2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之中心对称练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之中心对称练习，共19页。
A．刘徽的割圆术B．中国七巧板
C．杨辉三角D．赵爽弦图
2．（2024秋•江南区期中）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）
3．（2024秋•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，﹣2）和点B（1，b）关于原点对称，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
4．（2024秋•南昌县期中）已知点P与Q关于原点对称，若点P在第四象限，则点Q落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（2024•蓬江区校级二模）若点P（﹣m，m﹣3）关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＞3B．0＜m＜3C．m＜0D．m＜0或m＞3
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•长乐区期中）如图，在等边三角形ABC中，O为BC的中点，AB＝2，△BPQ与△BAO关于点B中心对称，连接CP，则CP的长为 ．
7．（2024秋•罗定市期中）如图，已知△ABC与△ADE关于点A中心对称，若AC＝3cm，则CE的长为 cm．
8．（2024秋•官渡区校级期中）已知点A（a，2022）与点A′（﹣2023，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为 ．
9．（2023秋•西城区校级期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长是 ．
10．（2023秋•杨浦区期末）如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有 种．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•南昌期中）如图，一块等腰直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置（A，C，B′三点共线）．
（1）直接写出旋转角的度数；
（2）连接AA′，BB′，它们相交于点M，求证：点A与A′关于点M成中心对称．
12．（2023秋•新民市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
13．（2024•龙亭区一模）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB．
（1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明；
（2）如图2，若点D在边BC上，DC＝2，AC=19，求AB的长．
14．（2024秋•广州期中）如图，已知坐标系中△ABC．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A′B′C′；
（2）直接写出△A′B′C′各顶点的坐标．
15．（2024春•南京期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，1），B（﹣1，3），A'（2，﹣1），线段A'B'与线段AB成中心对称．
（1）对称中心M的坐标是 ；
（2）A'B'与AB的关系为 ；
（3）若P（a，b）是线段AB上的点，则点P关于点M对称的点的坐标为 （用含a，b的式子表示）．
2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之中心对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024•朔州模拟）我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．刘徽的割圆术B．中国七巧板
C．杨辉三角D．赵爽弦图
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（2024秋•江南区期中）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称，解题的关键是掌握点的坐标变化规律．
3．（2024秋•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，﹣2）和点B（1，b）关于原点对称，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】A
【分析】根据“点的坐标关于原点对称，这两个点的横纵坐标都互为相反数”可得a＝﹣1，b＝2，然后代入求解即可．
【解答】解：根据题意可知，
点A（a，﹣2）和点B（1，b）关于原点对称，
∴a＝﹣1，b＝﹣（﹣2）＝2，
∴a﹣b＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查点的坐标关于原点对称，掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键．
4．（2024秋•南昌县期中）已知点P与Q关于原点对称，若点P在第四象限，则点Q落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】B
【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，进行计算即可．
【解答】解：∵P在第四象限，点P与Q关于原点对称，
∴点Q落在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了关于原点对称，掌握关于原点对称，横纵坐标都互为相反数是解题的关键．
5．（2024•蓬江区校级二模）若点P（﹣m，m﹣3）关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＞3B．0＜m＜3C．m＜0D．m＜0或m＞3
【考点】关于原点对称的点的坐标；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；平面直角坐标系；符号意识；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【解答】解：点P（﹣m，m﹣3）关于原点的对称点为（m，3﹣m），
∵（m，3﹣m）在第二象限，
∴m＜03−m＞0，
解得m＜0，
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•长乐区期中）如图，在等边三角形ABC中，O为BC的中点，AB＝2，△BPQ与△BAO关于点B中心对称，连接CP，则CP的长为 23 ．
【考点】中心对称；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】23．
【分析】根据等边三角形的性质，得BO＝1，∠AOB＝90°，AO=3，再根据中心对称的性质，得BQ＝BO＝1，PQ＝AO=3，∠Q＝∠AOB＝90°，最后根据勾股定理即可得出答案．
【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，O为BC的中点，AB＝2，
∴BO＝1，∠AOB＝90°，
∴AO=22−12=3，
∵△BPQ与△BAO关于点B中心对称，
∴BQ＝BO＝1，PQ＝AO=3，∠Q＝∠AOB＝90°，
∴CQ＝1+2＝3，
在Rt△PCQ中，根据勾股定理，
得PC=CQ2+PQ2=9+3=23．
故答案为：23．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质和中心对称，关键是熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质．
7．（2024秋•罗定市期中）如图，已知△ABC与△ADE关于点A中心对称，若AC＝3cm，则CE的长为 6 cm．
【考点】中心对称．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】6．
【分析】先根据中心对称的性质得到△ABC≌△ADE，得到AC＝AE，进而可得出CE的长．
【解答】解：根据题意可知，已知△ABC与△ADE关于点A中心对称，AC＝3cm，
∴△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE＝3cm，
∴CE＝AC+AE＝3+3＝6cm．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称的性质是解题的关键．
8．（2024秋•官渡区校级期中）已知点A（a，2022）与点A′（﹣2023，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为 1 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】1．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案，
【解答】解：∵点A（a，2022）与点A′（﹣2023，b）是关于原点O的对称点，
∴a＝2023，b＝﹣2022，
∴a+b＝2023+（﹣2022）＝1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题的关键．
9．（2023秋•西城区校级期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长是 5 ．
【考点】中心对称．
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】5．
【分析】证明∠D＝90°，利用勾股定理求解．
【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ACB≌△DCE，
∴AC＝CD＝2，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3，
