河北省石家庄市部分重点高中2024届高三(上)期末考试数学试卷(解析版)

这是一份河北省石家庄市部分重点高中2024届高三(上)期末考试数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以；因为，
，解得，所以，所以
.
故选：C.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】由题意可知：，
则的共轭复数为，其所对应的点为，在第一象限.
故选A.
3. 一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，至少含有一个黑球的概率是.
故选：B
4. 设，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，令得，
所以函数在区间单调递增，因为，
所以，即，，
不等式两边同乘得，即.
故选：B.
5. 数列是公差不为零的正项等差数列，为等比数列，若.则数列的公比为（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 11
【答案】A
【解析】设的公差为，且，的公比为，
因为，所以，则，
因为，
所以，
所以的公比.
故选：A.
6. 记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】，由拋物线定义可知到准线距离为，即，解得，
即抛物线方程为，不妨取，又，
所以，
联立，消去整理得，
解得，即，
则.
故选：C.
7. 是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，显然，
由于切圆于点，则，
四边形的面积，
当且仅当直线垂直于直线时取等号，
所以四边形面积的最小值为.
故选：B
8. 已知函数关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，，
当时，当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
当时，，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，，时，.
画出函数的图象，如下图所示，
可得函数最小值为有四个不同的实数根，
数形结合可知的取值范围是，
故选：A.
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（ ）
A. 游客中，青年人是老年人的2倍多
B. 老年人的满意人数是青年人的2倍
C. 到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5%
D. 到该地旅游的游客满意人数超过一半
【答案】ACD
【解析】由扇形统计图可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正确；
其中满意的青年人占总人数的，
满意的中年人占总人数的，
满意的老年人占总人数的，故B错误，C正确；
总满意率为，故D正确.
故选：.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的单调递增区间是
B. 的单调递增区间是
C. 在上有3个零点
D. 将函数图象向左平移3个单位长度得到的图象所对应的函数为奇函数
【答案】AC
【解析】由图象得，周期，得，
所以，．
令，解得，
故单调递增区间为．A正确，B错误；
令，解得，
令得，解得，可知C选项正确；
函数图象关于直线对称，向左平移3个单位长度，图象关于轴对称，得到的函数为偶函数，故D错误．
故选：AC．
11. 正方体中，为的中点，为正方体表面上一个动点，则（ ）
A. 当在线段上运动时，与所成角的最大值是
B. 当在棱上运动时，存在点使
C. 当在面上运动时，四面体的体积为定值
D. 若在上底面上运动，且正方体棱长为与所成角为，则点的轨迹长度是
【答案】BC
【解析】对于A，在正方体中，易知，
所以与所成角等价于与所成的角，
当为中点时，，此时所成角最大，为，故A错误.
对于B，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，，
因为，，
所以，故B正确.
对于C，因为在面内，面到平面的距离等于，
而三角形面积不变，故体积为定值，故C正确.
对于D，因为棱垂直于上底面，且与所成角为，
所以在中，，
由圆锥的构成可知所在的轨迹是以为圆心1为半径的弧，轨迹长度是，故D错误.
故选：BC.
12. 已知函数和是定义域为的函数.若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B.
C. 函数的图像关于直线对称
D.
【答案】BC
【解析】由可知的图象关于直线对称，C正确；
所以，则①，
令为，则②.
的图象关于点对称，，令，故B正确；
由①②可知，所以的图象关于直线对称.故错误；
所以4是的周期，由，得，令，由①得是的周期.有2024项，故，故D错误.
故选：BC.
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，若点沿着单位圆顺时针旋转到点，且.则__________.
【答案】
【解析】由三角函数定义知
则.
故答案为：
14. 等边三角形的边长是，分别是与的中点，则__________.
【答案】
【解析】.
故答案是：.
15. 已知，则__________.（用数字作答）
【答案】405
【解析】对两边求导得：
，
令，可得.
故答案为：.
16. 若不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】令，可知的定义域为，
且在上单调递增，则在上单调递增，
因为，则，
即，结合的单调性可知，
整理得在内恒成立，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以的最大值为，则，
所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设的内角的对边分别为，且.
（1）求角;
（2）若，求面积的最大值.
解：（1）因为，由正弦定理得，
即，所以，
因为，可得，所以，
显然，所以，
又因为，所以.
（2）因为，由余弦定理
可得，
所以，当且仅当时取到号，
故面积的最大值为.
18. 已知正项数列满足.
（1）证明:数列是等比数列;
（2）若，数列的前项和为.证明:.
证明：（1）证明：因为，可得，即，
且，可得，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可知，则，
可得，
则，
因为，则，所以.
19. 杭州第19届亚运会，中国代表团共获得201金111银71铜，共383枚奖牌，金牌数超越2010年广州亚运会的199枚，标志着我国体育运动又有了新的突破.某大学从全校学生中随机抽取了130名学生，对其日常参加体育运动情况做了调查，其中是否经常参加体育运动的数据统计如下：
（1）利用频率估计概率，现从全校女生中随机抽取5人，求其中恰有2人不经常参加体育运动的概率；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否经常参加体育运动与性别有关联.
参考公式：.
解：（1）由表格知：经常参加与不经常参加体育运动的女生比例为，
所以，抽取到不经常参加体育运动的女生人数服从，
故恰有2人不经常参加体育运动的概率.
（2）由题设得列联表如下：
故，
所以，依据小概率值的独立性检验认为经常参加体育运动与性别没有关联.
20. 正方体中分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
证明：（1）设正方体的棱长是2，
以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，
所以，则，
又平面，故平面.
解：（2）由（1）知，是平面的一个法向量，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
21. 已知函数.
（1）时，求函数值域;
（2）若在上有两个实数根，求实数的取值范围.
解：（1）当时，函数，其定义域为，且，
令，可得，
当时，；当时，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增，
所以当时，取得极小值，同时也是最小值，最小值，
又因为时，，所以的值域为.
（2）由在有两个实数根，则在有两个零点，
又由，令，
当时，恒成立，，在上单调递减，舍去；
当时，解得或，有两个根，且，
当时，在上恒小于，，单调递减，舍去；
当时，，不妨设，则，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
且，则，
令，可得，
当时，，单调递减，且，
所以，当时，，
则，且，
故使，故在上存在两个零点，
综上，实数的取值范围为.
22. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，是椭圆上的点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为的左顶点，过的直线交椭圆于、两点，直线、分别交直线于、两点，是线段的中点，在轴上求出一定点，使得.
解：（1）由椭圆过可得，可得，
又因为，解得，，所以椭圆的标准方程为.
（2）设点、，易知点、，
若直线与轴重合，则、中必有一点与点重合，不合乎题意，
设直线的方程为，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
直线方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
同理可得点，则中点.
因为，则点是在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
在圆的方程中，令，得，
.
所以，即，
又因为，
所以，即，解得，
所以点坐标为.经常参加
不经常参加
男生
60
20
女生
40
10
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
经常参加
不经常参加
男生
60
20
80
女生
40
10
50
100
30
130