2024-2025学年上学期初中数学北师大版（2024）七年级期末必刷常考题之一元一次方程的解法练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版（2024）七年级期末必刷常考题之一元一次方程的解法练习，共14页。试卷主要包含了定义运算，时，是这么计算的，等内容，欢迎下载使用。
1．（2024秋•琼山区校级期中）若代数式x+1的值为3，则x等于（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
2．（2024秋•包河区期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+2＝2b
B．如果4a＝2，那么a＝2
C．如果1﹣2a＝3a，那么1+a＝6a
D．如果a＝b，那么2a＝3b
3．（2024秋•北京期中）下列等式变形中，一定正确的是（ ）
A．若xy＝1，则x=1yB．若x2＝2x，则x＝2
C．若2a﹣b＝4，则b＝﹣2a+4D．若−13x=6，则x＝﹣2
4．（2024春•方城县期末）如图，两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（ ）
A．20gB．25gC．15gD．30g
5．（2024春•射洪市期末）解方程x+12−2x−36=1去分母正确的是（ ）
A．3（x+1）﹣2x﹣3＝6B．3（x+1）﹣2x﹣3＝1
C．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝12D．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝6
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•南昌期中）定义运算：m&n＝m2﹣mn+5．例如1&2＝12﹣1×2+5＝4，则方程x&6＝0的解为 ．
7．（2024秋•普陀区校级期中）等式x（2x+a）+4x﹣3b＝2x2+5x+6成立，则a＝ ，b＝ ．
8．（2024秋•长沙期中）当x＝ 时，代数式2x+5与代数式4x﹣1的值相等．
9．（2024秋•房山区期中）关于x的方程3x＝9的解为 ．
10．（2024秋•海淀区校级期中）小明同学在解方程2（x﹣2）＝5（x+1）时，是这么计算的，
其中第一步的变形依据是 （填序号），第二步的变形依据是 （填序号）．
①加法交换律；②乘法结合律；③乘法分配律；④等式的基本性质1；⑤等式的基本性质2．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•包河区期中）解方程：
（1）2（3x﹣5）＝2+3（x+6）；
（2）解方程：x+13=1−2x−12．
12．（2024秋•北京期中）下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
3x−14−5x−76=1．
解：3（3x﹣1）﹣2（5x﹣7）＝12…第一步
9x﹣3﹣10x﹣14＝12…第二步
9x﹣10x＝12+3+14…第三步
﹣x＝29…第四步
x＝﹣29…第五步
任务一：填空
（1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
（2）第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ；
任务二：请你求出方程正确的解．
13．（2024秋•北京期中）小涵在解关于x的一元一次方程3x−12+□=3时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值．
14．（2024秋•东城区校级期中）若方程2（x﹣4）﹣8＝﹣3（x+2）的解与关于x的方程2ax﹣（3a+5）＝5x+12a+20的解相同，确定字母a的值．
15．（2024秋•滨湖区期中）新定义一种运算：a△b＝2a﹣3b．例如：3△4＝2×3﹣3×4＝﹣6．
（1）求5△（﹣5）的值；
（2）解方程：2△（2△x）＝﹣35．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版（2024）七年级期末必刷常考题之一元一次方程的解法
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•琼山区校级期中）若代数式x+1的值为3，则x等于（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【考点】解一元一次方程；代数式求值．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】由题意易得一元一次方程，解方程即可求解．
【解答】解：由题意得x+1＝3，
解得x＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，代数式求值，掌握解一元一次方程的步骤是关键．
2．（2024秋•包河区期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+2＝2b
B．如果4a＝2，那么a＝2
C．如果1﹣2a＝3a，那么1+a＝6a
D．如果a＝b，那么2a＝3b
【考点】等式的性质．
【专题】数与式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据等式的性质对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：A、如果a＝b，那么a+2＝b+2，不符合题意；
B、如果4a＝2，那么a=12，不符合题意；
C、如果1﹣2a＝3a，那么1+a＝6a，符合题意；
D、如果a＝b，那么2a＝2b，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．
3．（2024秋•北京期中）下列等式变形中，一定正确的是（ ）
A．若xy＝1，则x=1yB．若x2＝2x，则x＝2
C．若2a﹣b＝4，则b＝﹣2a+4D．若−13x=6，则x＝﹣2
