四川省部分名校2024届高三(上)期末联合考试理科数学试卷(解析版)

这是一份四川省部分名校2024届高三(上)期末联合考试理科数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A
2. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以．
故选：C
3. 某咖啡店门前有一个临时停车位，小轿车在此停车时长超过10分钟就会被贴罚单．某顾客将小轿车停在该车位后，来到该咖啡店消费，忽略该顾客从车内到咖啡店以及以从咖啡店回到车内的时间，若该顾客上午10：02到达咖啡店内，他将在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，则他的车不会被贴罚单的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】他在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，
其中在10：08至上午10：12的任意时刻离开咖啡店回到车内，他的车不会被贴罚单，
故由几何概型可知他的车不会被贴罚单的概率为．
故选：C
4. 若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设该圆锥的高为，依题意有，则，
解得.
故选：A
5. 苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知，则是（ ）
A. 9位数B. 10位数C. 11位数D. 12位数
【答案】B
【解析】记，则，
则，则，
故是10位数．
故选：B
6. 已知向量，满足，，且，则（ ）
A. 5B. C. 10D.
【答案】C
【解析】由题意可知，且，
则，，
所以．
故选：C
7. 在梯形中，，是边长为3的正三角形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为是边长为3的正三角形，
所以，
又，所以，
由正弦定理得，
则．
故选：B
8. 设满足约束条件，其中，若的最大值为10，则的值为（ ）
A. -2B. -3C. -4D. -5
【答案】A
【解析】作出可行域，如图所示，

当直线经过点时，取得最大值，且最大值为，解得．
故选：A
9. 若函数的图象关于直线对称，且是大于的最小正数，则数列的前10项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数的图象关于直线对称，
所以，得．
又是大于的最小正数，所以，
所以数列的前10项和为．
故选：C
10. 已知为定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意作出的大致图象，如图所示，

令，得，
当时，，
又时，，易知在区间上单调递增，
又，所以时，，又奇函数，
所以由图可知，当时，直线与的图象有5个公共点，从而有5个零点，
故选：D.
11. 已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，取线段的中点，连接，
因为，，
所以，且，
所以
，
设，则，
所以的离心率
．
故选：D
12. 若函数，的导函数都存在，恒成立，且，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
设函数，则，所以单调递增，所以，
即，
因为，所以，
即.
故选：D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 若，则_____________．
【答案】
【解析】由题意可得：．
故答案为：.
14. 某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种.
【答案】60
【解析】由题意可知凉菜选择方案共有种，饮品选择方案共有种，
因此该套餐的供餐方案共有种.
故答案为：60
15. 在长方体中，，侧面的面积为6，与底面所成角的正切值为，则该长方体外接球的表面积为____________．
【答案】
【解析】在长方体中，因为侧面的面积为6，
所以，
因为与底面所成角的正切值为，
所以，结合，可得，
所以该长方体外接球的半径为，
表面积．
故答案为：
16. 过圆外一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值为_______________，此时，________________．
【答案】 ；
【解析】圆的标准方程为，设，

则，有，
又，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，
此时．
故答案为：；.
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1）设的公差为，则，
解得，
所以；
（2）由（1）知，
所以
．
18. 已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且.
（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；
（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.
解：（1）由题意知每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且，
所以，
则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为.
（2）因为，所以，
依题意可得，所以，
因为，所以，
又为正整数，所以的最小值为2001.
19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，是边长为2的正三角形，且．
（1）求的长；
（2）求二面角的余弦值．
解：（1）取的中点为，连接，
因为是边长为2的正三角形，
所以，
又平面平面，且平面平面，平面,
所以平面，则．
又，所以平面，则．
因为四边形为矩形，所以，
则，故，即，解得．
（2）取线段的中点，连接．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，，
设平面的法向量为，
则，即
令，得，
设平面的法向量为，
则，即
令，得，
所以，
由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为．
20. 已知椭圆的长轴为线段，短轴为线段，四边形的面积为4，且的焦距为．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与相交于两点，点，且的面积小于，求的取值范围．
解：（1）由题意可得，解得，
所以的标准方程为；
（2）点到直线的距离，
设，联立方程组，
整理得，
则，即，
，
所以，
则的面积，
得，又，（由三点不共线可得），
所以的取值范围是．
21. 已知函数，.
（1）讨论的单调性.
（2）是否存在两个正整数，，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由.
解：（1），
当时，，在上单调递减.
当时，令，得.
，，则在上单调递增，
，，则在上单调递减.
（2）由（1）知，令，得在上单调递增，在上单调递减，则.
因为，所以，即，
即，
因为，为正整数，所以.
当时，，
因为，，所以，这与矛盾，不符合题意.
当时，因为，，所以，
所以，得，即.
经检验，当，时，不符合题意，
当，时，符合题意，
当，时，因为，所以，
当时，，，
所以.
综上，仅存在，满足条件.
（二）选考题：共10分．请考生从第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）点的极坐标为，为曲线上任意一点，为线段的中点，求动点的轨迹的直角坐标方程．
解：（1）由，得，
则，
所以，所以的直角坐标方程为；
（2）点的极坐标为，，
所以点的直角坐标为．
设，则，得，
因为在曲线上，所以，所以，
即，所以动点的轨迹的直角坐标方程为．
23. 已知．
（1）若，证明与中至少有一个小于0；
（2）若均为正数，求的最小值．
证明：（1）假设与中没有一个小于0，即，
因为，所以，
这与矛盾，所以假设不成立，
所以与中至少有一个小于0；
解：（2），
因为均为正数，所以由柯西不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为．