内蒙古包头市2024届高三(上)期末教学质量检测文科数学试卷(解析版)

这是一份内蒙古包头市2024届高三(上)期末教学质量检测文科数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】全集，集合，则，而，
所以.
故选：A
2. 复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A. 6B. C. D. 7
【答案】C
【解析】复数，为实数，则，
由为实数，得，解得，又，
显然，由为纯虚数，得，解得，
所以.
故选：C
3. 为了鼓励学生积极锻炼身体，强健体魄，某学校决定每学期对体育成绩在年级前100名的学生给予专项奖励.已知该校高三年级共有600名学生，如图是该年级学生本学期体育测试成绩的频率分布直方图.据此估计，该校高三年级学生体育成绩的中位数为（ ）
A. 70B. 70.5C. 71.25D. 72
【答案】C
【解析】由给定的频率分布直方图，可得前2个矩形的面积为，
前3个小矩形的面积为，
所以学生体育成绩的中位数位于之间，
设学生体育成绩总位数为，可得分.
故选：C.
4. 若，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 4B. 3C. D.
【答案】A
【解析】由约束条件作出可行域如下图：
由图可知，，由，可得，
由图可得当直线过点时，直线在轴上的截距最大，所以
故选：A
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，所以为奇函数，此时可排除AC,
由于当时，，故此时可排除D，
故选：B
6. 若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因，则，可知，
且，可知.
故选：C.
7. 已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥PO的底面圆半径为，由母线长为2，侧面积等于，得，
解得，因此圆锥的高，
所以该圆锥的体积为.
故选：C
8. 如图，已知，为平面外一点，，点到两边，的距离分别为，，且，则点到平面的距离为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】B
【解析】由于平面,平面,故,
且，,
因此,故，
又,所以,
平面，故平面，
平面，故,
同理可得,
又，因此四边形为正方形，
所以,
故选：B
9. 已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，令半焦距为c，
由及，得，
显然，当且仅当点共线，且在线段上时取等号，
因此，即，又，则，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：A
10. 在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，画出三棱锥，分别作出的中点，的中点，的中点，连结，，，所得图形如下图：
根据中位线的性质可得：，，且，，所以异面直线与所成角即为和所成锐角，由于，，所以在等边中，，
同理在等边中，，故，所以为等边三角形，故，
所以在中，，，，故由余弦定理可得：，
由于异面直线的夹角范围为，所以异面直线与所成角为的补角，即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C. 函数为奇函数
D. 函数在区间上单调递减
【答案】D
【解析】由函数（，，）的部分图象，
可得，可得，则，
又由，可得，
所以，因为，所以，所以A正确；
由，可得，
又由，所以B正确；
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
此时函数，所以为奇函数，所以C正确；
由，可得，
当时，即，函数单调递增；
当时，即，函数单调递减，
所以函数不是单调递减函数，所以D错误.
故选：D.
12. 若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数，求导得，
由函数在上存在单调递减区间，得在上有解，
即不等式在上有解，
而函数在上单调递减，当时，，则，
所以的取值范围是.
故选：D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，满足，，，则______.
【答案】
【解析】由向量，满足，，且，
则，所以.
故答案为：.
14. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】对于双曲线，其渐近线方程为,
对于圆，有，圆心为，半径为，渐近线被圆截得的弦长为，
所以圆心到渐近线的距离为，由点到直线距离公式得：,
则由则.
故答案为：.
15. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为______.
【答案】
【解析】由从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件的总数为个，
则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件为：
，
共有15个，
所以抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为.
故答案为：.
16. 已知为锐角三角形，是角分别所对的边，若，且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】在锐角中，由，得，即，
由正弦定理得，而，则，
又，则有，得，，由，解得，
由正弦定理得，而，则，
由，得，即，于是，
所以的取值范围是.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知数列满足，，设.
（1）求，，；
（2）判断数列否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式
解：（1）由条件可得，
将代入，得，而，所以，
将代入，得，所以，
又，从而，，.
（2）数列是首项为2，公比为3的等比数列，理由如下：
由条件可得，即，
又，所以是首项为2，公比为3的等比数列
（3）由（2）可得，所以.
18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积．
证明：（1）连接交于点，连接．
在底面中，因为，，
由，可得，
因为，即，
所以在中，，故，
因为平面，平面，
所以平面；
解：（2）取的中点，连接，由，，
得为等边三角形，所以．
在等边三角形中，，
所以．
因为．
19. 某地区为了解在乡村振兴过程中乡村集体经济的发展情况，随机调查了100个乡村，得到这些乡村今年先对于去年集体经济产值增长率W的频数分布表.
（1）估计这个地区乡村集体经济产值增长率不低于40%的乡村比例；
（2）求这个地区乡村集体经济产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
解：（1）根据集体经济产值增长率频数分布表，得所调查的100个乡村中，
集体经济产值增长率不低于的乡村频率为，
用样本频率分布估计总体分布，得这个地区集体经济产值增长率不低于的乡村比例为.
（2），
，
.
所以这个地区乡村集体经济产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为，.
20. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：在上.
解：（1）函数的定义域为，求导得，
由，得，由，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
证明：（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
则，即，
令，求导得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
于是，即，
所以当时，，即.
21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.
（1）求的方程；
（2）若直线与相交于两点，与相交于两点，直线的斜率分别为，证明：.
解：（1）设点，则，因为，
所以，即点，
代入方程中，得，所以的方程为.
证明：（2）因为均在抛物线上，
设点，
则直线的斜率，
直线的斜率，
直线的斜率，
直线的斜率，
可得，
，
所以.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，
（1）写出的普通方程，并指出它是什么曲线；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的极径与极角的正切值.
解：（1）由曲线的参数方程为为参数，
将代入，可得，整理得，
所以曲线的普通方程为，
该曲线是以点为顶点，开口向上的抛物线.
（2）因为，可得，
根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线的普通方程为，
联立方程组，解得或，
即交点的直角坐标为和，
设点的极坐标为，则，；
设点的极坐标为，则，.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知，，均为正数，且，证明：
（1）；
（2）若，则.
证明：（1）因为
，当且仅当时取等号，
所以，
又因为，，均为正数，所以.
（2）因为，由条件可得，即，
所以
，
当且仅当时取等号，此时，解得，
把和，代入，求得，
所以当且仅当，，时，取得等号.分组
乡村数
6
10
30
40
10
3
1