广东省茂名市信宜市2023-2024学年高二(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份广东省茂名市信宜市2023-2024学年高二(上)期末数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为直线方程为，化为斜截式为：，
所以直线的斜率为：.
故选：D.
2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】B
【解析】由抛物线方程，
得，故抛物线焦点到准线距离为，
故选：B.
3. 已知两条直线：，：，且，则的值为( )
A. －2B. 1C. －2或1D. 2或－1
【答案】B
【解析】：，：斜率不可能同时不存在，
∴和斜率相等，则或，
∵m＝－2时，和重合，故m＝1.
另解：，故m=1.
故选：B.
4. 信宜市是广东省首个“中国慈孝文化之乡”．为弘扬传统慈孝文化，信宜某小学开展为父母捶背活动，要求同学们在某周的周一至周五任选两天为父母捶背，则该校的同学甲连续两天为父母捶背的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令周一至周五的5天依次为1，2，3，4，5，
则周一至周五任选两天的样本空间，共10个样本点，
连续两天事件，共4个样本点，
所以该校的同学甲连续两天为父母捶背的概率为.
故选：C
5. 若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】若方程表示椭圆，则，解得或，
因为或，
因此，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：D.
6. 平行六面体中，，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】由平行六面体可得，
又，
所以，
则.
故选：B.
7. 若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设与直线平行的直线的方程为，
∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，
设切点， ，所以，
，，，
点，直线的方程为，
两点间距离的最小值为平行线和间的距离，
两点间距离的最小值为.
故选：.
8. 已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A. 1678B. 1666C. 1472D. 1460
【答案】B
【解析】第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，
故新数列的公差是4和6的最小公倍数12，
则新数列的公差为12，首项为2，
其通项公式为，
令，得，
故，
则，
故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】A：，所以，A正确；
B：，所以，B错误；
C：，，所以，C正确；
D：，不存在实数，使得，故与不平行，D错误．
故选：AC．
10. △ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ）
A. 边BC与直线平行
B. 边BC上高所在的直线的方程为
C. 过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D. 过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)
【答案】BD
【解析】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错；
边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确；
过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，C错；
过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为，D正确 ．
故选：BD．
11. 若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是（ ）
A. 过点F的最短的弦长为
B. 双曲线C的离心率为
C. 双曲线C上的点到点F距离的最小值为2
D. 双曲线C的渐近线为
【答案】BCD
【解析】依题知，，则，
所以双曲线的方程为，且
对于A，当直线的斜率为零时，该直线截双曲线的弦长为，
故A错误；
对于B，双曲线的离心率，故B正确；
对于C，设双曲线上任意一点，
则，
则，
又的对称轴为，
故当时，，故C正确；
对于D，双曲线方程知，渐近线方程为，故D正确；
故选：BCD.
12. 材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．
阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（ ）
A. 平面与垂直
B. 平面与所成角的余弦值为
C. 直线与平面平行
D. 直线与是异面直线
【答案】AD
【解析】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量；
对于A，，，则平面与垂直，A正确；
对于B，，
平面与所成角的余弦值为，B错误；
对于C，，，直线平面或直线平面，
直线过点，又满足，直线平面，C错误；
对于D，与不平行，直线与直线相交或异面，
由得：，此时无解，直线与直线无交点，
直线与直线是异面直线，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知等比数列满足，，则______．
【答案】12
【解析】等比数列an满足，，由，得.
故答案为：12
14. 长方体中，，，点F是底面的中心，则直线与直线所成角的余弦值为______．
【答案】
【解析】如图所示，建立如下空间直角坐标系，
依题可得，,
则,
所以,
故直线与直线所成角的余弦值为,
故答案为：.
15. 写出与圆和圆都相切的一条直线的方程________.
【答案】（答案不唯一，或均可以）
【解析】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切，
如图，有三条切线，易得切线的方程为；
因为，且，所以，设，即，
则到的距离，解得（舍去）或，所以；
可知和关于对称，联立，解得在上，
在上取点，设其关于的对称点为，则，
解得，则，
所以直线，即，
综上，切线方程为或或.
故答案为：（答案不唯一，或均可以）
16. 已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为_________．
【答案】
【解析】设椭圆的左焦点为,连接，,
由几何关系可知，则，
即，
由椭圆的定义可知，即且，
整理得，解得，
.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线与垂直且经过点.
（1）求的方程;
（2）若与圆相交于两点,求.
解：（1）由直线，可得斜率，
因为，所以直线的斜率为，
又因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）由圆，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
又由圆的弦长公式，可得弦长.
18. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
解：（1）由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
（2）由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，
整理可得：，
解得：或，又为正整数，
故的最小值为.
19. “猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对概率为，求n的值．
解：（1）设“甲猜对灯谜”事件A，“乙猜对灯谜”为事件B，
“任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C，
由题意得，，，且事件A、B相互独立，
则
，
所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为；
（2）设“丙猜对灯谜”为事件D，
“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E，
则由题意，
，
解得．
20. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小．
解：（1）解法一：因为底面是正方形，侧棱底面，
以D为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
依意得，，，，
所以，，
因为，所以，
由已知，且，平面，平面，
所以平面．
解法二：底面是正方形，，
底面，且平面，，
，平面，平面，
平面，平面，，
，E为中点，，
，平面，平面，
平面，平面，，
由已知，且，平面，平面，
所以平面.
（2）解法一：依题意得，且，，
设平面的一个法向量为，
则，即取，
因为，，设平面的一个法向量为，
则即取，
设平面与平面的夹角为，则，
又，所以，所以平面与平面的夹角为．
解法二：由（1）知平面，，
又，平面，平面，
为平面与平面所成角，
，E为中点，，，
平面，平面，，
直角三角形中，，
所以，
所以平面与平面的夹角为
21. 记数列an的前项和为，已知.
（1）证明：数列bn为等比数列，并求数列an的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）因为，
当时，，解得；
当时，由，得，
两式相减得，即，
则，即，
又，故，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，
所以．
（2）由（1）得，
所以,
所以，
则，
两式相减，得
，
所以．
22. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且.过右焦点的直线与交于两点，的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过原点作一条垂直于的直线交于两点，求的取值范围.
解：（1）由，
得，
又的周长为，
即，
，
椭圆的标准方程为.
（2）设，
当直线的斜率为0时，得；
当直线的斜率不为0时，设直线，直线，
联立直线和椭圆的方程，并消去整理得
，
.
由根与系数的关系得，
所以.
联立直线和椭圆的方程，并消去整理得
，由根与系数的关系得，
，
所以.
令，则
不妨设
，
，
，
，
综上可得，的取值范围为.