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案．
【解答】解：若xy＝1，那么x=1y，则A符合题意；
若x2＝2x，那么x＝2或0，则B不符合题意；
若2a﹣b＝4，那么b＝2a﹣4，则C不符合题意；
若−13x=6，那么x＝﹣18，则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，正确记忆等式的性质是解题关键．
4．（2024春•方城县期末）如图，两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（ ）
A．20gB．25gC．15gD．30g
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；模型思想．
【答案】A
【分析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．
本题中等量关系为：三块巧克力的质量等于两个果冻的质量，而一个果冻加上一块巧克力的质量等于50克．根据这两个等量关系可以列出方程组．
【解答】解：设巧克力的质量为x，果冻的质量为y．
则3x=2y，x+y=50．
解得x=20，y=30．
所以一块巧克力的质量为20克．
故选：A．
【点评】本题主要考查了了等式的性质，解题关键是弄清题意，找好等量关系，列出方程组．本题应注意两个未知量的关系，用x表示y代入到一个方程中．
5．（2024春•射洪市期末）解方程x+12−2x−36=1去分母正确的是（ ）
A．3（x+1）﹣2x﹣3＝6B．3（x+1）﹣2x﹣3＝1
C．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝12D．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝6
【考点】解一元一次方程．
【答案】D
【分析】这是一个带分母的方程，所以要先找出分母的最小公倍数，去分母即可．
【解答】解：由此方程的分母2，6可知，其最小公倍数为6，
故去分母得：3（x+1）﹣（2x﹣3）＝6．
故选：D．
【点评】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•南昌期中）定义运算：m&n＝m2﹣mn+5．例如1&2＝12﹣1×2+5＝4，则方程x&6＝0的解为 x＝5或x＝1 ．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x＝5或x＝1．
【分析】把相应的值代入新定义的运算中，结合解一元一次方程的方法进行求解即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣6x+5＝0，
（x﹣5）（x﹣1）＝0，
x﹣5＝0或x﹣1＝0，
解得：x＝5或x＝1．
故答案为：x＝5或x＝1．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，解答的关键是对解一元一次方程的方法的掌握．
7．（2024秋•普陀区校级期中）等式x（2x+a）+4x﹣3b＝2x2+5x+6成立，则a＝ 1 ，b＝ ﹣2 ．
【考点】解一元一次方程；合并同类项．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】1，﹣2．
【分析】先去括号，再将所用项移到等号的左边并合并同类项，令各项系数为0列方程并求出a和b的值即可．
【解答】解：去括号，得2x2+ax+4x﹣3b＝2x2+5x+6，
移项、合并同类项，得（a﹣1）x﹣（3b+6）＝0，
∴a﹣1＝0，3b+6＝0，
∴a＝1，b＝﹣2．
故答案为：1，﹣2．
【点评】本题考查解一元一次方程、合并同类项，掌握合并同类项、一元一次方程的方法是解题的关键．
8．（2024秋•长沙期中）当x＝ 3 时，代数式2x+5与代数式4x﹣1的值相等．
【考点】解一元一次方程；代数式求值．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据题意可列方程2x+5＝4x﹣1，再解一元一次方程即可．
【解答】解：根据题意可得：2x+5＝4x﹣1，
移项得，2x﹣4x＝﹣1﹣5，
合并同类项得，﹣2x＝﹣6，
两边都除以﹣2得，x＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的方法，代数式求值的方法是解题的关键．
9．（2024秋•房山区期中）关于x的方程3x＝9的解为 x＝3 ．
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x＝3．
【分析】系数化为1，可得结论．
【解答】解：3x＝9，
系数化为1，得x＝3．
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．
10．（2024秋•海淀区校级期中）小明同学在解方程2（x﹣2）＝5（x+1）时，是这么计算的，
其中第一步的变形依据是 ③ （填序号），第二步的变形依据是 ④ （填序号）．
①加法交换律；②乘法结合律；③乘法分配律；④等式的基本性质1；⑤等式的基本性质2．
【考点】解一元一次方程；等式的性质．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】③；④．
【分析】根据解一元一次方程的步骤找依据．
【解答】解：2（x﹣2）＝5（x+1），
去括号，得2x﹣4＝5x+5（依据是乘法的分配律），
移项，得2x﹣5x＝5+4（依据是等式的基本性质1）．
故答案为：③；④．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握每一步的依据是解决本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•包河区期中）解方程：
（1）2（3x﹣5）＝2+3（x+6）；
（2）解方程：x+13=1−2x−12．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝10；
（2）x=78．
【分析】（1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值；
