江苏省泰州市2023-2024学年高二(上)1月期末数学试卷(解析版)

这是一份江苏省泰州市2023-2024学年高二(上)1月期末数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
【答案】C
【解析】由直线的方程可得直线的斜率为：，
所以直线的倾斜角的度数为：60°．
故选：C．
2. 椭圆的焦点在x轴上，离心率为，则实数k的值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 12
【答案】B
【解析】由已知得，则，
所以，解得.
故选：B.
3. 已知等比数列的各项均为正数，若，，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，
则，解得，
所以.
故选：A.
4. 设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】圆，圆心为，半径为，
圆，圆心为，半径为，
若圆与圆有公共点，
则，又，所以.
故选：D
5. 斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距、均为16m，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，
故，
则，
故选：D.
6. 已知函数在处取得极小值1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，
因为在处取得极小值1，
所以有，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以是函数的极小值点，故满足题意，
于是有.
故选：C
7. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得
，
设，则，所以在上单调递减，
故由得，
所以，解得.
故选：B.
8. 已知直线与抛物线相交于M，N两点，线段的中点的横坐标为4，点T为轴上的动点.若的最小值为，则实数的值为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】设点，
联立，消去得，
则，
因为线段的中点的横坐标为4，
所以，即，
设点关于轴的对称点为，则，
所以
，
解得或.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8
B. 椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6
C. 双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为
D. 双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1
【答案】AC
【解析】对于A：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，正确；
对于B：椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，B错误；
对于C：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为，C正确；
对于D：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为或，D错误.
故选：AC.
10. 已知点在圆C：上，点，，则（ ）
A. 直线与圆相切
B. 点到直线的距离小于7
C. 当最大时，
D. 的最小值小于15°
【答案】BCD
【解析】对于A：圆：的圆心，半径，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
可知直线与圆相离，A错误；
对于B：因为圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的距离最大值为，B正确；
对于C：当直线与圆相切（图中位置）时，最大，
此时，C正确；
对于D：直线与圆相切（图中位置）时，最小，
由，
又
得，
又，
可得，
又，
因为，
所以，又为锐角，
所以，D正确
故选：BCD.
11. 若数列的前项和，数列的通项，则（ ）
A.
B. 数列的前项和
C. 若，则数列的前项和
D. 若，数列的前项和为，则不存在正整数，使得
【答案】ACD
【解析】对于A：数列的前项和，
当时，
又时，，
符合，
所以，A正确；
对于B：，B错误；
对于C：，
所以，C正确；
对于D：因为，
所以，
令，可得，
令，则，
故数列为递减数列，又，
所以无正整数解，D正确
故选：ACD.
12. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数恰有1个零点
B. 当时，函数恰有2个极值点
C. 当时，函数恰有2个零点
D. 当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
【答案】ABD
【解析】因为，
所以，
令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以 ，
对于A：当时，，即恒成立，
所以在上单调递增，
又，，
所以函数恰有1个零点，A正确；
对于B：当时，，
令，有，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，作出图象如下图：
又，所以方程必有个根，
即必有两个零点，设为，且，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，
即函数恰有2个极值点，B正确；
对于CD：当函数有2个零点时，或，
所以或，
将或代入得
或，
解得或，故C错误，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线被圆截得的弦长为____________
【答案】
【解析】由圆，可得圆心为，半径为，
又由圆心到直线，可得，
所以直线截圆所得的弦长为.
故答案为：.
14. 双曲线的一条渐近线是曲线的切线，则的值为____________.
【答案】
【解析】因为双曲线的一条渐近线是曲线的切线，设切点为的坐标为，
因为函数的定义域，其导函数，
故在点处的切线斜率，由双曲线知，其渐近线方程，
由得，此条渐近线方程为，所以，得，
因切点也在渐近线上，故，所以的坐标为，
所以，得.
故的值为.
故答案为：.
15. 设等差数列的前n项和为，数列的前项和为.若，，则_____________.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
因为，，可得，
解得，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
16. 如图1所示，套娃是一种木制玩具，一般由多个相同结构的空心木娃一个套一个组成，套娃的截面可近似看成由圆和椭圆的一部分组成.建立如图2所示的平面直角坐标系，圆A：的圆心是椭圆的上顶点，半径是椭圆的短半轴长，则椭圆的离心率为______________；若动直线与圆的上半部分和椭圆的下半部分分别交于B，C两点，则当的面积最大时，的值为____________.
【答案】；
【解析】圆A：的圆心为，半径为，
即椭圆的上顶点为，椭圆的短半轴长，
设椭圆方程为，
则，
所以离心率，
所以椭圆方程为，
将代入圆的方程和椭圆方程，
不妨取，可得，，
则，
设，则，
令，
则，
设，为锐角，
令，得，，
令，得，，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值，
此时，
则
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知直线：，：，其中为实数.
（1）当时，求直线，之间的距离；
（2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.
解：（1）由得，解得，
此时直线：，：，不重合，
则直线，之间的距离为；
（2）当时，：，
联立，解得，
又直线斜率为，
故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，
即.
18. 已知抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点，延长交抛物线于点B，抛物线的准线与x轴的交点为K，，.
（1）求抛物线的方程；
（2）求的面积.
解：（1）由题知A为抛物线上一点，所以，
解得，故抛物线方程为；
（2）由（1）知，抛物线方程为，
所以，，，
所以，，即，
因为直线交抛物线另一点为，
记点横坐标为，点横坐标为，
联立，可得：，
所以，所以，
而点到直线的距离，
所以.
19. 已知函数，曲线在点处的切线的斜率为1，其中.
（1）求的值和的方程；
（2）证明：当时，.
解：（1）由已知
因为曲线在点处的切线的斜率为1，
所以，解得，又
所以切线方程为，即；
（2）令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
整理得，
所以，即.
20. 已知数列是等差数列，数列是公比大于1的等比数列，的前项和为.条件①；条件②；条件③；条件④.从上面四个条件中选择两个作为已知，使数列、存在且唯一确定.
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解：（1）若选①②，选①③，选②③，数列、均不唯一确定，故必须选④，
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，
由，可得时，，
两式相减可得，
即，由于为常数，故必有，
若选①④，可得时，，解得，
所以；
若选②④，，数列、不唯一确定；
若选③④，，可得，则，此时等比数列不存在.
综上：；
（2），
则
.
21. 已知双曲线：过点，离心率为.
（1）求的方程；
（2）过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值.
解：（1）因为双曲线：过点，离心率为，
所以有；
（2）设直线的方程为，
直线的方程为，，
将代入直线得，即，
联立，得，
得，即，，
因为在第一象限，双曲线渐近线方程为，
联立，得，即，
联立，得即，
所以，
因为，所以，所以①，
又②，
①②得，，
所以，
所以，
因为
所以，为定值.
22. 已知函数，，.
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）若关于的方程有两个实根，
（i）求的范围；
（ii）求证：.
解：（1）因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
当时，，
当时，在上恒成立，
令，则，
由得，
由得，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，
即的取值范围为；
（2）（i）令，，
则，
令得，令得，，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又关于的方程有两个实根，
所以的范围为；
（ii）由（i）知，
要证，即证，即证
令，则，
则在上恒成立，
所以上单调递增，又，
所以在上单调递增，
所以，
所以.