江苏省无锡市2023-2024学年高一(上)期终教学质量调研测试数学试卷(解析版)

这是一份江苏省无锡市2023-2024学年高一(上)期终教学质量调研测试数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，.
故选：B.
2. 已知幂函数，且，则（ ）
A. B. C. 8D. 9
【答案】C
【解析】由题意可得：，解得，则.
故选：C.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】，即或，解得或，
而前者，显然两者无包含关系，故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数，定义域为，
，
所以函数为奇函数，则排除AD项；
当时，，，所以有，所以，B项符合条件.
故选：B.
5. 已知角的终边过点，则的值为（ ）
A. B. C. -2D.
【答案】A
【解析】由题意可得：，
所以.
故选：A.
6. 已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解得：，
所以的定义域为．
令，其单调增区间为，又在单调递减，
由复合函数单调性知：的单调减区间为．
故选：C．
7. 化简，得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
8. 若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方程有四个不同的实数根，是方程的一个根，
当时方程变形为，这个方程有三个非零实数根，
则函数和的图像有三个不同的交点，如图所示，
显然不成立，
当时，和图像有一个交点，
则需要和的图像有两个不同的交点即可，
由，得，由，得，
所以时，和的图像有两个不同的交点.
综上，关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知全集为，则下图阴影部分表示正确的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】阴影部分中的元素，满足且，
所以阴影部分可表示为或.
故选：AC.
10. 若正实数x，y满足，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为9
C. 的最小值为1D. 的最大值为
【答案】AD
【解析】因为正实数x，y满足，
对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，故A正确；
对于选项B：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8，故B错误；
对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，
即，可得，所以的最大值为，故D正确.
故选：AD.
11. 已知函数，把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，以下说法正确的是（ ）
A. 是图象的一条对称轴
B. 的单调递减区间为
C. 的图象关于原点对称
D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】由，解得，
得图象的对称轴方程为，其中时，，A选项正确；
由，解得，
所以的单调递减区间为，B选项正确；
，
函数是偶函数，图象关于y轴对称，C选项错误；
，
所以的最大值为，D选项正确.
故选：ABD.
12. 已知函数则下列说法正确的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 当时，的取值范围为
C. 若关于的方程有三个不同实数根，则
D. 令，不存在常数，使得恰有5个零点
【答案】ACD
【解析】作出函数的图象如下：
对于A：在同一坐标系中画出和的图象如下：
联立，得，
所以不等式的解集为，A正确；
对于B：由图可知：函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以的取值范围为，B错误；
对于C：若关于的方程有三个不同实数根，
即函数与函数有三个不同的交点，不妨设，如图：
其中，
所以，C正确；
对于D：，恰有5个零点
令，则，
当只有1个零点时，设为，则方程有5个根，不可能；
当有2个零点时，设为，且，
然后和共有5个根，则或，
若有一个零点是，则另一个零点为，不满足，
若有一个零点是，则另一个零点为，不满足，
故不存在常数，使得恰有5个零点，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分，请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 命题“，”的否定是______．
【答案】，
【解析】因为命题“，”是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即，.
14. 写出一个同时具有下列性质①②的函数__________.
①，②当时，.
【答案】(答案不唯一)
【解析】由可知，指数函数符合条件；
由时，，指数函数单调递增.
所以满足条件的一个函数.
15. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到20-79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，血液中的酒精含量达到1mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过________小时，才能驾驶?（结果精确到0.1h）（附：，）
【答案】
【解析】设该驾驶员经过小时才能驾驶，
则，即，
故，
，
故，即至少经过小时才能驾驶．
16. 已知，.当时，的两根为，，则的最小值为___________；当时，恒成立，则的最小值为________.
【答案】4
【解析】当时，方程，即，
则有，，
，
所以当时，的最小值为4，此时满足.
当时，恒成立，
由，当时，，；
当时，，.
是方程的根，即有，得，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合，，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）集合，，则.
（2）集合，，
当时，即时，，此时，满足题意；
当时，即时，，当，则或，
即或，所以.
综上，实数的取值范围.
18. 已知函数.
（1）若不等式的解集是，求，的值；
（2）当时，若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围.
解：（1）由题意得为方程的两实数根，且，
则，解得.则，.
（2）当时，，
即不等式一切实数恒成立，
当时，即，显然对一切实数并不是恒成立，则，
则有，解得，
综上所述：.
19. 已知函数.
（1）当时，求的取值范围；
（2）若且，求的值.
解：（1）
，
当时，则，可得，
所以的取值范围为.
（2）因为，
且，则，可得，
则，
所以
，
即.
20. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数a，b的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，
此时，
可得，
即符合题意.
（2）由（1）知，可知函数为R上的减函数，证明如下；
任取，设，
则，
因，则，，，
故，即，
所以是R上的减函数.
（3）因为为奇函数，且，
则，
又因为是R上的减函数，则，
可得任意恒成立，
令，由可知，
可得，且的图象开口向上，对称轴为，
则在内单调递减，可得在内的最小值为，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
21. 如图，已知直线，是，之间的一个定点，过点作直线垂直于，且分别交于点，，，.是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点.设，.
（1）设的面积为，的面积为，求的最小值；
（2）若的外接圆面积不超过，求角的取值范围.
解：（1）根据题意，，则，，
，，，，
，，
，，
令，，
任取，且，
则，
，，，，
，即，
所以函数在上单调递减，
，
即的最小值为，当且仅当时等号成立.
（2）设外接圆半径为，则，
又外接圆面积，即，即，
由题可得，
，即，
化简整理得，解得，
又，，，
，解得.
22. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质.
（1）已知，判断是否满足性质，并说明理由；
（2）若满足性质，且定义域为.
①已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解?请说明理由；
②若在上单调递增，证明：在上单调递增.
解：（1）不恒成立，
故不满足性质.
（2）①当时，，此时，
又当时，，得，
所以，
假设方程有正整数解，
则，要等式能成立，必有，
所以，
明显为单调递增函数，
又当时，，当时，，
故方程无正整数解.
②任取，则，
则，
因为在上单调递增，且，
所以，
所以，
所以在上单调递增.