江苏省淮安市2023-2024学年高一(上)期末调研测试数学试卷(解析版)

这是一份江苏省淮安市2023-2024学年高一(上)期末调研测试数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，，所以.
故选：B.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C.
3. 若角的终边经过点（），则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由角的终边经过点，可得，
可得，而的符号不确定.
故选：A.
4. 关于x的不等式的解集是，那么（ ）
A. 1B. 3C. 2D.
【答案】B
【解析】因为关于x的不等式的解集是，
所以方程的解为，
则，所以，所以.
故选：B.
5. 设且，“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数在上是减函数，则解得，
若函数在上是增函数，则，
因为集合真包含于集合，
所以“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数，即可知函数的定义域为R，
即为偶函数，排除A、C，
又由指数函数性质可以，即，排除B.
故选：D.
7. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】由函数，，
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象.
故选：C.
8. 已知函数有且仅有3个零点，则正数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于，易知，且抛物线开口向下，
则必有一个负根，
所以有且只有两个零点，
易知，则.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列化简或者运算正确是（ ）
A. B. （）
C. （）D.
【答案】ABD
【解析】由对数运算法则可知，，即A、D正确；
由指数运算法则可知，，即B正确，C错误.
故选：ABD.
10. 用“五点法”作函数（，，）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数图象关于直线对称
D. 函数与表示同一函数
【答案】ACD
【解析】根据表格可知，且，
则，
由正弦函数的周期性可知的最小正周期为，故A正确；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，
显然此时取得最小值，所以的图象不关于点对称，故B错误；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，此时取得最大值，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
由诱导公式可知，故D正确.
故选：ACD.
11. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（ ）
A. B.
C. D. （表示不大于x的最大整数）
【答案】AD
【解析】由正弦函数的性质可知，函数值域为，是有界函数，
A选项正确；
由指数函数的性质可知，函数值域为，不是有界函数，B选项错误；
，由对勾函数的性质可知，函数值域为，
不是有界函数，C选项错误；
函数的值域为，是有界函数，D选项正确.
故选：AD.
12. 已知函数满足：，，都有成立，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 函数是偶函数
C. 函数周期函数
D. ，，若，则
【答案】ACD
【解析】令，则，故A正确；
令，所以，
故是奇函数，即B错误；
令，则，
所以，
即是的一个周期，故C正确；
在时易知，
则，
所以，
即，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知扇形的周长为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积是___________．
【答案】
【解析】设扇形的半径为，则，解得，
所以该扇形的面积为.
14. 函数的零点所在的区间为，则正整数的值为___________．
【答案】
【解析】因为函数在上单调递增，
且，，
所以的零点所在的区间为，所以正整数的值为.
15. 若函数是奇函数，则___________．
【答案】
【解析】由，可得，即，
且，即，
又因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，所以，
故，定义域为，
因为函数是奇函数，所以，所以，
经检验，符合题意，所以，，所以.
16. 已知正数x，y满足，则的最小值是___________．
【答案】8
【解析】正数x，y满足，
设，则，故，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，解得或（舍去），
故最小值为8.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数取值范围．
解：（1）因为是的充分条件，所以，所以，
解得.
（2）因为，所以，
当时，符合题意，则，解得，
当时，则，解得，
综上所述，.
18. 已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）由于，且，
故，且，
则.
（2）由于，
因为，故，则，
所以.
19. 已知函数.
（1）解关于x的不等式：；
（2）若（），求的最小值．
解：（1）由题意可知，
即.
（2）因为，所以，
不妨设，由对数函数的性质可知，
则，
所以，
则，当且仅当时取得等号.
20. 已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，．
（1）求的值；
（2）当时，求的表达式；
（3）若函数在区间（）上的值域为，求的值．
解：（1）因为，，
所以，
故是奇函数，且为其一个周期，且关于轴对称，
所以.
（2）结合（1）的结论可令，则，
所以.
（3）由（1）（2）可知，
由二次函数单调性可知在上单调递增，且，
所以，则，
若，则，此时，
若，则，此时，
若，则，此时.
故的值为或或.
21. 如图1“Omniverse雕塑”将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2，点P以为起始点，在以O为圆心，半径为2（单位：10米），按顺时针旋转且转速为rad/s（相对于O点转轴的速度）的圆周上，点O到地面的距离为a，且（单位：10米），点Q在以P为圆心，半径为1（单位：10米）的圆周上，且在旋转过程中，点Q恒在点P的正上方，设转动时间为t秒，建立如图3平面直角坐标系．
（1）求经过t秒后，点P到地面的距离PH；
（2）若时，圆周上存在4个不同点P，使得成立，求实数a的取值范围．
解：（1）由题意及三角函数的定义可知，
所以（单位：10米）.
（2）根据题意可知，
即，
则，
因为，所以，
即，
令，因为，所以，则，
上式可化为，
设，
因为时，圆周上存在4个不同点P，使得成立，
则在上有两个相异实数根，
即，
解之得.
22. 已知函数，．
（1）函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当时，对任意，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：．
解：（1）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
因为函数在上单调递增，则，解得，
所以实数a的取值范围.
（2）当时，可得，，
因为任意，关于x的不等式恒成立，
即在恒成立，即在恒成立，
当时，的最大值为，所以，
所以实数a的取值范围.
（3）由，可得，
可得，
因为点，均为函数与图象的公共点，且，
可得，，
两式相减得，
因为，所以，
可得，
令，则，
整理得，解得，
所以.0
x
a
b
c
1
3
1
d
1