2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期末必刷常考题之一次函数的应用练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期末必刷常考题之一次函数的应用练习，共24页。试卷主要包含了的关系，的关系如表等内容，欢迎下载使用。
1．（2024秋•雁塔区校级期中）在一定范围内，弹簧的受力和伸长长度成正比．某次数学实验中，同学们记录了同一根弹簧的长度y（cm）和所挂物体质量x（kg）（0≤x≤12）的对应数据如表（部分）所示，下列说法中不正确的是（ ）
A．x，y都是变量，y是x的一次函数
B．弹簧不挂物体时的长度是10cm
C．当所挂物体的质量为10kg时，弹簧长度是15cm
D．物体质量由4kg增加到7kg，弹簧的长度增加1cm
2．（2024秋•深圳期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则下列说法正确是（ ）
A．甲步行的平均速度为32米/分
B．乙步行的平均速度为20米/分
C．当t＝30时，乙到达终点
D．乙比甲提前4.5分钟到达终点
3．（2024•青山区模拟）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为（ ）
A．3.3B．3.65C．3.9D．4.7
4．（2024秋•荥阳市期中）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，则下列说法：
①a＝4.5；
②甲的速度是60km/h；
③乙刚开始的速度是80km/h；
④乙出发第一次追上甲用时80min．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
5．（2024秋•市中区期中）如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝ah+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，a为常数且a＞0，点M的坐标为（34.5，342），根据图中信息分析，下列结论正确的是（ ）
A．湖水面大气压强为76.0cmHg
B．函数解析式P＝ah+P0中P的取值范围是P＜342
C．湖水深20m处的压强为256cmHg
D．P与h的函数解析式为P＝8h+66（0≤h≤34.5）
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•市南区校级期中）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kw•h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是250km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 kw•h．
7．（2024秋•历下区期中）A，B两地相距30km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲骑自行车以10km/h的速度先出发，1.5小时后，乙开车以40km/h的速度出发．两人之间的距离s（km）与甲出发的时间t（h）的函数关系如图所示，当乙到达B地时两人相距 km．
8．（2024春•三门县期末）一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm，弹簧的总长度y cm与所挂物体的质量x kg的函数表达式是 ．
9．（2024秋•龙华区期中）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=95x+32，如果某一温度的摄氏度数是5℃，那么它的华氏度数是 ℉．
10．（2024秋•潍坊期中）火星探测车是登陆火星并进行探测的可移动探测器，为应对极端温度环境，制造火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率（W/m•K）与温度（℃）的关系如表：
根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.75W/m•K，则温度为 ℃．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•莱西市期中）近年来，越来越多的上班族使用网上订餐服务．某外卖员上周星期目的送餐收入是200元，现以此收入为“基准”记为0，用图中的折线表示该外卖员本周每天送餐收入的变化情况．
（1）本周该外卖员星期日与星期二相比送餐收入是增多了还是减少了？变化了多少？
（2）用正号表示收入比前一天增多，负号表示收入比前一天减少，完成下表：
（3）求该外卖员本周送餐平均收入是多少元？
12．（2024秋•市南区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=43x+4与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=13S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2024秋•宝安区期中）暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往西安旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去兵马俑．甲、乙两公司收费如下，甲公司：按日收取固定租金100元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，关系如图所示．根据以上信息，解决下列问题：
（1）直接写出y1，y2与x之间的表达式；
（2）结合图象，请你帮助小明分析选择哪家租车公司更合算．
14．（2024秋•市南区校级期中）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
（1）表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
