江苏省苏州市2024届高三(上)学业质量阳光指标调研考试数学试卷(解析版)

这是一份江苏省苏州市2024届高三(上)学业质量阳光指标调研考试数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了 设集合，集合，则集合， 设为虚数单位，复数满足，则， 若是函数的一个零点，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，
所以，，
，.
故选：D.
2. 设为虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】.
故选：A
3. 2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）.为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛､武进､江阴､张家港中的一站下车，乙随机选择金坛､武进､江阴､张家港､常熟中的一站下车.已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设金坛站､武进站､江阴站､张家港占、常熟站用，
甲、乙两人用字符对表示下车的站，
于是有以下情形：
共有16种情形，
其中甲比乙晚下车的情况是，共有6种情形，
所以甲比乙晚下车的概率为，
故选：D
4. 已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】由题意，解得，所以，
当时，，
所以在区间上的最大值为，当且仅当时等号成立.
故选：C.
5. 在梯形中，，以下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】旋转后所得几何体为圆柱与一个同底的圆锥的组合体，如图所示：
其中圆柱与圆锥的底面半径都等于，
圆柱的高等于，圆锥的高等于，
底面圆的面积为，
圆锥的体积为，圆柱的体积为，
所以所得几何体的体积为．
故选：B.
6. 在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由点是圆上的一点，是圆上的两点，
可得圆心，半径，
根据题意，当点与圆的距离最短时，且过与圆相切时，
此时取得最大值，此时，
可得，所以，所以.
故选：B.
7. 已知正实数满足，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，
所以令，
所以问题等价于比较的图象分别与的图象三个交点横坐标的大小关系，
而均过点，
则由指数函数单调性可知，的图象分别与的图象三个交点横坐标如图所示：
则.
故选：A.
8. 若是函数的一个零点，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】因为，
所以
，
可得，，
即，解得，
由，
可得，即，
，
因为，所以，解得，
.
故选：A.
二､多选题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，则是“”的充分不必要条件有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，取，此时有，故A不符合题意；
对于B，由对数函数单调性可知，故B符合题意；
对于C，，故C不符合题意；
对于D，，故D符合题意.
故选：BD.
10. 在平面直角坐标系中，已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，则（ ）
A. B.
C. 线段的中点到轴的距离为6D.
【答案】BC
【解析】由题意知直线经过抛物线的焦点，焦点在x轴上，
直线与x轴交点为，故抛物线焦点为，
故，A错误；
联立，整理得，，
设，则，，
由于直线经过抛物线的焦点，
故，B正确；
线段的中点到轴的距离为，C正确；
由于
，
故不垂直，所以不垂直，D错误，
故选：BC
11. 如图，在平面直角坐标系中，已知函数的图象为曲线，点在上，点在轴上，且分别是以为直角顶点的等腰直角三角形.记点的横坐标分别为，，则（ ）
A. B.
C. 为等差数列D.
【答案】BCD
【解析】由图知，点的纵坐标为，把点代入中，可得：
，因，解得：，则.
由,点的纵坐标为，把点代入中，可得：，因，解得：，
于是，,故A项错误；
又，,点的纵坐标为，把点代入中，可得：，
因，解得：，故B项正确；
由上分析可知，当时，由点代入中，可得：，即得：，
即组成公差为4的等差数列，故C项正确；
由上分析可知，，因，因，则，则，
，于是，故D项正确.
故选：BCD.
12. 如图，在长方体中，已知为棱的中点，为底面上（含边界）的一动点.记点轨迹的长度为，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若平面，则
C. 若，则
D. 若到平面的距离为，则
【答案】ACD
【解析】对于A，设在上的射影为，所以面，
又面，所以，则四点共面，
又面，所以，
又，面，
所以面，又面，即，
以为原点建系，由得，
设，则，
所以，解得，
所以可得，且点的轨迹是过点且平行于的线段，故，故A正确；
对于B，取的中点，所以，
又，，
又，
所以四边形是平行四边形，所以，
而面，面，
所以面，同理面，
又因为平面，
所以平面面，又平面，
所以，故B错误；
对于C，设在上射影为，即面，
又面，所以，
易得，又，
所以可得，即点的轨迹是以点为圆心1为半径的半圆弧，
所以，故C正确；
对于D，以为原点建系，，设，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
，解得或，
即或，
所以点的轨迹为平面内的两条直线或被矩形所截得的线段，如图所示：
显然只有直线与矩形交于点，
即点的轨迹为线段，
所以可得，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共4小题.
13. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了20根棉花的纤维长度（单位：），按从小到大排序结果如下：
，则估计这批棉花的第45百分位数为__________.
【答案】61.5
【解析】由题意，所以这批棉花的第45百分位数为从小到达排列的第9个数与第10个数的平均数，即.
故答案为：61.5.
14. 已知，且，则__________.
【答案】2
【解析】由题意，为中的系数.
因为的二项展开式的通项公式为，
所以的展开式中含项的系数为：，解得：.
故答案为：
15. 已知单位向量的夹角为，向量，若，则__________.（写出一个可能值）
【答案】（或，答案不唯一）
【解析】由题意，
所以，所以只能取或.
故答案为：（或，答案不唯一）.
16. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，若，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】设双曲线焦距为，则，设，
则，
因为，所以，即，
因为，所以，
因为
，
因为，所以，
所以，
因为点在双曲线方程上，所以，即，
因为，所以，
两边同时除以，得，
解得，
所以，
因为，所以.
故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 霹雳舞在2023年杭州举办的第19届亚运会中首次成为正式比赛项目.某学校为了解学生对霹雳舞的喜爱情况，随机调查了100名学生，统计得到如下2×2列联表：
（1）请你根据2×2列联表中的数据，判断是否有90%的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性别有关”；
（2）学校为增强学生体质，提高学生综合素质，按分层抽样从调查结果为“喜爱”的学生中选择6人组建霹雳舞社团，经过训练后，再随机选派2人参加市级比赛，设X为这2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
解：（1）解：由列联表中的数据，
可得，
所以有的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性别有关”.
（2）解：由题意得，选择的6人中，有男生4人，女生2人，
所以的所有可能取值为，
可得，
所以随机变量的分布列为
所以期望为.
18. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求证：；
（2）若点在边上，且，求的面积.
证明：（1）因为，由正弦定理知，
所以，
所以3，
即，
因为，
所以，所以
解：（2）在中，，
在中，，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以.
19. 已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.
（1）若，且，求；
（2）若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和.
解：（1）依题意，，，
则，由，得，解得，而，
所以.
（2）由是公差为的等差数列，设，
又，
于是对任意恒成立，
即对任意恒成立，
则，又，解得，从而，，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
所以.
20. 如图，在多面体中，底面为平行四边形，，矩形所在平面与底面垂直，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面与平面夹角余弦值为，求与平面所成角的正弦值.
证明：（1）如图，连接交于点，连接.
因为底面为平行四边形，
所以为的中点.
因为为的中点，所以.
又因为平面平面，
所以平面.
因为为矩形，所以平面平面，
所以平面.
因为平面平面，
所以平面平面.
解：（2）因为，所以.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
分别以为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则
即，令，则，
设平面的法向量为，则
即，令，则，
所以，解得，
所以.
设与平面所成的角为，
则.
所以与平面所成的角的正弦值为.
21. 已知函数.
（1）求的极值；
（2）证明：.
解：（1）由可知函数的定义域为，.
设，因为，所以在上单调递减.
当时，，故，单调递增；
当时，，故，单调递减，
所以有极大值，无极小值.
证明：（2）要证，即证，
即证.
设，则，
显然在上单调递增，又因为，
所以存在唯一的，使，
即，所以.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
又因为，所以，
所以，即原不等式成立.
22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过的直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为.
（1）求的标准方程；
（2）求的值；
（3）设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上.
解：（1）由题意知，所以，
所以的标准方程为；
（2）直线的方程为，所以，
当直线的斜率不存在时，
①若，
则；
②若，
则，
所以，
当直线的斜率存在时，设，
直线的方程为，
由，得，
所以，
所以，
所以
，
综上，；
证明：（3）直线的方程为，直线的方程为，
设交点，
法一：，
即，
因为，所以，即点在定直线上.
法二：由（2）得，
由，得，
即点在定直线上.
男生
女生
总计
喜爱
40
20
60
不喜爱
20
20
40
总计
60
40
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
0
1
2