贵州省安顺市2024届高三(上)质量监测考试数学试卷(解析版)

这是一份贵州省安顺市2024届高三(上)质量监测考试数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，解得：，所以，
所以.
故选：C
2. 若（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D
3. 已知平面向量，，则向量与的夹角为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】易知，
由可知.
故选：B
4. 安顺市第三届运动会于2023年11月8日至11月10日在安顺奥体中心举行.某中学安排4位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ）
A. 18种B. 24种C. 36种D. 72种
【答案】C
【解析】四位同学观看三个项目比赛，由于一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，根据题意，其中有两人看一个项目，所以安排方案有种.
故选：C
5. 西秀山白塔位于安顺城南西秀山上，为仿阁楼式六棱九重实心石塔，白塔始建于元泰定三年（公元1326年），初仅为佛用砖塔.清咸丰元年（1851年），这座元代的砖塔倾斜严重，前安顺知府胡林翼倡捐廉银三十两，时值清中叶，我国华南地区开始以“制器尚象”的设计思维尊崇毛笔形状兴建了大批风水塔，以寓当地文风昌盛.位于西秀山的这座古塔正是在这样的潮流下，被设计成了一个套筒式的毛笔状白塔，咸丰二年普定知县邵鸿儒撰《重修安郡文峰碑》记录了这一大盛事，如图，某学习小组为了测量“西秀山白塔”BC的高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为，塔底C点的仰角为.已知山岭高CD为h，则塔高BC为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，，，
在中，，所以，
在中，，所以，
所以，故A正确.
故选：A.
6. 已知椭圆，，分别为该椭圆的左，右焦点，以为直径的圆与椭圆C在第一象限交于点P，则点P的纵坐标为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】由题意可得，，则，
设，且，则，且，
解得，所以.
故选：B
7. 函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. D. 是奇函数
【答案】D
【解析】与都是奇函数，
，，
函数关于点及点对称，
，，
故有，函数是周期的周期函数，
，
，即，
是奇函数，
故选：D．
8. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由边长为的正三角形的内切圆半径为，
即轴截面是边长为的正三角形的圆锥内切球半径为，
所以放入一个半径为1的小球后，再放一个球，如下图，
要使球的表面积与容器表面积之比的最大，即球的半径最大，
所以只需球与球、圆锥都相切，其轴截面如上图，此时，
所以球的表面积为，圆锥表面积为，
所以球的表面积与容器表面积之比的最大值为.
故选：A
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某同学高三上学期5次月考数学成绩分别为90，100，95，110，105，则（ ）
A. 5次月考成绩的极差为15B. 5次月考成绩的平均数为100
C. 5次月考成绩方差为50D. 5次月考成绩的40%分位数为95
【答案】BC
【解析】由题意可得，5次月考成绩的极差为，故A错误；
5次月考成绩的平均数为，故B正确；
5次月考成绩的方差为，故C正确；
5次月考成绩从小到大排列为，且，
所以5次月考成绩的40%分位数为，故D错误；
故选：BC
10. 函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ）

A. 的最小正周期为
B. 的图象关于中心对称
C. 在上单调递减
D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象
【答案】AD
【解析】A选项，由图可得，的半个最小正周期为，则的最小正周期为，故A正确；
BC选项，，由在处取最大值，则，.则，取，则.即.
将代入，得，则不是对称中心；
，，因在上递减，在上递增，则不是的单调递减区间，故BC错误；
D选项，由BC选项分析可知，，向右平移个单位长度后，得，为奇函数，故D正确.
故选：AD
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点E、F、G、H分别为棱、、、的中点，点M为棱上动点，则（ ）