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值．
【解答】解：（1）2（3x﹣5）＝2+3（x+6），
6x﹣10＝2+3x+18，
6x﹣3x＝2+18+10，
3x＝30，
x＝10；
（2）x+13=1−2x−12，
2（x+1）＝6﹣3（2x﹣1），
2x+2＝6﹣6x+3，
2x+6x＝6+3﹣2，
8x＝7，
x=78．
【点评】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等．
12．（2024秋•北京期中）下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
3x−14−5x−76=1．
解：3（3x﹣1）﹣2（5x﹣7）＝12…第一步
9x﹣3﹣10x﹣14＝12…第二步
9x﹣10x＝12+3+14…第三步
﹣x＝29…第四步
x＝﹣29…第五步
任务一：填空
（1）以上解题过程中，第一步是依据 等式的性质2 进行变形的；
（2）第 二 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 去括号时，﹣2与﹣7相乘，积的符号没有变号 ；
任务二：请你求出方程正确的解．
【考点】解一元一次方程；等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】任务一：（1）等式的性质2；
（2）二，去括号时，﹣2与﹣7相乘，积的符号没有变号；
任务二：x＝﹣1．
【分析】任务一：（1）根据等式的性质2解答即可；
（2）根据解一元一次方程的方法判断即可；
任务二：根据解一元一次方程的方法求解即可．
【解答】解：任务一：（1）在解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的．
故答案为：等式的性质2；
（2）第二步开始出现错误，错误原因是去括号时，﹣2与﹣7相乘，积的符号没有变号．
故答案为：二，去括号时，﹣2与﹣7相乘，积的符号没有变号；
任务二：3x−14−5x−76=1，
去分母，得3（3x﹣1）﹣2（5x﹣7）＝12，
去括号，得9x﹣3﹣10x+14＝12，
移项、合并同类项，得﹣x＝1，
将系数化为1，得x＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的方法，等式的性质是解题的关键．
13．（2024秋•北京期中）小涵在解关于x的一元一次方程3x−12+□=3时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】m＝2．
【分析】设□＝m，则原方程为3x−12+m＝3，解一元一次方程，可得出x=7−2m3，结合m，7−2m3均为正整数，即可得出m的值．
【解答】解：设□＝m，则原方程为3x−12+m＝3，
去分母得：3x﹣1+2m＝6，
移项、合并同类项得：3x＝7﹣2m，
将x的系数化为1得：x=7−2m3，
又∵m，7−2m3均为正整数，
∴m＝2．
【点评】本题考查了解一元一次方程，通过解一元一次方程，用含m的代数式表示出方程的解是解题的关键．
14．（2024秋•东城区校级期中）若方程2（x﹣4）﹣8＝﹣3（x+2）的解与关于x的方程2ax﹣（3a+5）＝5x+12a+20的解相同，确定字母a的值．
【考点】同解方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】−3511．
【分析】将方程2（x﹣4）﹣8＝﹣3（x+2）的解代入方程2ax﹣（3a+5）＝5x+12a+20，解方程求出a的值即可．
【解答】解：解方程2（x﹣4）﹣8＝﹣3（x+2），得x＝2；
把x＝2代入方程2ax﹣（3a+5）＝5x+12a+20，得4a﹣（3a+5）＝10+12a+20，
解得a=−3511，
∴字母a的值是−3511．
【点评】本题考查同解方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
15．（2024秋•滨湖区期中）新定义一种运算：a△b＝2a﹣3b．例如：3△4＝2×3﹣3×4＝﹣6．
（1）求5△（﹣5）的值；
（2）解方程：2△（2△x）＝﹣35．
【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算．
【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）25；
（2）x＝﹣3．
【分析】（1）根据新定义列出算式5△（﹣5）＝2×5﹣3×（﹣5），再计算即可得出答案；
（2）根据新定义列出关于x的方程，解之即可得出答案．
【解答】解：（1）5△（﹣5）
＝2×5﹣3×（﹣5）
＝10+15
＝25；
（2）∵2△（2△x）＝﹣35，
∴2△（4﹣3x）＝﹣35，
∴4﹣3（4﹣3x）＝﹣35，
4﹣12+9x＝﹣35，
9x＝﹣35﹣4+12，
9x＝﹣27，
解得x＝﹣3．
【点评】本题主要考查解一元一次方程、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式、方程．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
3．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
4．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
5．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
6．同解方程
定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
（或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．）2x﹣4＝5x+5第一步
2x﹣5x＝5+4第二步
﹣3x＝9第三步
x＝﹣3第四步
2x﹣4＝5x+5第一步
2x﹣5x＝5+4第二步
﹣3x＝9第三步
x＝﹣3第四步