在如图②所示的直角坐标系中描出如表的各点，用光滑的线连接；
（2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式；
（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到16厘米时是几点？
15．（2024秋•罗湖区校级期中）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x⩾10）盒．
（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式．
（2）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？
2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期末必刷常考题之一次函数的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•雁塔区校级期中）在一定范围内，弹簧的受力和伸长长度成正比．某次数学实验中，同学们记录了同一根弹簧的长度y（cm）和所挂物体质量x（kg）（0≤x≤12）的对应数据如表（部分）所示，下列说法中不正确的是（ ）
A．x，y都是变量，y是x的一次函数
B．弹簧不挂物体时的长度是10cm
C．当所挂物体的质量为10kg时，弹簧长度是15cm
D．物体质量由4kg增加到7kg，弹簧的长度增加1cm
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】A．根据变量的定义及“所挂物体的质量x增加1kg，弹簧的长度y伸长0.5cm”判断即可；
B．利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，将x＝0代入该函数求出对应y的值即可；
C．将x＝10代入该函数求出对应y的值即可；
D．分别将x＝4和x＝7代入y与x之间的函数关系式，求出对应的y值并求差即可．
【解答】解：∵x，y都是变量，且所挂物体的质量x增加1kg，弹簧的长度y伸长0.5cm，
∴弹簧的长度y和所挂物体质量x的一次函数，
∴A正确，不符合题意；
设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
把x＝2，y＝11和x＝4，y＝12分别代入y＝kx+b，
得2k+b=114k+b=12，
解得k=0.5b=10，
∴y与x之间的函数关系式为y＝0.5x+10，
当x＝0时，y＝10，
∴弹簧不挂物体时的长度是10cm，
∴B正确，不符合题意；
当x＝10时，y＝0.5×10+10＝15，
∴当所挂物体的质量为10kg时，弹簧长度是15cm，
∴C正确，不符合题意；
当x＝4时，y＝0.5×4+10＝12，
当x＝7时，y＝0.5×7+10＝13.5，
13.5﹣12＝1.5（cm），
∴物体质量由4kg增加到7kg，弹簧的长度增加1.5cm，
∴D不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握变量的定义、一次函数的判断方法是解题的关键．
2．（2024秋•深圳期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则下列说法正确是（ ）
A．甲步行的平均速度为32米/分
B．乙步行的平均速度为20米/分
C．当t＝30时，乙到达终点
D．乙比甲提前4.5分钟到达终点
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解．
【解答】解：由图可得，甲的速度为240÷3＝80（米/分），故选项A不符合题意；
设乙的速度为x米/分，
由图可得，（15﹣3）x＝240+80×（15﹣3），
解得x＝100，
∴乙的速度为100米/分，故选项B不符合题意；
∴甲到达终点的时间为3000÷80＝37.5（分钟），
乙达到终点的时间为3000÷100＝30（分钟），
30+3＝33（分钟），
即当t＝33时，乙到达终点，故选项C不符合题意；
∵甲先出发3分钟，
∴乙先到终点原地休息了37.5﹣3﹣30＝4.5（分钟），
即乙比甲提前4.5分钟到达终点．
故说法正确是D．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，看懂函数的图象是解题的关键．
3．（2024•青山区模拟）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为（ ）
A．3.3B．3.65C．3.9D．4.7
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设水位h（cm）与时间t（min）的关系式h＝kt+b，用待定系数法求出解析式即可．
【解答】解：设水位h（cm）与时间t（min）的关系式h＝kt+b，
把t＝0，h＝0.7和t＝1，h＝1.1代入表中数据得：b=+b，
解得：k=0.4b=0.7，
∴水位h（cm）与时间t（min）的关系式h＝0.4t+0.7．
把t＝10代入h＝0.4t+0.7中，得h＝0.4×10+0.7＝4.7，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的知识，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
4．（2024秋•荥阳市期中）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，则下列说法：
①a＝4.5；
②甲的速度是60km/h；
③乙刚开始的速度是80km/h；
④乙出发第一次追上甲用时80min．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
a＝4+0.5＝4.5，故①正确；
甲的速度是460÷（7+4060）＝60（km/h），故②正确；
设乙刚开始的速度是v km/h，则后来的速度为（v﹣50）km/h，
4v+（7﹣4.5）×（v﹣50）＝460，
解得v＝90，故③错误；
