的长，斜边上的中线，求出的长，再利用重心的性质，得到，即可得出结果．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，重心的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵两条中线和相交于点，
∴，点为的重心，
∴，
∴，
∴；
故选B．
10. 对于一元二次方程，下列说法正确的（ ）
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
A. 只有①②B. 只有①②④C. ①②③④D. 只有①②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键．
根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可．
【详解】解：①若，则是原方程的解，即方程至少有一个根，由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：，故①正确；
②∵方程有两个不相等的实根，
∴，
∴，
又∵方程的判别式为，
∴方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③∵c是方程的一个根，
∴，
∴，
∴或，
即有两种可能性，故③错误；
④若是一元二次方程的根，
则根据求根公式的：
或，
∴或，
∴，
故④正确，
正确的为：①②④．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 计算：_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握是解本题的关键，本题判断，再化简即可．
【详解】解：，
故答案为：
12. 如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约______m（结果取整数）．（参考数据：，，）

【答案】21
【解析】
【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵是等腰三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴共需钢材约为；
故答案为21．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
13. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则总面积为9，其中阴影部分面积为5，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
14. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，
∵该方程一个根为，令，
∴，解得：．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，．
15. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
16. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接，有以下五个结论：①；②；③A、F、C三点共线；④若，则．你认为其中正确的是 ______．（填写序号）

【答案】①②③
【解析】
【分析】①由正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得出，再根据角的和差即可得证；
②根据等腰直角三角形的性质可得出，从而得证；
③连接，根据正方形的性质得出，再根据相似三角形的性质即可证得，从而得出结论；
④根据设，可设，，根据勾股定理得出，易证，然后根据相似三角形的性质可得出、的值，再求比即可得出答案．
【详解】解：①∵正方形和正方形，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∴①正确，符合题意；
②∵和都是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴②正确，符合题意；
③连接

四边形为正方形，、为对角线
∵，
∴，
∴；
A、F、C三点共线；
∴③正确，符合题意；
④∵，
∴设，，
∴，
在中，由勾股定理知：
，
，
∴，
∴④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、正方形的性质，以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，根据二次根式的混合运算法则以及特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
或，
，．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】,
【解析】
【分析】根据分式混合运算法则先化简，再将字母值代入求解即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则及二次根式性质化简是解决问题的关键．
20. 关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果是方程的两个解，令，求w的最大值．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1＋x2＝3，x1•x2＝k＋1，结合w＝x1x22＋x12x2＋k，由增减性可求w的最大值．
【小问1详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2−3x＋k＋1＝0有实数根，
∴Δ＝b2−4ac＝（−3）2−4×1×（k＋1）≥0，
解得：k≤，
∴k取值范围为k≤；
【小问2详解】
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−3x＋k＋1＝0的两个解，
∴x1＋x2＝3，x1•x2＝k＋1．
∴w＝x1x22＋x12x2＋k＝x1x2（x1＋x2）＋k＝3（k＋1）＋k＝4k＋3，
∴k＝时，w的最大值为4×＋3＝5＋3＝8．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合w＝x1x22＋x12x2＋k，根据增减性可求w的最大值．
21. 某节能灯厂出售一批额定功率为的节能灯，每盒装有100个节能灯，由于包装工人的疏忽，在包装时混进了额定功率的节能灯．某批发商从工厂购进了50盒的节能灯，每盒中混入灯数如表：
（1）平均每盒混入几个灯？
（2）若一盒混入节能灯的数量大于，工厂需给批发商赔偿．从这50盒中任意抽取一盒，记事件A为：该盒需要给批发商赔偿．求事件A的概率．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）先求出灯数个数，除以盒数就是平均每盒混入的个数；
（2）求出需要赔偿的盒数，再根据概率公式求出即可．
【小问1详解】
灯数个数：，
平均每盒混入：(个)
【小问2详解】
每盒中混入0个，1个，2个，数量小于等于，不用赔偿，
混入3个数量是，混入4个数量是，需要赔偿，
【点睛】此题考查了概率问题，解题的关键是读懂题意并根据概率公式求解．
22. 如图，已知，，为射线上两点，且．
（1）求作菱形，使得点在射线上；要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在(1)的条件下，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）以B点为圆心，长为半径画圆，交于点C，再分别以C，A为圆心长为半径画，相交于D点，即可得出答案；
（2）根据已知条件得出是直角三角形，进而勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图，菱形为所求作的图形．
【小问2详解】
解：如图所示，
∵，，
∴，
∵，
∴是直角三角形，且，
在中，．
【点睛】本题考查了作菱形，勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. 为加强疫情防控工作，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如下表：
问题解决：学校要求测温区域的宽度为4m，师生身高设定为．当师生从A走到B时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到m；参考数据，）
【答案】m
【解析】
【分析】过点作交CE于点F，解和，进行求解即可．
【详解】解：如图，过点作交CE于点F，
设．
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解方程得，
安装高度，
∴该设备的安装高度为m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．正确的添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
24. 阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务．
任务：
（1）计算： ；
（2）我们知道：；；；则 ；
（3）列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？”
【答案】（1）20706
（2）
（3）这群人共有11人
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化规律
（1）根据方法1：“头尾相加法”，即可解答；
（2）根据方法2：“递归法”计算即可；
（3）设这群人共有人，根据等差数列求和公式和平均数公式得到关于梨子个数的方程，解方程求解即可解答．
【小问1详解】
，
故答案为：20706；
【小问2详解】
令 ①，
②
②①：有，
故答案为：；
【小问3详解】
设这群人共有人，
由题意，得，
即，
解方程，得（舍去），，
答：这群人共有11人．
25. 在矩形中，点在上，，．直角尺的直角顶点放在点处，直角尺的两边分别交、于点、，连接（如图1）．
（1）当点与点重合时，点恰好与点重合（如图2）．
①求证：；
②求、的长．
（2）探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点顺时针旋转，当点和点重合时停止，在这个过程中（图1是该过程的某个时刻），观察、猜想并解答：的值是否发生变化？请说明理由．
【答案】（1）①见解析；②，
（2）不变，理由见解析
【解析】
【分析】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
（1）①根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
②利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求解即可；
（2）的值不变．如图1，过F作，垂足为点G，四边形是矩形．利用相似三角形的性质证明即可．
【小问1详解】
解：①证明：如图2
四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
；
②解：四边形是矩形，，
，
又，
，
即．
，，
；
【小问2详解】
解：的值不变．
理由：如图1，过作，垂足为点，
∵四边形是矩形．
，，
在中，，
又，
．
．
，
，
在中，，
的值不变．
每盒中混入灯数（个）
0
1
2
3
4
盒数
14
25
9
1
1
名称
红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数
最大探测角：
安装要求
本设备需要安装在垂直于水平地面的支架上，且
求为正整数）方法欣赏
在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏．
方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2
．．．．．．．．① 则．．．．．．②
①+②得 即：
∴．
方法2：“递归法”（设．
由完全平方公式可得，．
我们列出特殊情况：；
；
；
…
．
两边分别相加可得，．
．