江苏省苏州市苏州国裕外语学校2024-2025学年高二上学期12月阶段性检测数学试题-A4

这是一份江苏省苏州市苏州国裕外语学校2024-2025学年高二上学期12月阶段性检测数学试题-A4，共18页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在 SKIPIF 1 < 0 轴上截距为 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2.抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A. B. C. D.
3.设数列满足，（），若数列是常数列，则（ ）
A. B. C. D.
4.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5.从圆外一点向圆引切线，则此切线的长是（ ）
A. B. 2C. D.
6. 意大利数学家斐波那契在年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列 SKIPIF 1 < 0 ，此数列满足： SKIPIF 1 < 0 ，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即 SKIPIF 1 < 0 ，则在该数列的前项中，奇数的个数为（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆，点关于直线的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知为棱长为的正方体的内切球表面一动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9.在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则是椭圆 B．若，则是椭圆
C．若，则是双曲线 D．若，则是双曲线
10.下列命题正确的是（ ）
A．已知数列是等差数列，那么数列一定是等差数列
B．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为24
C．已知等差数列与的前n项和分别为与，若，则
D．已知等差数列的前n项和为，公差，若，则必有是中最大的项
11.已知为椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，轴，垂足为(异于原点)，与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A. B. 面积的最大值为
C. 周长的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.在平面直角坐标系中，若F是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，则
.
13.已知等差数列的前项和为，若则 .
14.已知直线与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，若四点共圆，则的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤．
15.（本题13分）已知两个等差数列、，其中，，，记前项和为，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）记，设，求．

16.（本题15分）如图，在棱长为的正方体中，分别是棱的中点，为棱上的动点．
（1）若点为中点，证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
17.（本小题15分）如图，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，且抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 是的重心， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）求抛物线的方程和点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（2）求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标及 SKIPIF 1 < 0 所在的直线方程.
18.（本题17分）如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为坐标原点)的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前项和，探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（3）是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
19.（本题17分）
已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．
（3）如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．