∴AD＝4，
∴AE=DE2+AD2=32+42=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查中心对称，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2023秋•杨浦区期末）如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有 2 种．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：去掉一个正方形，得到中心对称图形，如图所示：
，
共2种方法．
故答案为：2．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•南昌期中）如图，一块等腰直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置（A，C，B′三点共线）．
（1）直接写出旋转角的度数；
（2）连接AA′，BB′，它们相交于点M，求证：点A与A′关于点M成中心对称．
【考点】中心对称．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（1）135°；
（2）见解析．
【分析】（1）根据旋转角的定义以及等腰直角三角形的性质求解；
（2）证明MA＝MB′，MA′＝MB′即可．
【解答】（1）解：旋转角ACA＝180﹣∠A′CB′＝180°﹣45°＝135°；
（2）证明：∵CA＝CA′，
∴∠CAA′＝∠CA′A，
∵∠A′CB＝∠CAA′+∠CA′A＝45°，
∴∠CAA′＝22.5°，
同法可证∠CBB′＝22.5°，
∴∠MAB′＝∠MB′A，
∴MA＝MB′，
∵∠CAM+∠AA′B＝90°，∠AB′M+∠MB′A′＝90°，
∴∠MB′A′＝∠MA′B′，
∴MB′＝MA′，
∴MA＝MA′，
∴点A与A′关于点M成中心对称
【点评】本题考查中心对称，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
12．（2023秋•新民市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 4 ；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 （﹣4，﹣3） ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【考点】关于原点对称的点的坐标；三角形的面积．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（1）4；
（2）（﹣4，﹣3）；
（3）（10，0）或（﹣6，0）．
【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）利用关于原点对称点的性质得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4−12×1×2−12×2×4−12×2×3=4；
故答案为：4；
（2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）；
故答案为：（﹣4，﹣3）；
（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2+8＝10或2﹣8＝﹣6，
故P点坐标为：（10，0）或（﹣6，0）．
【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
13．（2024•龙亭区一模）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB．
（1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明；
（2）如图2，若点D在边BC上，DC＝2，AC=19，求AB的长．
【考点】中心对称；平行线的性质；旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）∠ABC＝∠BEC，理由见解答过程；
（2）3．
【分析】（1）由旋转的性质可得BC＝BE，可得∠BCE＝∠BEC，由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCE＝∠BEC；
（2）过点D作DF⊥CE于点E，由旋转的性质可得AC＝DE=19，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，可证△BCE是等边三角形，由直角三角形的性质可求CF的长，由勾股定理可求EF的长，可得CE＝BC＝10，即可得BD＝AB的长．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠BEC，理由如下：
∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠BEC；
（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，
∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，
∴AC＝DE=19，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝BD，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵CE∥AB，
∴∠BCE＝∠ABC，
∴∠DBE＝∠BEC＝∠BCE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠DCE＝60°，且DF⊥CE，
∴∠CDF＝30°，
∴CF=12CD＝1，DF=3CF=3，
在Rt△DEF中，EF=DE2−DF2=19−3=4，
∴CE＝EF+CF＝5＝BC，
∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3＝AB，
∴AB的长为3．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
14．（2024秋•广州期中）如图，已知坐标系中△ABC．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A′B′C′；
（2）直接写出△A′B′C′各顶点的坐标．
【考点】中心对称．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）A′（0，﹣1），B′（﹣2，﹣3），C′（﹣3，0）．
【分析】（1）确定△ABC各顶点关于原点O的对称点即可完成作图；
（2）关于原点O对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求：
（2）由（1）中图可得：A′（0，﹣1），B′（﹣2，﹣3），C′（﹣3，0）．
【点评】本题考查了中心对称的相关知识点，熟记相关结论是即可．
15．（2024春•南京期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，1），B（﹣1，3），A'（2，﹣1），线段A'B'与线段AB成中心对称．
（1）对称中心M的坐标是 （﹣1，0） ；
（2）A'B'与AB的关系为 AB＝A′B′，AB∥A′B′ ；
（3）若P（a，b）是线段AB上的点，则点P关于点M对称的点的坐标为 （﹣2﹣a，﹣b） （用含a，b的式子表示）．
【考点】中心对称图形．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）（﹣1，0）；
（2）AB＝A′B′，AB∥A′B′；
（3）（﹣2﹣a，﹣b）．
【分析】（1）根据中心对称图形上的对应点坐标与对称中心坐标之间的关系即可得出点M的坐标即可；
（2）根据中心对称图形的性质以及全等三角形的判定和性质，得到AB＝A′B′，∠A＝∠A′，再由平行线的判定得出AB∥A′B′即可；
（3）根据中心对称图形上的对应点坐标与对称中心坐标之间的关系即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，连接AA′，BB′相交于点M，点M就是对称中心，
∵A（﹣4，1）的对称点A'（2，﹣1），
∴对称中心点M的坐标为（−4+22，1−12），即（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）．
（2）A'B'与AB的关系为AB＝A′B′，AB∥A′B′，
∵线段A'B'与线段AB关于点M成中心对称．
∴MA＝MA′，MB＝MB′，∠AMB＝∠A′MB′，
∴△AMB≌△A′MB′（SAS），
∴AB＝A′B′，∠A＝∠A′，
∴AB∥A′B′．
故答案为：AB＝A′B′，AB∥A′B′；
（3）设点P（a，b）关于点M成中心对称的点P′的坐标为（x，y），
则有a+x2=−1，b+y2=0，
即x＝﹣2﹣a，y＝﹣b，
∴P′（﹣2﹣a，﹣b）．
故答案为：（﹣2﹣a，﹣b）．
【点评】本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形的性质，理解中心对称图形上的对应点坐标与对称中心坐标之间的关系是正确解答的关键．
考点卡片
1．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
2．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
3．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
4．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
5．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
6．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
7．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
8．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．