江苏省连云港市灌云县光裕中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省连云港市灌云县光裕中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（3*8=24分）
1. 如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D=85°，则∠B=（ ）
A. 85°B. 95°C. 105°D. 115°
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．
【详解】∵ABCD为⊙O内接四边形，∠D=85°，
∴∠B=180°−∠D=180°−85°=95°
故选：B．
【点睛】考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
2. 下列是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，即可求解．
【详解】解：A． ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
B． ，含有2个未知数，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，含有2个未知数，故该选项不正确，不符合题意；
D． ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3. 已知矩形中，，，以A为圆心，为半径作，则（ ）
A. B在内，C在外
B. D在内，C在外
C. B在内，D在外
D. B在上，C在外
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据勾股定理，可得的长，根据点与圆心的距离d，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
【详解】解：如图，
矩形中，

由勾股定理，得，
∴，
∴B在内，C在外，D在上，
故选：A．
4. 若和是的解，则的值为（ ）
A. -5B. 5
C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】先用分解因式法解方程，再与已知进行比较即可得出答案.
详解】解：∵，∴2x+m=0或x－4=0，∴.
又∵和是的解，∴，∴m=5.
故选B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握分解因式法解方程的方法是解题的关键.
5. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），，则的度数是（ ）
A. 50°B. 60°C. 25°D. 30°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理进行解答即可．
【详解】∵∠AOD=130°，∴∠BOD=50°，∴∠C=25°．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
6. 如图，C、D是⊙O上的两点，且位于直径AB两侧，连接BC、CD、BD，若，则（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】根据直径所对圆周角得出∠ACB=90°，求出∠CAB=90°-∠CBA=90°-20°=70°，利用同弧所对圆周角性质得出∠CDB=∠CAB=70°即可．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵，
∴∠CAB=90°-∠CBA=90°-20°=70°，
∴∠CDB=∠CAB=70°．
故选：D．
【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，三角形内角和，同弧所对圆周角性质，掌握直径所对圆周角性质，三角形内角和，同弧所对圆周角性质是解题关键．
7. 某养殖户的养殖成本逐年增长，第一年的养殖成本为16万元，第3年的养殖成本为25万元．设养殖成本平均每年增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设养殖成本平均每年增长的百分率为x，则第二年的成本为万元，第三年的成本为万元，再根据第三年的养殖成本为25万元列出方程即可．
【详解】解：设养殖成本平均每年增长的百分率为x，则第二年的成本为万元，第三年的成本为万元，
由题意得，
故选C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
8. 定义运算：x※y=（x-y）（x-y+1）+1，如3※2=（3-2）×（3-2+1）+1=3，则方程x※2=0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 无实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据新运算化简得到，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程的根的情况．
【详解】解：根据题意得，
化简得，
，
方程无实数根．
故选D．
【点睛】本题主要考查了新运算、一元二次方程的根与系数的关系．
二、填空题（3*8=24分）
9. 若关于x的一元二次方程有一个根为1，则______．
【答案】2023
【解析】
【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，将代入方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：2023．
10. 一元二次方程（x﹣1）2＝1的解是_____．
【答案】x＝2或0
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：∵（x﹣1）2＝1，
∴x﹣1＝±1，
∴x＝2或0
故答案为：x＝2或0
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的方法，形如x2=p或(nx+m)2=p(p⩾0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
11. 已知关于的方程两根为、，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出即可．
【详解】解：关于的方程两根为、，
．
故答案是：．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
12. 化成一般形式是____________．
【答案】x2-14x+21=0
【解析】
【分析】根据去括号、移项、合并同类项，可得方程的一般形式．
【详解】解：（x-4）2+5=6x
去括号，得
移项，合并同类项，得
化成一般形式是x2-14x+21=0，
故答案：x2-14x+21=0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13. 如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是75°、45°，则∠1的度数为_____.