阶段性检测卷解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在 SKIPIF 1 < 0 轴上截距为 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜截式直接整理可得.
【详解】因为倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以斜率 SKIPIF 1 < 0 .
由斜截式可得直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2.抛物线的焦点到准线的距离是（ ）.
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将抛物线的方程化为标准方程，根据焦准距的意义，可得答案.
【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，
则其焦准距为，即焦点到准线的距离是，
故选：B
3.设数列满足，（），若数列是常数列，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：因为数列是常数列，所以，即，解得，故选A.
4.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【解析】对于A，，三个向是，，共面
对于B，，三个向量，，共面
对于D，，所以三个向量，，共面
对于C，若，不存在实数，使得等式成立，所以，，不共面
选C
5.从圆外一点向圆引切线，则此切线的长是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理可求切线长.
【详解】
设切点为，圆心为，连接，则，
而，
故选：B .
6.意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列 SKIPIF 1 < 0 ，此数列满足： SKIPIF 1 < 0 ，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即 SKIPIF 1 < 0 ，则在该数列的前 2022 项中，奇数的个数为( )
A. 672B. 674C. 1348D. 2022
【答案】C
【解析】
【分析】先考虑前6项的奇偶性，从而可得各项奇偶性的周期性，故可得正确的选项.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故各项奇偶性呈现周期性(奇奇偶)，
且周期为3，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故奇数的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
7.已知椭圆，点关于直线的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得点关于直线的对称点的坐标，根据点的坐标满足椭圆方程，整理化简求得，再结合离心率计算公式求解即可.
【详解】易知点关于直线的对称点为，
根据题意可得：，故可得或，又，故；
则离心率.
故选：D.
8.已知P为棱长为1的正方体的内切球表面一动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图建立坐标系，可将转化为在方向上的投影向量长度的倍，结合图形可得答案
【详解】如图以A为原点，分别为x，y，z轴建系，
则，
则，又，
则.
表示在方向上的投影向量的长度.
如图当P在G或F时，即当A，O，P共线时，取最值.
因，内切球半径为.则,
则，则.
故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9.在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则是椭圆 B．若，则是椭圆
C．若，则是双曲线D．若，则是双曲线
【答案】BC
10.下列命题正确的是（ ）
A．已知数列是等差数列，那么数列一定是等差数列．
B．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为24．
C．已知等差数列与的前n项和分别为与，，若，则．
D．已知等差数列的前n项和为，公差，若，则必有是中最大的项．
10.ABD
11.已知为椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，轴，垂足为(异于原点)，与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A.
B. 面积的最大值为
C. 周长的最小值为12
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A,设，则，设,利用点差法推出，判断A；利用基本不等式结合三角形面积公式，判断B；利用椭圆的定义以及几何性质判断C；利用基本不等式中“1”的巧用，结合基本不等式可判断D.
【详解】对于A,设，则，设 ,
由题意可知 ，
则 ，两式相减得，
即，即 ,
由 ,
则，即，故A正确；
对于B，由A的分析可知，不妨设点在第一象限，则，
所以，当且仅当时取等号，
故 ，故B正确；
对于C，由题意知左焦点为,设右焦点为，，
则根据椭圆的对称性可知,故周长为 ,
而的最小值为椭圆的短轴长 ，由题意可知不能与椭圆短轴重合，
故周长大于，C错误；
对于D，由C的分析可知， ，
故
,当且仅当时取等号，D正确，
故选：ABD
【点睛】本题综合考查了椭圆的定义的应用以及几何性质的应用，涉及到线段的垂直和三角形面积以及周长的最值得求法，解答时要注意综合利用椭圆的相关知识以及基本不等式的知识解决问题，属于较难题，计算量较大.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.在平面直角坐标系xOy中，若F是抛物线y＝x2的焦点，P（2，m）是抛物线上的一点，则|PF|＝ ．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，若F是抛物线y＝x2的焦点，
可得抛物线的准线方程：y，P（2，m）是抛物线上的一点，
可得m＝4，由抛物线的定义可知|PF|＝．
故答案为：．
13.已知等差数列的前项和为，若则__________
【答案】380
解：a1＝2，则a1+a10＝a4+a7＝22，解得a10＝20，
故．
14.已知直线与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，若四点共圆，则的值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】设出所在圆的圆心以及圆方程，根据圆心坐标满足的垂直平分线，结合直线为圆与圆的相交线直线，比较系数，即可求得结果.
【详解】设所在圆的圆心为，则圆方程为；
又的中点坐标为，，故垂直平分线的斜率，
则的垂直平分线所在方程为：，即，故；
因为直线为圆与圆的相交弦，故两圆方程作差可得：，
即，又直线方程为，
则，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写成文字说明，证明过程或验算步骤．
15.已知两个等差数列、，其中，，，记前项和为，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）记，设，求．
【解析】（1），当时，，
满足，.
设等差数列的公差为，则，
；
（2）由（1）知，，.
16.如图，在棱长为的正方体中，分别是棱的中点，为棱上的动点．
（1）若点为中点，证明：平面;
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
17.如图，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，且抛物线的焦点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求抛物线的方程和点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标及 SKIPIF 1 < 0 所在的直线方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 值，得到点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2) 设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 即可求出线段 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,再求出直线 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程.
【小问1详解】
由点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由于 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为为 SKIPIF 1 < 0 的中点，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
18.如图，曲线 SKIPIF 1 < 0 下有一系列正三角形，设第n个正三角形 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为坐标原点)的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值
（2）记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
（3）是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，用 SKIPIF 1 < 0 表示出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再代入曲线方程，计算作答.
（2）根据给定条件，利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 表示出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，代入曲线方程即可得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，再利用递推关系求出通项作答.
【小问1详解】
依题意， SKIPIF 1 < 0 为正三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，观察图象得 SKIPIF 1 < 0 ，而点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 是正三角形，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 满足上式，因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 .
由（2）知
所以，
令
则
所以，所以是递减数列，
所以，
所以使得不等式 一切正整数都成立，
则，
即
因为正实数，所以．
19.已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点．
(3)如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．

【过程解析】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C上，
又的横坐标为1，
∴椭圆必不过，
∴三点在椭圆C上．
把代入椭圆C，
得，解得，
∴椭圆C的方程为．
（2）证明：①当斜率不存在时，设,，
∵直线与直线的斜率的和为，
∴，
解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设,，，
联立，消去y整理得，
则，，
则
,
又，∴，此时，
故存在k，使得成立，
∴直线l的方程为，即
∴l过定点．
（3）∵点P，Q在椭圆上，所以，，
两式相减可得，
又是线段PQ的中点，
∴，
∴直线PQ的斜率，
∴直线PQ的方程为，与抛物线方程联立消去x可得，
由题可知，∴，
又G在椭圆内部，可知，∴，故，
设，，由图可知，，
∴，
当直线TD的斜率为0时，此时直线TD与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，
设直线TD的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得，
∴，
由，可知，即，
∴，即，
∴，
∵，
∴，解得，即，
的取值范围是.