安徽省淮南市高新区山南第十一中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省淮南市高新区山南第十一中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共18页。
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】这是二次函数的顶点式，根据顶点式的解析形式即可写出顶点坐标．
【详解】抛物线的顶点坐标为
故选：B．
【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，关键是熟悉二次函数解析式的顶点形式．
2. 如图所示的圆形纸板被等分成 10 个扇形挂在墙上,玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上)，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】阴影部分有4个，根据概率的计算方法计算即可.
【详解】解：圆形纸板被等分成 10 个扇形，飞镖落在每个扇形的概率是
阴影部分有4个，所以飞镖落在阴影部分的概率为
故选D.
【点睛】此题重点考查学生对概率的应用，掌握概率的计算方法是解题的关键.
3. 已知的半径，，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在内B. 点在上C. 点在外D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系：① ⇔ 点在圆外；②⇔ 点在圆内；① ⇔点在圆上，判断即可.
【详解】∵，，
∴
∴点在外，
故选C.
【点睛】此题考查的是点与圆的位置关系，掌握① ⇔ 点在圆外；②⇔ 点在圆内；① ⇔点在圆上，是解决此题的关键.
4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 任意购买一张电影票，座位号是奇数
B. 五个人分成四组，这四组中有一组必有两人
C. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上
D. 打开手机就有未接电话
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的分类，熟知“在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件”是解题的关键．
【详解】解：A、任意购买一张电影票，座位号不一定是奇数，不是必然事件，不符合题意；
B、五个人分成四组，这四组中有一组必有两人，是必然事件，符合题意；
C、抛一枚质地均匀的硬币，正面不一定朝上，不是必然事件，不符合题意；
D、打开手机就不一定有未接电话，不是必然事件，不符合题意；
故选B．
5. 下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】解：A. ，，方程没有实数根，不符合题意；
B. ，，方程没有实数根，不符合题意；
C. ，，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
D. ，，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根情况，解题关键是准确计算根的判别式，正确判断．
6. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ）
A. 70°B. 90°C. 100°D. 110°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据圆内接四边形内对角的和为180度，解得的度数，再根据同圆中，同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半解题即可．
【详解】四边形是的内接四边形，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7. 下列图形是中心对称图形的有（）个
①正方形；②矩形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】平面内，把一个图形绕一点旋转180度，能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，根据概念结合所给图形进行判断即可．
【详解】由中心对称图形的概念可知，①②④⑥是中心对称图形，符合题意；
③⑤不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意.
故中心对称的图形有4个.
故选B.
【点睛】本题考查中心对称图形的判断，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键.
8. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A. 5B. -5C. 1D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点A（a，2）与点B（-3，b）关于原点对称，
∴a=3，b=-2，
则a+b=1．
故选：C．
【点睛】本题考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题的关键．
9. 如图，AB与⊙O切于点B，OB＝3，C是OB上一点，连接AC并延长与⊙O交于点D，连接OD，∠A＝40°，∠D＝30°，则的长为（ ）
A. B. πC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据切线的性质得到∠ABO＝90°，根据三角形的内角和得到∠DOB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，根据弧长的计算公式即可得到结论．
【详解】解：∵AB与⊙O切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ACB＝50°，
∴∠OCD＝∠ACB＝50°，
∵∠D＝30°，
∴∠DOB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴的长＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，以及弧长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
10. 如图，内接于圆，已知，，顶点，，恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是1cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用半圆的面积减去的面积，即可得解．
【详解】解：过点作平行线的垂线，交过点和点的两条平行线分别于点，，
则：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵相邻两条平行线间的距离是1cm，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，求阴影部分的面积．解题的关键是证明三角形全等，求出三角形的边长和圆的半径．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若把一个半径为5，圆心角为的扇形做成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为________．
【答案】##
【解析】
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得
解得
∴这个圆锥的底面圆的半径为．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆锥的计算∶圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12. 书架上有数学书3本，语文书2本，从中任意抽取一本是数学书的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意和概率公式即可得．
【详解】解：从中任意抽取一本是数学书的概率是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是理解题意，掌握概率公式．
13. 如图，是的直径，点C是圆上一点，，则_____．

【答案】##15度
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再由直角三角形的性质求出的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，等边对等角，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
14. 如图，在等边三角形中，是线段上一点，以为边在右侧作等边三角形，连结．
（1）若时， _________
（2）设，当的面积最大时，__________．
【答案】 ①. 4. ②. 3.
【解析】
【分析】（1）根据△ADE与△ABC都是等边三角形，容易得到全等条件证明△CAE≌△BAD，再根据全等三角形的性质即可求解；
（2）作于F，先求出∠CEF=30°，然后用a表示出DC、EF，再用面积公式表示出面积，最后用二次函数的性质即可求解.
【详解】证明：（1）∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC=AB=BC=6，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD．
即∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC=DB；
∵,
∴DB=6-2=4，
∴CE =4；
故答案是：4.
（2）如图，作于F，
∵，
∴CE =a，DC=6- a，
∵△CAE≌△BAD，
∴∠ACE=∠ABC=60°．
∴∠FCE=180°-60°-60°=60°，
在Rt△ECF中，∠CEF=30°，
∴CF = CE = a，
∴EF=，
∴= ，
∴当a=3时，最大为.
