2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期末必刷常考题之实数练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期末必刷常考题之实数练习，共16页。
A．3和4B．4和5C．5和6D．6和7
2．（2024秋•惠山区期中）在﹣3，π2，16，0.13⋅，34，0.1010010001这些实数中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2024秋•宝安区期中）下列各式中运算正确的是（ ）
A．9=±3B．(−5)2=−5
C．(2)2=4D．3−1=−1
4．（2024秋•惠山区期中）下列说法正确的是（ ）
A．3是9的立方根B．16的平方根为±4
C．25的算术平方根为5D．﹣1的平方根为±1
5．（2023秋•承德县期末）若m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•徐汇区校级期中）若最简二次根式2a−43a+b与a−b是同类根式，则a﹣2b＝ ．
7．（2024秋•河西区期中）一个矩形的面积为50cm2，且长是宽的2倍，则这个矩形的周长为 cm．
8．（2024秋•裕华区校级期中）若3x−2+2y−6=0，则﹣4xy的立方根为 ．
9．（2024秋•宝安区期中）比较大小7−13 23．
10．（2024秋•市南区校级期中）如图，长方形一边在数轴上，点A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点E．则点E所表示的数是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•伊川县期中）已知4a+1的算术平方根是3，b、c满足|b−5|+c+1=0．
（1）求a、b、c的值：
（2）求（a+b+c）2的平方根．
12．（2024秋•市南区校级期中）3a﹣23的立方根是﹣5，36的平方根是6与b+15，c是15的整数部分．
（1）求a、b、c的值；
（2）求b+c﹣2a的算术平方根．
13．（2024秋•市南区校级期中）求下列x的值：
（1）(x−5)2−1=0；
（2）3（2x﹣1）3+81＝0．
14．（2024秋•朝阳区校级期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，请化简|c|−(a−b)2−(b−c)2+3b3．
15．（2024秋•蓝田县期中）小明的爸爸打算用如图一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为600cm2的长方形桌面．
（1）求正方形木板的边长；
（2）若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期末必刷常考题之实数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•宁波期中）试估算13+2在哪两个数之间（ ）
A．3和4B．4和5C．5和6D．6和7
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；推理能力．
【答案】C
【分析】先估算出13的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴5＜13+2＜6，
故选：C．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小要用逼近法是解题的关键．
2．（2024秋•惠山区期中）在﹣3，π2，16，0.13⋅，34，0.1010010001这些实数中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】无理数；算术平方根；立方根．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：16=4，是整数，属于有理数；
在﹣3，π2，16，0.13⋅，34，0.1010010001这些实数中，无理数有π2，34，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数，算术平方根和立方根．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．（2024秋•宝安区期中）下列各式中运算正确的是（ ）
A．9=±3B．(−5)2=−5
C．(2)2=4D．3−1=−1
【考点】二次根式的性质与化简；立方根．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据立方根的定义和二次根式性质计算出正确的值即可得出答案．
【解答】解：A．9=3，故选项A错误，不符合题意；
B．(−5)2=25=5，故选项B错误，不符合题意；
C．(2)2=2，故选项C错误，不符合题意；
D．3−1=−1，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
4．（2024秋•惠山区期中）下列说法正确的是（ ）
A．3是9的立方根B．16的平方根为±4
C．25的算术平方根为5D．﹣1的平方根为±1
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、3不是9的立方根，故此选项不符合题意；
B、16=4，4的平方根是±2，即16的平方根是±2，故此选项不符合题意；
C、25的算术平方根为5，故此选项符合题意；
D、﹣1没有平方根，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
5．（2023秋•承德县期末）若m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【考点】平方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，
∴m+4+m﹣2＝0，
解得m＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•徐汇区校级期中）若最简二次根式2a−43a+b与a−b是同类根式，则a﹣2b＝ 9 ．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】9．
【分析】先根据题意得出2a﹣4＝2，再根据同类二次根式的定义进行列式计算即可．
【解答】解：由题可知，
2a﹣4＝2，
解得a＝3，
又知3a+b＝a﹣b，
解得b＝﹣3，
故a﹣2b＝3﹣2×（﹣3）＝9
故答案为：9．
【点评】本题考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
7．（2024秋•河西区期中）一个矩形的面积为50cm2，且长是宽的2倍，则这个矩形的周长为 30 cm．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】30．
【分析】先设宽为x cm，长为2x cm，再根据题意进行列式计算即可．
【解答】解：设宽为x cm，长为2x cm，
则2x×x＝50，
解得x＝5或x＝﹣5（舍去），
则宽为5cm，长为10cm，
则矩形的周长为2×（5+10）＝30（cm）．
故答案为：30．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
8．（2024秋•裕华区校级期中）若3x−2+2y−6=0，则﹣4xy的立方根为 ﹣2 ．
【考点】立方根；非负数的性质：算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再计算﹣4xy，最后根据立方根的定义计算即可．
【解答】解：∵3x−2+2y−6=0，
又∵3x−2≥0，2y−6≥0，
∴3x﹣2＝0，2y﹣6＝0，
∴x=23，y＝3，
∴﹣4xy＝﹣4×23×3＝﹣8，
∵﹣8的立方根是﹣2，
∴﹣4xy的立方根为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了立方根，非负数的性质﹣算术平方根，正确求出x、y的值是解题的关键．
9．（2024秋•宝安区期中）比较大小7−13 ＜ 23．
【考点】实数大小比较．
【专题】实数；数感．
【答案】＜．
【分析】应用放缩法，判断出7−13、23的大小关系即可．
【解答】解：∵7＜3，
∴7−13＜3−13，3−13=23，
∴7−13＜23．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，注意放缩法的应用．
