江苏省常州市22024届高三(上)期末学业水平监测数学试卷(解析版)

这是一份江苏省常州市22024届高三(上)期末学业水平监测数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由方程解得或，得，
不等式解得，得，
所以.
故选：A．
2. 在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，，，
则对应复数1.
故选：A．
3. 已知实数，满足等式，下列三个关系式中可能成立的个数为（ ）
①；②；③．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】当时，，③可能成立．
，时，，，，
，，，即，
此时，①可能成立．
当，时,，，，，
，即，即，②不可能成立，
即①③可能成立，
故选：C．
4. 对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（ ）
A. “”是“”的必要条件B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的充分条件D. “”是“”的充分条件
【答案】B
【解析】对于A，若，则由，“”不是“”的必要条件，A错．
对于B，，“”是“”的必要条件，B对，
对于C，若，则由，推不出，“”不是“”的充分条件
对于D，当时，，即成立，此时不一定有成立，
故“”不是“”的充分条件，D错误，
故选：B．
5. 已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，则，
，解得，
即，又，
又，解得，，
，即，
所以.
故选：B．
6. 已知正三棱锥的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点到平面的距离是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】设底面边长为，为的中心，则底面面积，，

，，
令，，，
则时，，单调递增，
时，，单调递减，，
即时，，
到面距离，则，.
故选：C．
7. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】构建，则，
因为，则，即，
可知在上单调递减，且，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A．
8. 已知圆的直径长为8，与相离的直线垂直于直线，垂足为，且，圆上的两点，到的距离分别为，，且．若，，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】方法一：如图建系，，

圆，，，
，，
同理，，是的两根，
，．
方法二：以所在直线为轴，以中垂线所在直线为轴建系，

设，，在上的射影分别为，，
，，，在抛物线上运动，
两根为，，.
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知一组样本数据，，，，其中，若由生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据可能相等的量有（ ）
A. 极差B. 平均数C. 中位数D. 标准差
【答案】BC
【解析】对于A选项，不妨设，
则样本数据，，，的极差为，
样本数据、、、的极差为，
因为，则，故A错误；
对于B选项，设样本数据，，，的平均数为，即，
所以，样本数据、、、的平均数为
，
由可知，当时，两组样本数据的平均数相等，故B正确；
对于C选项，当时，
设样本数据，，，的中位数为，
样本数据、、、的中位数为，
同理可知当时，中位数相等，
当时，设样本数据，，，的中位数为，
样本数据、、、中位数为，
同理可知当时，两组数据的中位数相等，故C正确；
对于D选项，设样本数据，，，的标准差为，
样本数据、、、的标准差为，
则，
，
因为，则，
故，故两组样本数据的标准差不可能相等，故D错误.
故选：BC.
10. 对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（ ）
A.
B. 当天下午3：00温度最高
C. 温度为是当天晚上7：00
D. 从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于
【答案】ABD
【解析】时，，，
第二天凌晨3：00最低为，此时，
∴，∴，A对．
，令即时取最大值，对应下午3：00，B对．
，或10，上午11：00或下午7：00，C错．
时，，D对.
故选：ABD．
11. 在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列说法正确的有（ ）
A. 存在点，使得平面
B. 不存在点，使得直线与平面所成的角为
C. 的最小值为
D. 以为球心，为半径的球体积最小时，被正方形截得的弧长是
【答案】BCD
【解析】方法一：如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

，，，，，,
，则，
对于A，因为为正方体，
所以，
由三垂线定理得，，
因，平面，
所以平面，
是平面一个法向量，
假设面，则与共线矛盾，假设不成立，A错．
对于B，若存在，与所成角为，则或，或，
，不满足条件，
假设不成立，B对．
对于C，
．
表示与，距离之和，

，，C对．
对于D，，
时最小，，，
设截面小圆的圆心为，半径为，则平面，所以，，
因为，
所以球与面为圆心，为半径的圆弧，
因为，
所以在正方形内轨迹为半圆，弧长，选项D正确；

