江苏省连云港市东海县四校联考2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省连云港市东海县四校联考2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（总分：150分 时间：100分钟）
一、选择题：（每题3分，共24分，下列各题都有代号为A、B、C、D的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的，请把正确结论的代号填涂到答题卡上）
1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
【详解】A.是一次函数，故本题选项错误；
B.，是一次函数，故本题选项错误；
C. ，是二次函数，故本题选项正确；
D.是反比例函数，故本题选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：
二次函数 的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
2. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3），
所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3．
故选：A．
3. 下表列出了函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（ ）
A. 1与2之间B. -2与-1之间C. -1与0之间D. 0与1之间
【答案】D
【解析】
【分析】观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在0~1之间由正到负，故可判断一元二次方程ax2+bx+c (a≠0)的一个解在0~1之间．
【详解】解：∵当x=0时，y=1，x=1时，y=-2，
∴函数在0～1之间由正到负，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解在0与1之间，
故选：D．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可.
4. 对于函数的图像，下列说法不正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线C. 最大值为0D. 与y轴不相交
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求解．
【详解】解：，开口向下；故A正确；
对称轴为，故B正确；
开口向下，函数有最大值，时，最大值为0，故C正确；
时，，与y轴交于点；故D错误；
故选：D
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质；掌握二次函数的性质是解题的关键．
5. 已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限
上述结论中正确的是（ ）
A. ①④B. ②④C. ③④D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】由表格中数据x=-1时，y=3，x=3时，y=3，可判断抛物线的对称轴是x=1，根据函数值的变化，判断抛物线开口向上，再由抛物线的性质，逐一判断即可得答案．
【详解】由表格中数据可知，x=-1时，y=3，x=3时，y=3，x=1时，y=-1，
①抛物线的开口向上，故错误；
②抛物线的对称轴是x=1，故错误；
③根据对称性可知，抛物线对称轴是x=1，点(0，0)的对称点为(2，0)，即抛物线一定经过点(2，0)，所以m=0，故正确；
④由以上分析可知抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，经过原点，所以图象不经过第三象限，故正确，
正确的有③④ ，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．
6. 小红连续5天的体温数据如下（单位：）：、、、、，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 中位数是B. 众数是
C. 平均数是D. 极差是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、极差，根据中位数、众数、平均数、极差的计算方法，分别求出结果即可．
【详解】解：把小红连续5天的体温从小到大排列得，、、、、，
A、中间位置的一个数是，因此中位数是，原说法错误，不符合题意；
B、出现次数最多的是，因此众数是，原说法正确，符合题意；；
C、平均数为：，原说法错误，不符合题意；
D、极差为：，原说法错误，不符合题意；
∴说法正确的是B．
故选：B．
7. 我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖入口进出口的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，画出树状图，即可．
【详解】如图可知，，为入口；，，为出口，
∴
∴小颖入口进出口的概率为：．
故选：B．
【点睛】本题考查列举法求概率，解题的关键是理解题意，画出树状图，得到所有的结果．
8. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣；其中正确的结论个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x＝3时，y＞0，可判断②；由OA＝OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c＝0，结合③可判断④；从而可得出答案．
【详解】解：由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x＝3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA＝OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，
整理可得ac﹣b+1＝0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c＝0，
即方程有一个根为x＝﹣c，
由②可知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根，
∴x＝﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是正确理解函数图象和性质．
二、填空题：（每题3分，共24分，请直接将结果填写在答题卡上）
9. 有一组数据：1，1，1，1，．若这组数据的方差是0，则为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数和方差的知识，熟练运用方差公式是解题的关键．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，根据方差的定义即可求解．
【详解】解：依题意可得，这组数据的平均数为，
∴0，
解得，
故答案为：1．
10. 某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为_________分．
【答案】72
【解析】
【分析】根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解．
【详解】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为（分）
故答案为：72．
【点睛】本题考查加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是解题的关键．
11. 已知，是二次函数的图象上的两点，则当时，二次函数的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入函数关系式即可求得二次函数的值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，是二次函数的图象上两点，