10．（2024秋•市南区校级期中）如图，长方形一边在数轴上，点A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点E．则点E所表示的数是 10−1 ．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】10−1．
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示﹣1，可得点E表示的实数．
【解答】解：由图形可知，BC长为3，AB长为1，
∴AC=AB2+BC2=1+32=10，
∵A点表示﹣1，
∴点E表示的实数是10−1，
故答案为：10−1．
【点评】此题主要考查了实数与数轴以及勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•伊川县期中）已知4a+1的算术平方根是3，b、c满足|b−5|+c+1=0．
（1）求a、b、c的值：
（2）求（a+b+c）2的平方根．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）a＝2，b＝5，c＝﹣1；
（2）±6．
【分析】（1）根据题意可得4a+1＝32，b﹣5＝0，c+1＝0，再进行解题即可；
（2）先将a，b，c的值代入，求出代数式的值，再求平方根即可．
【解答】解：（1）∵4a+1的算术平方根是3，
∴4a+1＝32＝9，
∴a＝2，
∵b、c满足|b−5|+c+1=0，
∴b﹣5＝0，c+1＝0，
∴b＝5，c＝﹣1；
（2）由（1）可知a＝2，b＝5，c＝﹣1，
∴（a+b+c）2＝（2+5﹣1）2＝36，
∴36的平方根是±6．
【点评】本题考查算术平方根的非负数的性质、绝对值的非负数的性质，平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
12．（2024秋•市南区校级期中）3a﹣23的立方根是﹣5，36的平方根是6与b+15，c是15的整数部分．
（1）求a、b、c的值；
（2）求b+c﹣2a的算术平方根．
【考点】估算无理数的大小；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）a＝﹣34，b＝﹣21，c＝3，
（2）52．
【分析】（1）先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再估算出15的取值范围，求出c的值即可；
（2）把a、b、c的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵3a﹣23的立方根是﹣5，
∴3a﹣23＝（﹣5）3＝﹣125，
解得a＝﹣34；
∵36的平方根是6与b+15，
∴b+15＝﹣6，
解得b＝﹣21；
∵9＜15＜16，
∴3＜15＜4，
∵c是15的整数部分，
∴c＝3；
（2）∵a＝﹣34，b＝﹣21，c＝3，
∴b+c﹣2a
＝﹣21+3﹣2×（﹣34）
＝﹣21+3+68
＝50，
∴b+c﹣2a的算术平方根是50=52．
【点评】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的概念，无理数的估算，开方与乘方的关系，需要注意的是第二问要先求出这个代数式的值，再去求它的算术平方根．
13．（2024秋•市南区校级期中）求下列x的值：
（1）(x−5)2−1=0；
（2）3（2x﹣1）3+81＝0．
【考点】实数的运算；平方根；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）x1=5+1，x2=5−1；
（2）x＝﹣1．
【分析】（1）根据平方根的意义进行计算，即可解答；
（2）根据立方根的意义进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）(x−5)2−1=0，
（x−5）2＝1，
x−5=±1，
x1=5+1，x2=5−1；
（2）3（2x﹣1）3+81＝0，
3（2x﹣1）3＝﹣81，
（2x﹣1）3＝﹣27，
2x﹣1＝﹣3，
2x＝﹣2，
x＝﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算，平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（2024秋•朝阳区校级期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，请化简|c|−(a−b)2−(b−c)2+3b3．
【考点】实数的运算；实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣a+3b﹣2c．
【分析】根据数轴可得b＜﹣1＜c＜0＜a＜1，则a﹣b＞0，b﹣c＜0，再去根号即可．
【解答】解：由图可知：b＜﹣1＜c＜0＜a＜1，
∴a﹣b＞0，b﹣c＜0，
∴|c|−(a−b)2−(b−c)2+3b3
＝﹣c﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+b
＝﹣c﹣（a﹣b）﹣[﹣（b﹣c）]+b
＝﹣a+3b﹣2c
【点评】本题考查了实数和数轴以及二次根式的性质化简，去绝对值的方法和根号的方法是解题的关键．
15．（2024秋•蓝田县期中）小明的爸爸打算用如图一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为600cm2的长方形桌面．
（1）求正方形木板的边长；
（2）若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．
【考点】算术平方根．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）正方形木板的边长为30cm；（2）长方形纸片的长为30cm，宽为20cm，
【分析】（1）结合已知条件，利用算术平方根的定义即可求得答案；
（2）设要求裁出的桌面的长为3x cm，宽为2x cm，然后结合已知条件求得x的值，进而求得长和宽，再利用无理数的估算进行判断即可．
【解答】解：（1）∵正方形木板的面积为900cm2，
∴正方形木板的边长为900=30(cm)，
即正方形木板的边长为30cm；
（2）能，
设要求裁出的桌面的长为3x cm，宽为2x cm，
则3x•2x＝600，
解得：x＝±10，
∵x＞0，
∴x＝10，
则长方形纸片的长为3x＝30cm，宽为2x＝20cm，
故小明的爸爸能做到．
【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键．
考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“−a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
5．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号3a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
6．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如2，3，35等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．
7．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
8．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
9．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
10．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
11．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①a≥0； a≥0（双重非负性）．
②（a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③a2=|a|=a(a＞0)0(a=0)−a(a＜0)（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
ab=a•b（a≥0，b≥0）ab=ab（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
12．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
13．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．