故答案是：3.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的性质．发现全等三角形是解决问题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：利用公式法解方程即可.
试题解析：
．
．
=12．
．
．
．
∴方程的解为．
16. 如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长．
【答案】8
【解析】
【分析】求出OD，根据垂径定理得出AB=2AD，根据勾股定理求出AD，即可得出答案．
【详解】解：∵⊙O的半径为5，
∴OA=OC=5，
∵CD=2，
∴OD=5﹣2=3，
∵OC⊥AB，
∴AB=2AD，∠ODA=90°，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD===4，
∴AB=2AD=8．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是求出弦心距，利用勾股定理求解．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球.
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个黑球概率是，求从袋中取出黑球的个数．
【答案】（1）从袋中摸出一个球是黄球的概率为；（2）从袋中取出黑球的个数为2个.
【解析】
【分析】（1）由一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先设从袋中取出x个黑球，根据题意得：，继而求得答案．
【详解】解：（1）∵一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：.
（2）设从袋中取出x个黑球，
根据题意得：，解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
∴从袋中取出黑球的个数为2个．
考点：1.概率公式；2.分式方程的应用．
18. 如图，在直角坐标系中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，和的顶点都在格点上，已知A点坐标为（-3，-2）结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的，并写出点的坐标；
（2）画出绕点按顺时针方向旋转后所得到的，并写出点的坐标；
（3）判断和是否是关于某点成为中心对称的图形，若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）详见解析，（﹣4，1）；（2）详见解析，（2，﹣3）；（3）是，对称中心是（﹣1，﹣1）
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标平移规律：上加下减，左减右加即可得出平移后的对应点、、的坐标，再顺次连接即可画出，进而可得点的坐标；
（2）根据网格特点和旋转的性质画出旋转后的对应点、、，再顺次连接即可；
（3）连接C1F1、A1E1、B1D1，看它们是否相交于一点，进而可作判断．
【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示，B1的坐标为（﹣4，1）；
（2）△D1E1F1如图所示，D1的坐标为（2，﹣3）；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1是关于某点为中心对称的图形，对称中心是（﹣1，﹣1）．
【点睛】本题考查了坐标系中平移作图、点的坐标平移规律、旋转作图和中心对称图形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某玩具厂计划生产一种玩具，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产只玩具的成本为（元），售价每只为（元），且、与的关系式分别为，．
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元?
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少?
【答案】19. 25只
20. 35只；1950元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或解析式；
（1）根据“总利润=售价×数量-成本”得出一元二次方程，然后解出答案，根据日最高产量为40只进行验根；
（2）设每天所获利润为W，然后列出函数解析式，最后进行配方得出最大值．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：（大于每日最高产量40只，故舍去）
答：当日产量为25只时，每日获得利润为1750元．
【小问2详解】
解：设每天所获利润为W．
由题意得，
∴当时，W有最大值1950元．
答：当日产量为35只时，可获得最大利润，最大利润为1950元．
20. 小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．
（2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．
【答案】（1）
（2）小明此次试投的成绩能达到满分，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为，设抛物线解析式为，利用待定系数法代入求解即可；
（2）令，即，解方程求解即可得出结论．
【小问1详解】
由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为，
设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点A，
，
解得，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
令，即，
解得或（舍去），
，
，
所以，小明此次试投的成绩能达到满分．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到）
（2）试估算口袋中红球有多少个？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两个球颜色不同的概率是多少？
【答案】（1）
（2）2个 （3）两个球颜色不同的概率
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，理解并掌握这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
（1）根据统计数据，当 n 很大时，摸到白球的频率接近；
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，则摸到红球的概率为，然后利用概率公式计算红球的个数；
（3）先利用树状图法展示所有20种等可能的结果数，再找出两只球颜色不同所占结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；
【小问2详解】
由（1）知摸到白球的概率为，则摸到红球的概率为，所以可估计口袋中红球的个数为：（个）；
【小问3详解】
由（2）得：红球2个，白色球3个，画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中两个球颜色不同占12种，
所以两个球颜色不同的概率．
七、（本题满分12分）
22. 如图，把绕着顶点A逆时针旋转，得到，其中点B的对应点D恰好在线段上，点F，G分别是上的点，，延长交于点H．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、多边的内角和等知识点，发现题中隐含的等量关系是解题的关键．
（1）根据旋转性质和已知条件证明即可证明结论；
（2）先证明，再根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据多边形的内角和定理即可解答．
【小问1详解】
证明：∵把绕着顶点A逆时针旋转，得到，其中点B的对应点D恰好分别是，
∴，
∴；
在与中，，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴；
∴，
∴．
八、（本题满分14分）
23. 如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是上的两点，且，，延长交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的半径
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，可证得，由，可得出，即结论得证；
（2）证明可得，又，则；
（3）运用勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
连接，如图所示，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为圆的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问3详解】
在中，,
∴,
∵
解得：，
的半径为
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
59
96
116
295
484
601
摸到白球的频率