方法二：对于A，若平面，则，由三垂线定理知为中点，但此时不与垂直，故不存在这样的，A不正确；

对于B，同法一，B正确；
对于C，可将面与面摊平，，C正确．

对于D，球半径最小值为到的距离，，，在面上的射影为，
截面圆半径，
过作分别交，于，，，

球被正方体截得的弧长是半圆弧，长为，D正确，
故选：BCD．
12. 关于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数在上单调递增，在上单调递减
C. 若方程恰有一个实数根，则
D. 若，都有，则
【答案】BD
【解析】对于A，，
不是关于对称，故A错误；
对于B，，时，，单调递减，
时，，单调递增，故B正确；
对于C，时，，时，，
且在上单调递增，如时，只有一个根，故C错误；
对于D，由时，单调递减，时，单调递增，
所以，，即求最小值，
当时，，且，
所以，
．故D正确.
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题．
13. 已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是__________．
【答案】2
【解析】由双曲线方程可知，
所以，，．
故答案为：2
14. 已知函数若，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】，，．
故答案为：
15. 如图，以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；再以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；；按此规律操作，直至得到的直角三角形的直角顶点首次落到线段上，作出相应的圆弧后结束．若，则__________，所有圆弧的总长度为__________．
【答案】 8 ；
【解析】根据题意，归纳可得每进行一次操作，线段以B为圆心，逆时针方向旋转45°，
所以，，即；
，，
以后每次操作，圆弧的半径变为上一次操作的，则弧长变为上一次操作的，
所以是以为首项，为等边的等比数列，
则圆弧总长．
故答案为：8；.
16. 已知二面角为，内一条直线与所成角为，内一条直线与所成角为，则直线与直线所成角的余弦值是__________．
【答案】
【解析】如图，过上一点作交于点，交于点

设，，，
如图，设，，，，，，

，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的通项公式．
解：（1），
时，
因为为等差数列，故也符合上式，
，，
．
（2）由题意知为在区间中项的个数，
令，，
，，
，
.
18. 某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．
（1）求；
（2）如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？
说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到．
可供查阅的（部分）标准正态分布表
解：（1），，
，
，，
；
（2）
，
不合格的金属棒有：根．
19. 记的内角，，的对边分别为，，，边上的高为，已知．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
解：（1）余弦定理得，
，又，所以，代入，
，或2．
（2）
由正弦定理得，又，
，
，
，，
，
，，
，，
．
20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形， ，，是的中点，是线段上一点，且//平面，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值．
证明：（1）过作交于点，连接

平面，平面，平面平面，
，又，四边形为平行四边形，，
，分别为，的中点，
，，又，为的中点，，平面，平面，
，又，平面，
平面．
解：（2）如图建系，，，．

，，，
，，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，它们所成二面角为，
，
所以，
，
，．
21. 已知函数，曲线在点处切线方程为．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为，所以，
由题有，即，解得
所以，，
当时，，所以，
又当时，，所以，
即在区间上恒成立，所以在区间上单调递增．
（2）由对恒成立，
即对恒成立，
令，所以对恒成立，
则，
令，则，
当时，由于，，，所以，当且仅当时取等号，
当时，，所以，
所以区间上单调递增，
故，
当时，，所以在区间上单调递增，
又，所以符合题意，
当时，因为，则存在，使得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，则时，，不合题意，
综上：的取值范围为．
22. 已知椭圆的左焦点为，离心率为，，是上的相异两点，．
（1）若点，关于原点对称，且，求的取值范围；
（2）若点，关于轴对称，直线交于另一点，直线与轴的交点的横坐标为1，过的直线交于，两点．已知，求的取值范围．
解：（1）设，，，，
，，，
，
，，
，，即的取值范围为．
（2）设，，，
方程：
它过，①
方程为：
它过，②
①②,
，，
而，，．
椭圆方程：．
①当斜率不为0时，设直线的方程为：，，，
．
②当斜率为0时，，，，
的取值范围为．
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
2.0
2.1
2.2
23
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974