∴ 关于对称轴对称，
∵，
∴，
∴，
将代入得，
，
故答案为：．
12. 小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上找到三点（－1，y1），（，y2），（－3，y3），则你认为y1，y2，y3的大小关系应为 ．
【答案】
【解析】
【分析】对于开口向上的二次函数，到对称轴距离越远的点所对应的函数值就越大．本题中的对称轴为直线x=1．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=
因为抛物线开口向上，点（-1，y1）在对称轴上，点（，y2）比点（-3，y3）离对称轴要近，则有
所以
故答案为
13. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于，两点，拱桥最高点到的距离为，，，为拱桥底部的两点，且，若的长为，则点到直线的距离为______．
【答案】10m
【解析】
【分析】以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，求出点B坐标，设该抛物线的表达式为y=ax2，代入点B坐标求出解析式，进而求得点E坐标，即可求解．
【详解】解：根据题意，以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B（12，﹣8），
设该抛物线的表达式为y=ax2，
将B（12，﹣8）代入，得：﹣8=a·122，
解得：a=，
∴该抛物线的表达式为y=x2，
当x=18时，y=×182=﹣18，∴E（18，﹣18），
∴点到直线的距离为﹣8﹣（﹣18）=10m，
故答案为：10m．
【点睛】本题考查二次函数的应用、求二次函数的解析式式，建立适当的平面直角坐标系，借助二次函数数学模型解决实际问题是解答的关键．
14. 已知点在二次函数的图像上，则的最大值______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值，根据，得到，计算即可．
【详解】∵点在二次函数的图像上，
∴，得到
∴，
∴最大值为3，
故答案为：3．
15. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与轴交点问题；二次函数中，当时，，即所求解为二次函数中时所对应的的解．
【详解】观察图象可知，对称轴为直线，一个交点为，
则另一个交点坐标为
∴一元二次方程的解是，
故答案为：，．
16. 如图，在矩形中，，，是上的一动点（不与点重合）．连接，过点作，垂足为，则线段长的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，三角形的三边关系等知识，首先证明点的运动轨迹是以为直径的 ，连接，利用三角形的三边关系即可得出结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，利用三角形的三边关系解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴点的运动轨迹是以为直径的，连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
或
，
【小问2详解】
解：
或
，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键，选择合适的解法可以使计算变得简便．
18. 如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．
（1）求的长度；
（2）求纸扇上贴纸部分的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是记住弧长公式，扇形的面积公式，属于中考常考题型．
（1）利用弧长公式求解即可，
（2）求出两个扇形面积的差即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
，，
，
，
，
贴纸部分的面积．
19. 已知二次函数y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的图象过点A(2，3)，交y轴于点B．
（1）求点B的坐标及二次函数图象的对称轴；
（2）若抛物线最高点的纵坐标为4，求二次函数的表达式；
（3）已知点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上且0＜m＜n＜1，试比较y1和y2的大小．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，，当时，．
【解析】
【分析】（1）将将代入解析式即可求得点的坐标，将点的坐标代入，即可求得对称轴；
（2）根据（1）结论可得顶点坐标，设顶点式，将点的坐标代入，求得即可求得解析式；
（3）分类讨论，根据开口方向及二次函数图像与性质即可比较y1和y2的大小．
【详解】（1）交y轴于点B，
将代入，解得，
，
过，
，
即，
；
（2）对称轴为，
若抛物线最高点的纵坐标为4，
则顶点坐标为：，
设二次函数的表达式为，
将代入，
解得，
，
即；
（3）分情况讨论，当时，抛物线的开口朝上，在对称轴的左侧是随的增加而减小，
点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上，且，
，
当时，抛物线的开口朝下，在对称轴的左侧是随的增加而增大，
点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上，且，
，
综上所述，当时，，当时，．
【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数图像与性质是解题的关键．
20. 设二次函数y=ax2+bx-b-a（a，b是常数，a≠0）．
（1）判断该二次函数的图象与x轴的交点的个数，并说明理由；
（2）若该二次函数图象的对称轴是直线x=-1，求这个函数图象与x轴交点的坐标．
【答案】（1）有两个或一个，见解析；（2）(-3，0)，(1，0)
【解析】
【分析】（1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式．
（2）由对称轴x＝﹣1得出b＝2a，代入函数解析式即可求出次函数为y＝ax2+2ax﹣3a，然后求出当y＝0时，x的值即可得到函数图象与x轴交点的坐标．
【详解】解：（1）令y＝0，则0＝ax2+bx﹣b﹣a，
∴△＝b2﹣4•a•（﹣b﹣a）
＝b2+4ab+4a2
＝（2a+b）2≥0，
∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个；
（2）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴二次函数为y＝ax2+2ax﹣3a，
令y＝0，则ax2+2ax﹣3a＝0（a≠0），
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴这个函数图象与x轴交点坐标为（﹣3，0），（1，0）．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质可证得，再根据DE⊥AC，可证出OD⊥DE即可证得结论；
（2）根据勾股定理和三角形的面积公式可求出答案．
【小问1详解】
证明：如图：连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠ODB=∠ACB．
∴，
∵DE⊥AC．
∴OD⊥DE．
∵OD是圆的半径，
∴DE 是⊙O 的切线；
【小问2详解】
解：如图：连接AD，
∵AB 为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
又∵AB=AC，BC=16，
∴BD=CD=8，
∵⊙O 的半径为5，
∴AC=AB=10，
∴，
∵S△ADC，
∴10DE=8×6，
∴DE=4.8．
