2024-2025学年上学期初中数学北师大版（2024）七年级期末必刷常考题之有理数及其运算练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版（2024）七年级期末必刷常考题之有理数及其运算练习，共15页。
A．2024B．﹣2024C．12024D．−12024
2．（2024春•沂水县校级月考）﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．−12024D．12024
3．（2024•黄岩区一模）随着人工智能（AI）技术的飞速发展，全球范围内的算力竞赛愈发激烈．调查显示，数据和算力中心每处理1G数据大约需要消耗电力13千瓦时．国网能源研究院曾测算，到2030年国内数据和算力中心的用电量将超过400000000000千瓦时，数据400000000000用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.4×1012B．0.4×1011C．4×1012D．4×1011
4．（2024秋•南海区期中）在下列各数中：﹣10，（﹣4）2，+（﹣3），﹣5，﹣|﹣2|，（﹣1）2021，0．其中是负数的有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2024春•宝山区校级期末）下列各数中，结果相等的是（ ）
A．23和32B．（﹣2）3和﹣23
C．（﹣3）2和﹣32D．|﹣2|3和（﹣2）3
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•思明区校级期中）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，则5ab−20242025(c+d)= ．
7．（2024春•金山区校级期末）比较大小：−134 ﹣（﹣1.2）（填“＞”、“＜”或“＝”）．
8．（2024秋•南昌期中）若A，B，M是数轴上不同的三点，且点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M表示的数为m，当其中一点到另外两点的距离相等时，m的值可以是 ．
9．（2023秋•子洲县期末）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，若输入的数为﹣5，则计算结果为 ．
10．（2024秋•淮阴区校级期中）负数的概念，最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上20℃记作+20℃，则零下10℃应记作 ℃．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•天河区校级期中）将−112，0，﹣（+3），|﹣2|，0.5在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来．
12．（2024秋•长寿区期中）计算：
（1）﹣5+（﹣17）+（+15）﹣（﹣7）；
（2）(−2024724)+(−202358)+(−116)+4044；
（3）﹣5+（﹣3）×（﹣2）+（﹣12）÷6；
（4）[−34+214×(−4)2]÷(14913−16913)．
13．（2024秋•福田区期中）高速公路养护小组，乘车从A地沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+5，+16
（1）养护小组最后到达的地方在出发点A地的哪个方向？距出发点多远？
（2）若汽车耗油量为2升/千米，则这次养护共耗油多少升？
14．（2024秋•武鸣区期中）如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，求6（a+b）+m﹣3xy的值．
15．（2024秋•莱西市期中）定义☆运算，观察下列运算：
①（+5）☆（+14）＝+19，②（﹣13）☆（﹣7）＝+20，③（﹣2）☆（+15）＝﹣17，④（+8）☆（﹣17）＝﹣25，⑤0☆（﹣19）＝+19，⑥（+13）☆0＝﹣13．
【类比归纳】
类比有理数运算法则的探究，先确定符号，再确定绝对值．由此归纳☆运算的法则：
两数进行☆运算时，同号 ，异号 ，并把绝对值 ；
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的 ．
【应用法则】
计算：
（1）（﹣2）☆（+3）＝ ；
（2）（+17）☆[0☆（﹣16）]＝ ．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版（2024）七年级期末必刷常考题之有理数及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024•盐城）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．12024D．−12024
【考点】相反数．
【专题】实数；推理能力．
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（2024春•沂水县校级月考）﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．−12024D．12024
【考点】倒数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
【解答】解：∵−2024=−12024，
故选：C．
【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
3．（2024•黄岩区一模）随着人工智能（AI）技术的飞速发展，全球范围内的算力竞赛愈发激烈．调查显示，数据和算力中心每处理1G数据大约需要消耗电力13千瓦时．国网能源研究院曾测算，到2030年国内数据和算力中心的用电量将超过400000000000千瓦时，数据400000000000用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.4×1012B．0.4×1011C．4×1012D．4×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：400000000000＝4×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4．（2024秋•南海区期中）在下列各数中：﹣10，（﹣4）2，+（﹣3），﹣5，﹣|﹣2|，（﹣1）2021，0．其中是负数的有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】有理数的乘方；正数和负数；相反数；绝对值．