设乙出发第一次追上甲用时t h，
90t＝60（t+4060），
解得t=43，
43h＝80min，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键．
5．（2024秋•市中区期中）如图1是某湖最深处的一个截面图，湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为P＝ah+P0，其图象如图2所示，其中P0为湖水面大气压强，a为常数且a＞0，点M的坐标为（34.5，342），根据图中信息分析，下列结论正确的是（ ）
A．湖水面大气压强为76.0cmHg
B．函数解析式P＝ah+P0中P的取值范围是P＜342
C．湖水深20m处的压强为256cmHg
D．P与h的函数解析式为P＝8h+66（0≤h≤34.5）
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由图象可知，直线P＝kh+P0过点（0，66）和（34.5，342）．由此可得出k和P0的值，进而可判断A，D；根据实际情况可得出h的取值范围，进而可判断B；将h＝20代入解析式，可求出P的值，进而可判断C．
【解答】解：由图象可知，直线P＝kh+P0过点（0，66）和（34.5，342）．
∴P0=6634.5a+P0=342，
解得P0=66a=8，
∴直线解析式为：P＝8h+66．故D正确，符合题意；
∴青海湖水面大气压强为66.0cmHg，故A错误，不符合题意；
根据实际意义，函数解析式P＝ah+P0中P的取值范围是66≤P≤342，故B错误，不符合题意；
将h＝20代入解析式P＝8h+66，
∴P＝8×20+66＝226，即青海湖水深20m处的压强为226cmHg，故C错误，不符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数的实际应用，涉及一次函数的图象和性质，待定系数法等知识．关键是计算过程中需要结合实际意义．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•市南区校级期中）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kw•h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是250km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 10 kw•h．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】10．
【分析】利用待定系数法分别求出图象l1，l2的函数表达式，将x＝250分别代入两个函数表达式求出对应的函数值并计算二者之差即可．
【解答】解：设图象l1的函数表达式为y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将坐标（0，80）和（200，48）分别代入y1＝k1x+b1，
得b1=80200k1+b1=48，
解得k1=−425b1=80，
∴图象l1的函数表达式为y1=−425x+80；
设图象l2的函数表达式为y2＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）．
将坐标（0，80）和（200，40）分别代入y2＝k2x+b2，
得b2=80200k2+b2=40，
解得k2=−15b2=80，
∴图象l2的函数表达式为y2=−15x+80．
当x＝250时，y1=−425×250+80＝40，y2=−15×250+80＝30，
40﹣30＝10（kw•h），
∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是250cm时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多10kw•h．
故答案为：10．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键．
7．（2024秋•历下区期中）A，B两地相距30km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲骑自行车以10km/h的速度先出发，1.5小时后，乙开车以40km/h的速度出发．两人之间的距离s（km）与甲出发的时间t（h）的函数关系如图所示，当乙到达B地时两人相距 7.5 km．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】7.5．
【分析】根据路程÷速度＝时间求出乙到达B地所用时间，从而求出甲骑行的时间并根据“速度×时间＝路程”求出此时甲骑行的路程，进而求出两人的之间的距离即可．
【解答】解：乙到达B地所用时间为30÷40＝0.75（h），
当乙到达B地时，甲骑行的时间为1.5+0.75＝2.25（h），骑行的路程为10×2.25＝22.5（km），
30﹣22.5＝7.5（km），
∴当乙到达B地时两人相距7.5km．
故答案为：7.5．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键．
8．（2024春•三门县期末）一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm，弹簧的总长度y cm与所挂物体的质量x kg的函数表达式是 y＝12+2x ．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】y＝12+2x．
【分析】弹簧总长＝弹簧原来的长度+挂上x kg重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm，
∴挂上x kg的物体后，弹簧伸长2x cm，
∴弹簧总长y＝12+2x．
即弹簧的总长度y cm与所挂物体的质量x kg的函数表达式是y＝12+2x，
故答案为：y＝12+2x．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据实际问题列一次函数解析式，得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键．