【点睛】本题考查了切线判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的判定是解题的关键．
22. 今年是建党100周年，为了响应习总书记提出的“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”号召，某校团支部举行了党史知识测试活动，现从该校八、九年级各随机抽取20名团员的测试成绩（满分10分）进行整理、描述和分析，以下是部分相关信息．
八年级20名团员的测试成绩如下：
3，7，6，9，7，6，8，6，7，8，10，7，6，9，7，10，7，8，9，10．
九年级抽取的20名团员测试成绩的条形统计图如下：
八、九年级抽取的团员的测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）________，________，________；
（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级中，哪个年级的团员掌握党史知识更好？请说明理由；
（3）该校八、九年级共有200名团员参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩为满分的团员有多少人？
【答案】（1）7，7.5，2.35；（2）九年级的团员掌握党史知识更好，理由见解析；（3）30人
【解析】
【分析】（1）根据众数的定义确定a的值，根据中位数的定义确定b的值，利用方差公式计算c的值；
（2）通过比较众数、中位数和方差的大小进行判断；
（3）用200乘以样本中满分的百分比即可．
【详解】解：（1）八年级20名团员的测试成绩中7出现次数最多，则a=7，
九年级20名团员的测试成绩的中位数，
（2）九年级的团员掌握党史知识更好．
理由如下：九年级成绩的众数比八年级成绩的众数大，九年级成绩的中位数比八年级成绩的中位大，九年级成绩的方差小，成绩比较稳定；
（3）（人），
所以估计参加此次测试活动成绩为满分的团员有30人．
【点睛】本题考查了方差、中位数和众数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
23. 甲、乙两个不透明的盒子里分别装有3张卡片，其中甲盒里3张卡片分别标有数字1、2、3；乙盒里3张卡片分别标有数字4、5、6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．
（1）从甲盒里随机抽取一张卡片，抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是 ；
（2）从甲盒、乙盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有数字之和为偶数的概率．
【答案】（1）
（2）见解析，
【解析】
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之和为偶数的情况，再由概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：甲盒里随机抽取一张卡，抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画出树状图的：
共有9种等可能性结果，抽到两张卡片上标有数字之和为偶数的有4种情况；
∴两次抽取卡片上数字之和为偶数的概率为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图求概率，根据题意准确画出树状图或者列出表格是解题的关键．
24. 如图，一边靠学校院墙，其他三边用12 m长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2．
（1）写出S与x之间的函数关系式；
（2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？
【答案】（1）S=-2x2+12x；（2）当x=3时，面积S最大，最大值是18m2．
【解析】
【分析】（1）根据矩形的面积公式可以写出S与x之间的函数关系式；
（2）将（1）中的函数关系式化为顶点式即可解答本题．
【详解】解：（1）由题意可得，
S=x（12-2x）=-2x2+12x，
即S与x之间的函数关系式S=-2x2+12x；
（2）∵S=-2x2+12x=-2（x-3）2+18，
∴当x=3时，S取得最大值，此时S=18，
即当x=3时，面积S最大，最大值是18m2．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用函数的顶点式求函数的最值．
25. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝－2x＋200 （2）W＝－2x2＋280x－8 000；（3）当时，W随x的增大而增大，当时，W随x的增大而减小，售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1 800元．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求一次函数的表达式；
（2）利用利润的定义，求W与x之间的函数表达式；
（3）利用二次函数的性质求极值．
【详解】解：（1）设，由题意，得
，解得，
∴所求函数表达式为．
（2）．
（3），其中，
∵，
∴当时，W随x的增大而增大，
当时，W随x的增大而减小，
当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元．
26. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，设抛物线的顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接、、，试判断的形状，并说明理由；
（3）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）该抛物线的解析式为．
（2）为直角三角形．理由详见解析．
（3）存在，，，均可满足条件．
【解析】
【分析】将A、B、C三点坐标分别代入抛物线中即可求出a、b、c的值，从而得出抛物线的解析式；
根据中求出的抛物线解析式得出D的坐标，通过两点间距离公式可求出、、的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形；
利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为、时；两条对角线为、时；两条对角线为、时，即可得出符合条件的P的坐标．
【小问1详解】
解：将，，代入抛物线中，
得，
可解得，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
证：应为直角三角形．证明如下：
由得：抛物线的解析式为，
且D是抛物线的顶点，
又，，
，
，
，
．
故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形．
【小问3详解】
解：存在，，，均可满足条件．
要使以A、B、Q、P为顶点的四边形为平行四边形，
且平行四边形中对角线互相平分，
对角线的中点为固定值．
Q在抛物线对称轴上，P在抛物线上，
可设，
则可分为以下三种情况进行讨论：
①两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，；
②两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，；
③两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，．
故满足条件的Ｐ点有３个，分别为，，．
x
-2
-1
0
1
2
y
1
2
1
-2
-7
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
年级
平均数
众数
中位数
方差
八年级
7.5
7
2.85
九年级
7.5
8
售价x/(元/千克)
50
60
70
销售量y/千克
100
80
60