【专题】实数；符号意识．
【答案】D
【分析】先判断各数的符号，再辨别、求解．
【解答】解：∵﹣10，+（﹣3），﹣5，﹣|﹣2|，（﹣1）2021是负数，
∴其中是负数的有5个，
故选：D．
【点评】此题考查了正负数概念的应用能力，关键是能准确理解和运用以上知识．
5．（2024春•宝山区校级期末）下列各数中，结果相等的是（ ）
A．23和32B．（﹣2）3和﹣23
C．（﹣3）2和﹣32D．|﹣2|3和（﹣2）3
【考点】有理数的乘方；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据乘方的意义对各个选项的式子进行计算，然后根据计算结果进行判断即可．
【解答】解：A．∵23＝8，32＝9，∴23≠32，故此选项不符合题意；
B．∵（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，∴（﹣2）3＝﹣23，故此选项符合题意；
C．∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，∴（﹣3）2≠﹣32，故此选项不符合题意；
D．∵|﹣2|3＝23＝8，（﹣2）3＝﹣8，∴|﹣2|3≠（﹣2）3，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握乘方的意义．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•思明区校级期中）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，则5ab−20242025(c+d)= 5 ．
【考点】有理数的混合运算；相反数；倒数．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】5．
【分析】利用倒数，相反数的定义求出ab＝1，c+d＝0的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵a和b互为倒数，c和d互为相反数，
∴ab＝1，c+d＝0，
∴5ab−20242025(c+d)=5×1−20242025×0=5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了倒数，相反数，代数式求值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
7．（2024春•金山区校级期末）比较大小：−134 ＜ ﹣（﹣1.2）（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【考点】有理数大小比较．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵−134=−74，﹣（﹣1.2）＝1.2，
∴−134＜−（﹣1.2）．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
8．（2024秋•南昌期中）若A，B，M是数轴上不同的三点，且点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M表示的数为m，当其中一点到另外两点的距离相等时，m的值可以是 ﹣1或﹣7或5 ．
【考点】数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目要求，M点为一个动点，所以需要分情况讨论MA＝MB，MA＝AB，MB＝AB，将这三种情况结合数轴分别得出x的值．
【解答】解：①当MA＝MB时，m=−3+12=−1；
②当MA＝AB时，﹣3﹣m＝1﹣（﹣3）得m＝﹣7；
③当MB＝AB时，m﹣1＝1﹣（﹣3）得m＝5．
综上所述，m的值可以是﹣1或﹣7或5．
故答案为：﹣1或﹣7或5．
【点评】本题主要考查的是绝对值的几何意义以及方程的应用，掌握绝对值的几何意义和方程是解题的关键．
9．（2023秋•子洲县期末）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，若输入的数为﹣5，则计算结果为 ﹣12 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣12．
【分析】根据题目所给运算程序进行计算即可．
【解答】解：根据题意，得
(−5)×(−12)÷(−14)+3−5=−10+3−5=−12．
故答案为：﹣12
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键．
10．（2024秋•淮阴区校级期中）负数的概念，最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上20℃记作+20℃，则零下10℃应记作 ﹣10 ℃．
【考点】正数和负数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】﹣10．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上20℃记作+20℃，则零下10℃应记作﹣10℃．
故答案为：﹣10．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•天河区校级期中）将−112，0，﹣（+3），|﹣2|，0.5在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来．
【考点】有理数大小比较；数轴；相反数；绝对值．
【专题】实数；几何直观．
【答案】数轴见解析，−(+3)＜−112＜0＜0.5＜|−2|．
【分析】根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来，再根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大来求解．
【解答】解：﹣（+3）＝﹣3，|﹣2|＝2，
如下图：
∴−(+3)＜−112＜0＜0.5＜|−2|．
【点评】本题考查了有理数大小的比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大来求解．
12．（2024秋•长寿区期中）计算：