9．（2024秋•龙华区期中）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=95x+32，如果某一温度的摄氏度数是5℃，那么它的华氏度数是 41 ℉．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】41．
【分析】把x的值代入函数关系式计算求出y值即可．
【解答】解：当x＝5时，
y=95×5+32
＝41，
故答案为：41．
【点评】本题考查一次函数的应用，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键．
10．（2024秋•潍坊期中）火星探测车是登陆火星并进行探测的可移动探测器，为应对极端温度环境，制造火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率（W/m•K）与温度（℃）的关系如表：
根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.75W/m•K，则温度为 700 ℃．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】700．
【分析】根据表格数据可知，导热率（W/m•K）与温度（℃）的函数关系为一次函数，然后用待定系数法求函数解析式，再把y＝0.75代入解析式求出x的值即可．
【解答】解：根据表格数据可知，温度每增加50℃，导热率增加0.05W/m•K，
∴该材料导热率（W/m•K）与温度（℃）的函数关系为一次函数，
设导热率（W/m•K）与温度（℃）的函数关系式为y＝kx+b，
把x＝100，y＝0.15；x＝150，y＝0.2代入解析式得：100k+b=0.15150k+b=0.2，
解得：k=0.001b=0.05，
∴设导热率（W/m•K）与温度（℃）的函数关系式为y＝0.001x+0.05，
当y＝0.75时，0.001x+0.05＝0.75，
解得x＝700，
∴当导热率为0.75W/m•K时，温度为700℃，
故答案为：700．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•莱西市期中）近年来，越来越多的上班族使用网上订餐服务．某外卖员上周星期目的送餐收入是200元，现以此收入为“基准”记为0，用图中的折线表示该外卖员本周每天送餐收入的变化情况．
（1）本周该外卖员星期日与星期二相比送餐收入是增多了还是减少了？变化了多少？
（2）用正号表示收入比前一天增多，负号表示收入比前一天减少，完成下表：
（3）求该外卖员本周送餐平均收入是多少元？
【考点】一次函数的应用；正数和负数．
【专题】实数；一次函数及其应用；符号意识；运算能力；应用意识．
【答案】（1）增多了，增多了40元；
（2）﹣20，+30，﹣25，+40；
（3）210元．
【分析】（1）根据图象，计算星期日的收入减星期二的收入，若结果为正，则收入增加了；若结果为0，则收入不变；若结果为负，则收入减少了；
（2）根据图象，与前一天收入的差即为收入的变化；
（3）本根据本周的总收入除以天数计算即可．
【解答】解：（1）30﹣（﹣10）＝40（元）．
答：本周该外卖员星期日与星期二相比送餐收入增多了，增多了40元．
（2）星期二比星期一收入的变化为﹣10﹣10＝﹣20（元），
星期三比星期二收入的变化为20﹣（﹣10）＝+30（元），
星期五比星期四收入的变化为﹣15﹣10＝﹣25（元），
星期六比星期五收入的变化为25﹣（﹣15）＝+40（元）．
（3）[200×7+10+（﹣10）+20+10+（﹣15）+25+30]÷7＝210（元）．
答：该外卖员本周送餐平均收入是210元．
【点评】本题考查一次函数、正数和负数，掌握正数和负数相反的意义及有理数的加法运算法则是解题的关键．
12．（2024秋•市南区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=43x+4与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=13S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；展开与折叠；推理能力．
【答案】（1）5；
（2）点C（﹣8，0），点D（0，﹣6）；
（3）存在，点P的坐标为：（0，283）或（0，−43）．
【分析】（1）对于y=43x+4，当x＝0时，y＝4，令y=43x+4＝0，则x＝﹣3，即可求解；
（2）由图象的折叠知，AC＝AB＝5且CD＝BD，即可求解；
（3）由则S△PAB＝8=12×|yB﹣yP|=12×|8﹣yP|，即可求解．
【解答】解：（1）对于y=43x+4，当x＝0时，y＝4，
令y=43x+4＝0，则x＝﹣3，
即点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，4），
由点A、B的坐标得，AB＝5；
（2）存在，理由：
设点D（0，m），
由图象的折叠知，AC＝AB＝5且CD＝BD，
则点C（﹣8，0），
由CD＝BD得：（4﹣m）2＝82+m2，
解得：m＝﹣6，
即点D（0，﹣6）；
（3）∵S△COD=12×CO•OD=12×6×8=24，
则S△PAB＝8=12×|yB﹣yP|=12×|8﹣yP|，
解得：yP=283或−43，
综上，点P的坐标为：（0，283）或（0，−43）．
【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质，勾股定理，三角形面积公式等知识，依据勾股定理列出方程是解题的关键．
13．（2024秋•宝安区期中）暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往西安旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去兵马俑．甲、乙两公司收费如下，甲公司：按日收取固定租金100元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，关系如图所示．根据以上信息，解决下列问题：