A. 点E、F、G、H共面B. 的最小值为
C. 点B到平面的距离为D.
【答案】ACD
【解析】如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，

对A：，，，
设，即，解得，，
所以共面，故A正确．
对B：将正方体沿剪开展开如下图，连接交于一点，此点为点，
此时为最小值，故B错误；

对C：由等体积法可知，即，
由，，求解得，故C正确.
对D：，，，
，则，所以，故D正确.
故选：ACD.
12. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则（ ）
A.
B. 数列为等比数列
C.
D. 第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种
【答案】ABD
【解析】由题意可知，要使得n次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中，
所以，，即，
因为，则，所以，，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确；
则，即，故C错误；
且，故A正确；
若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，
设甲，乙，丙对应，
则，，，
，，，
所以一共有六种情况，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知数列为等比数列，，，则______.
【答案】9
【解析】由数列为等比数，所以，又因为同号，所以.
故答案为：9.
14. 若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是_____________.
【答案】
【解析】由，得，
，时，，时，，
，所以．
所以．
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程______.
【答案】（答案不唯一，另一条为）
【解析】依题意，点关于直线的对称点，
由光的反射定理知，从点射出的光线经直线反射后，与圆相切，
相当于从点发出的光线与圆相切，显然该切线斜率存在，设方程为，
因此圆心到直线的距离，解得，
所以所求直线方程为或.
故答案为：
16. 已知函数有正零点，则正实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由已知可得，，定义域为.
因为等价于.
令，则在R上恒成立，
所以，在R上单调递增.
由可知，，
根据单调性可知，，所以有.
因为，所以.
令，，则.
由可得，.
由可得，，所以在上单调递增；
由可得，，所以在上单调递减.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，
所以，，所以.
故答案为：.
四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）方程在有解，求实数m的范围.
解：（1）的定义域为R，
，
当时，；时，；
故单调增区间为，；
（2）由（1）知，函数区间，上单调递增，
在区间上单调递减，
∵，，，，
∴，，
故函数在区间上的最大值为4，最小值为1，
∴，
∴.
18. 在中，内角A、B、C对边分别为a、b、c，已知.
（1）求A的大小：
（2）设的面积为，点D在边上，且，求的最小值.
解：（1）因为，即，
由正弦定理可得，整理得，
则，且，所以.
（2）因为，解得，
又因为，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
19. 如图，在直三棱柱中，，.
（1）求证：.
（2）若，，点E是线段上一动点，当直线与平面所成角正弦值为时，求点E的位置.
证明：（1）如图连接，
∵直三棱柱中，，
∴四边形为正方形，∴；
又，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，且平面，所以平面，
且平面，所以.
解：（2）由题意知、、两两互相垂直，
如图所示以B为原点，、、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系；
则，，，，，
设，，，，
设平面法向量为，
则，取，
则，
∴或（舍去），∴E为中点.
20. 记为数列的前n项和，已知，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，的前n项和为，求的最小值.
解：（1）∵，，∴，
∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，
则，
即，，
两式作差得，
即，∴，
即，，
∵符合上式，∴.
（2），
所以，.
∵，
∴数列为递增数列，∴.
21. 某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.
（1）求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望；
（2）规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？
解：（1）由题知：可取0，1，2，3，则:
，，
，，
故的分布列为：
则的期望为：.
（2）方法1、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则.
故
所以的分布列为：
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
方法2、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则
故
∴假设当时，对应概率取值最大，则
解得，而
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
22. 已知双曲线，A，B为左右顶点，双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为1，点P为双曲线上异于A，B一点，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线l与相切，与其渐近线分别相交于M、N两点，求证：的面积为定值.
解：（1）由题意知，∵双曲线渐近线方程为，
∴F到渐近线距离，
设点，，，
∴，∴，
所以双曲线的标准方程为.
证明：（2）当直线l斜率存在时，设直线l与相切的切点坐标为，斜率为k，
则，
则直线l的方程为：，与联立整理得：
，
双曲线渐近线为，故，
∴，
化简得，
又，∴，∴，∴；
故直线的方程为：，∴l与x轴交于点，
不妨设M为l与的交点，则，
为l与的交点，则 ，
∴；
当直线l斜率不存在时，，，∴；
综上可得的面积为定值2.
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5