（1）﹣5+（﹣17）+（+15）﹣（﹣7）；
（2）(−2024724)+(−202358)+(−116)+4044；
（3）﹣5+（﹣3）×（﹣2）+（﹣12）÷6；
（4）[−34+214×(−4)2]÷(14913−16913)．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）0；
（2）−5112；
（3）﹣1；
（4）452．
【分析】（1）先去括号，然后从左向右依次计算即可；
（2）先去括号，将整数和分数分开计算即可；
（3）先算乘除，后算减法即可；
（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：（1）﹣5+（﹣17）+（+15）﹣（﹣7）
＝﹣5﹣17+15+7
＝﹣22+15+17
＝﹣17+17
＝0；
（2）(−2024724)+(−202358)+(−116)+4044
=−2024724−202358−116+4044
=(−2024−2023−1+4044)+(−724−58−16)
=−4+(−724−1524−424)
=−4+(−1312)
=−5112；
（3）﹣5+（﹣3）×（﹣2）+（﹣12）÷6
＝﹣5+6+（﹣2）
＝1+（﹣2）
＝﹣1；
（4）[−34+214×(−4)2]÷(14913−16913)
=(−81+94×16)÷(−2)
＝（﹣81+36）÷（﹣2）
＝（﹣45）÷（﹣2）
=452．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．
13．（2024秋•福田区期中）高速公路养护小组，乘车从A地沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+5，+16
（1）养护小组最后到达的地方在出发点A地的哪个方向？距出发点多远？
（2）若汽车耗油量为2升/千米，则这次养护共耗油多少升？
【考点】正数和负数；有理数的混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】（1）在出发点A地的东边，距出发点15千米；
（2）194升．
【分析】（1）根据正负数的意义列式计算即可求解；
（2）根据绝对值的意义求出总路程，再乘以每千米耗油量即可求解．
【解答】解：（1）+17﹣9+7﹣15﹣3+11﹣6﹣8+5+16＝15（千米），
答：养护小组最后到达的地方在出发点A地的东边，距出发点15千米；
（2）（|+17|+|﹣9|+|+7|+|﹣15|+|﹣3|+|+11|+|﹣6|+|﹣8|+|+5|+|+16|）×2＝194（升），
答：这次养护共耗油194升．
【点评】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键．
14．（2024秋•武鸣区期中）如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，求6（a+b）+m﹣3xy的值．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】﹣2或﹣4．
【分析】根据相反数，倒数的意义可得a+b＝0，xy＝1，m＝±1，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，
∴a+b＝0，xy＝1，m＝±1，
当m＝1时，原式＝6×0+1﹣3×1＝1﹣3＝﹣2；
当m＝﹣1时，原式＝6×0﹣1﹣3×1＝﹣1﹣3＝﹣4．
综上所述，代数式的值为﹣2或﹣4．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，涉及到代数式求值、相反数、倒数的定义，熟练掌握相反数、倒数的意义是解题的关键．
15．（2024秋•莱西市期中）定义☆运算，观察下列运算：
①（+5）☆（+14）＝+19，②（﹣13）☆（﹣7）＝+20，③（﹣2）☆（+15）＝﹣17，④（+8）☆（﹣17）＝﹣25，⑤0☆（﹣19）＝+19，⑥（+13）☆0＝﹣13．
【类比归纳】
类比有理数运算法则的探究，先确定符号，再确定绝对值．由此归纳☆运算的法则：
两数进行☆运算时，同号 得正 ，异号 得负 ，并把绝对值 相加 ；
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的 相反数 ．
【应用法则】
计算：
（1）（﹣2）☆（+3）＝ ﹣5 ；
（2）（+17）☆[0☆（﹣16）]＝ 23 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】新定义；实数；运算能力．
【答案】【类比归纳】得正，得负，相加，相反数；
【应用法则】（1）﹣5；（2）33．
【分析】【类比归纳】根据题目中的算式，可以总结出相应的运算法则；
【应用法则】（1）根据总结的运算法则，异号得负，并把绝对值相加计算即可；
（2）根据总结的运算法则计算即可．
【解答】解：【类比归纳】
类比有理数运算法则的探究，先确定符号，再确定绝对值．由此归纳☆运算的法则：
两数进行☆运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的相反数，
故答案为：得正，得负，相加，相反数；
【应用法则】（1）（﹣2）☆（+3）
＝﹣（2+3）
＝﹣5；
（2）（+17）☆[0☆（﹣16）]
＝ （+17）☆16
＝17+6
＝23．
故答案为：（1）﹣5；（2）23．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，总结出相应的运算法则．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•1a=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1a．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
注意：0没有倒数．
6．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
7．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
8．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
9．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置