（1）直接写出y1，y2与x之间的表达式；
（2）结合图象，请你帮助小明分析选择哪家租车公司更合算．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y1＝20x+100，y2＝40x；
（2）当租车时间少于5小时时，选择乙租车公司更合算；当租车时间等于5小时时，两家租车公司所需费用一样多，任选一家即可；当租车时间多于5小时时，选择甲租车公司更合算．
【分析】（1）求出甲公司每小时的租金，再分别根据“租用甲公司的车所需费用＝甲公司每小时的租金×租车时间+租金”和“租用乙公司的车所需费用＝乙公司每小时的租金×租车时间”写出y1，y2与x之间的表达式即可；
（2）求出两图象的交点的横坐标，再按照x的取值范围比较y1，y2的大小即可．
【解答】解：（1）∵甲公司每小时的租金为120﹣100＝20（元），乙公司每小时的租金是40元，
∴y1与x之间的表达式为y1＝20x+100，y2与x之间的表达式为y2＝40x．
（2）当y1＝y2时，得20x+100＝40x，
解得x＝5，
由图象可知，当x＜5时，y1＞y2；
当x＝5时，y1＝y2；
当x＞5时，y1＜y2，
∴当租车时间少于5小时时，选择乙租车公司更合算；当租车时间等于5小时时，两家租车公司所需费用一样多，任选一家即可；当租车时间多于5小时时，选择甲租车公司更合算．
【点评】本题考查一次函数的应用，写出y1，y2与x之间的表达式、求出两图象的交点的横坐标是解题的关键．
14．（2024秋•市南区校级期中）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
（1）表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
在如图②所示的直角坐标系中描出如表的各点，用光滑的线连接；
（2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式；
（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到16厘米时是几点？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）描点并连线见解答；
（2）y＝4x+2；
（3）上午11：30．
【分析】（1）描点并连线即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）将y＝16代入（2）中求得的y与x之间的函数表达式，求出对应x的值并根据本次实验记录的开始时间是上午8：00计算即可．
【解答】解：（1）描点并连线如图所示：
（2）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标（0，2）和（1，6）分别代入y＝kx+b，
得b=2k+b=6，
解得k=4b=2．
答：y与x之间的函数表达式为y＝4x+2．
（3）当y＝16时，得4x+2＝16，
解得x＝3.5，
上午8：00经过3.5小时是上午11：30．
答：如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到16厘米时是上午11：30．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
15．（2024秋•罗湖区校级期中）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x⩾10）盒．
（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式．
（2）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720；（2）校提供经费为1800元，选择方案甲能购买更多乒乓球．
【分析】（1）根据购买费用＝单价×数量，建立关系表示的函数关系式即可．
（2）将y＝1800分别代入两个解析式中，计算求解，然后比较作答即可．
【解答】解：（1）由题意得：y甲＝10×80+25（x﹣10）＝25x+550，
y乙＝25×0.9x+80×0.9×10＝22.5x+720，
（2）由（1）得：y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720，
当y甲＝1800元时，1800＝25x+550，当y乙＝1800元时，1800＝22.5x+720，
解得：x甲＝50，x乙＝48，
∵50＞48，
∴学校提供经费为1800元，选择方案甲能购买更多乒乓球．
【点评】本题考查了一次函数的应用．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
3．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．x（kg）
1
2
3
4
…
y（cm）
10.5
11
11.5
12
…
t（min）
…
0
1
2
3
…
h（cm）
…
0.7
1.1
1.5
1.9
…
温度（℃）
100
150
200
250
300
导热率（W/m•K）
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
星期
一
二
三
四
五
六
日
收入变化（元）
+10
﹣10
+5
时间x（小时）
0
1
2
3
4
圆柱体容器液面高度y（厘米）
2
6
10
14
18
x（kg）
1
2
3
4
…
y（cm）
10.5
11
11.5
12
…
t（min）
…
0
1
2
3
…
h（cm）
…
0.7
1.1
1.5
1.9
…
温度（℃）
100
150
200
250
300
导热率（W/m•K）
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
星期
一
二
三
四
五
六
日
收入变化（元）
+10
﹣10
+5
时间x（小时）
0
1
2
3
4
圆柱体容器液面高度y（厘米）
2
6
10
14
18