【答案】15°
【解析】
【分析】根据圆周角和圆心角的关系解答即可．
【详解】解：由图可知，∠AOB＝75°﹣45°＝30°，
根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，
∠1＝∠AOB＝×30°＝15°．
故答案为15°
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14. 如图，已知A、B、C、D为圆上四点，弧AD、弧BC的度数分别为120°和40°，则∠E＝______．
【答案】40°
【解析】
【分析】首先设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，BD，由弧AD、弧BC的度数分别为120°和40°，可得∠AOD=120°，∠BOC=40°，然后由圆周角定理，求得∠BDC与∠ABD的度数，继而求得答案．
【详解】设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，BD，
∵弧AD、弧BC的度数分别为120°和40°，
∴∠AOD=120°，∠BOC=40°，
∴∠BDC=∠BOC=20°，∠ABD=∠AOD=60°，
∴∠E=∠ABD-∠BDC=40°．
故答案为：40°．
【点睛】此题考查圆周角定理以及三角形外角的性质．解题关键在于注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15. 如图，在半径为5的中，于点，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据圆心角相等得到所对的弦相等，再利用等腰三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴在中，．
故答案为：3．
【点睛】本题考查圆、等腰三角形及勾股定理，熟练应用圆的基础知识、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
16. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则_____．
【答案】6
【解析】
【分析】由一元二次方程根的判别式可求出a的取值范围，再根据根与系数的关系可得出最后将，变形为，再整体代入，求出a即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
∵
∴，
解得：，符合题意．
故答案为：6．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
三、解答题：本大题共102分．
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用直接开平方法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解；
（3）利用因式分解法解答，即可求解；
（4）利用因式分解法解答，即可求解．
【小问1详解】
解：
∴，即，
解得：；
【小问2详解】
解：
∴，
∴，
解得：；
【小问3详解】
解：
∴，
∴，
∴，
解得：；
【小问4详解】
解：，
∴，
解得：．
18. 如图，已知、是的两条直径，若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，等边对等角．根据同弧所对的圆周角相等，得到，根据，得到，即可得出结果．掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵、是的两条直径，
∴，
∴．
19. 已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣3＝0．
（1）若此方程的一个根为2，求另一个根及m的值
（2）求证：不论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）方程的另一个根为﹣1，m的值为1；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先把x＝2代入方程得m＝1，则方程化为x2﹣x﹣2＝0，设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得到2+t＝1，然后求出t即可；
（2）计算判别式的值得到△＝（m﹣2）2+8，然后利用非负数的性质可判断△＞0，然后根据判别式的意义可得到结论．
【详解】（1）解：把x＝2代入方程得4﹣2m+m﹣3＝0，解得m＝1，
方程化为x2﹣x﹣2＝0，
设方程的另一根为t，
则2+t＝1，解得t＝﹣1，
即方程的另一个根为﹣1，m的值为1；
（2）证明：△＝m2﹣4（m﹣3）
＝m2﹣4m+12
＝（m﹣2）2+8，
∵（m﹣2）2≥0，
∴△＞0，
∴不论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】此题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，一元二次方程根的判别式.
20. 如图，在四边形中，．
（1）经过点A、B、D三点作；
（2）是否经过点C？请说明理由．
【答案】（1）图见解析
（2）经过，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图—作圆，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线．
（1）连接，作的中垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆即可；
（2）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可得出结论．
掌握直角所对弦为直径，是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
经过点，理由如下：
连接，
∵，点为的中点，
∴，
∴点在上．
21. 为打造“绿色城市”降低空气中的浓度，积极投入资金进行园林绿化工程，已知2017年投资1000万元，预计2019年投资1210万元，若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）若增长率不变，请你计算一下2020年投资多少万元？
【答案】（1）平均每年投资增长率为
（2）1331万元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
（1）设平均每年投资增长率为，根据2017年投资1000万元，预计2019年投资1210万元，列出方程，进行求解即可；
（2）用2019年投资金额乘以，进行求解即可．
读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．
【小问1详解】
解：设平均每年投资增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：平均每年投资增长率为；
【小问2详解】
万元，
答：2020年投资1331万元．
22. 如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出即可；
（2）根据垂径定理，勾股定理求出ME，进而求出MB即可．
【详解】证明：（1）∵AB＝CD，
∴，
又∵点M是弧AC的中点，
∴，
∴，
即：，
∴MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，
在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，
∴ME＝＝＝，
∴MD＝MB＝2ME＝2．
【点睛】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理、勾股定理是正确计算的前提．
23. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先利用等腰三角形性质得出∠DBC=∠DCB，进而利用圆内接四边形的性质得出∠EAD=∠DCB，再利用圆周角定理求出∠DAE与∠DAC相等．
【详解】解：∠DAE与∠DAC相等，
理由：∵DB＝DC，
∠DBC＝∠DCB，
∵∠DAE是四边形ABCD的一个外角，
∴∠EAD＝∠DCB，
∴∠DBC＝∠EAD，
又∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠DAC．
【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题关键是得出∠DBC=∠EAD．
24. 某商店的一种服装，每件成本为50元，经市场调研，售价为60元时，可销售800件，售价每提高5元，销售量将减少100件，已知商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少？
【答案】70元或80元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设这种服装每件售价是x元，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设这种服装每件售价是x元，根据题意得：
，
整理得：，
解得：，
答：这种服装每件售价是70元或80元．
25. 如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，求运动时间．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设运动时间为，则，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为，则，依题意，得：
，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
即当的面积等于时，运动时间为．