浙江省绍兴市柯桥区2024届高三(上)期末教学质量调测数学试卷(解析版)

这是一份浙江省绍兴市柯桥区2024届高三(上)期末教学质量调测数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合或，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，解得，则，
由或，得，
所以.
故选：C
2. 若（，为虚数单位），则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】由，得，，
则.
故选：B.
3. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上为增函数，
由复合函数单调性可得的单调递减区间为.
故选：C.
4. 已知平面向量，，若，则（ ）
A. 或B. 或
C. 或3D. 或3
【答案】A
【解析】，且，
，即，
，即，
或.
故选：A.
5. 已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数在上单调递增，由函数在内有零点，
得，解得，即命题成立的充要条件是，
显然成立，不等式、、都不一定成立，
而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，
所以命题成立的一个必要不充分条件是.
故选：D
6. 直线交曲线于点A，B，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】即，
则直线恒过定点,
且曲线的圆心为,
将点代入圆方程得，所以点在圆内.
设圆心到直线的距离为，
则，
因为圆心到直线距离的最大值为直线所过定点与圆心的距离，
即，
.
故选：B.
7. 已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得，
于是
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：B
8. 若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
，
设，则，
设，则在上恒成立，
在上单调递增，且，
当时，在单调递增，
，即，
当时，则，不妨取，即，
当时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
，即，而有在上恒成立，
，即，
综上可得
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A. 或B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】当时，；
当时，或，故A正确；
当时，，
若，则解集为空集；
若，则不等式的解为：，故D正确；
若，则不等式的解为：，故C正确.
故选：ACD
10. 已知直线m，n为异面直线，平面，平面，则下列线面关系可能成立的是（ ）
A. B. 平面
C. 平面平面D. 平面平面
【答案】AD
【解析】对AD，当平面平面，且时，两直线可以为异面直线，故AD正确；
对C，若平面平面，则，则共面，这与直线m，n为异面直线矛盾，故C错误；
对B，当平面时，则平面平面，此时与C错误一致，故B错误.
故选：AD.
11. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. 数列为等比数列
B.
C. 当且仅当时，取得最大值
D.
【答案】AB
【解析】等差数列中，，解得，，解得，
于是等差数列的公差，，
前项和，
对于A，显然，，因此数列是等比数列，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，显然等差数列单调递减，前4项均为正数，第5项为0，从第6项起都为负数，
因此当或时，取得最大值，C错误；
对于D，，显然数列是等差数列，
因此，D错误.
故选：AB
12. 双曲线：上一动点，，为双曲线的左、右焦点，点为的内切圆圆心，连接交轴于点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，点在的内切圆上
B.
C.
D. 当时，
【答案】AB
【解析】对A，当点位于双曲线右支时，
设的内切圆与分别切于点，，，
根据圆的切线性质，有，
再根据双曲线的定义，有，
，
得到，设，则有，
解得，即，
所以当时，点在的内切圆上，故A正确；
对B，以下证明双曲线焦半径公式，设点为双曲线上一点，
若点在双曲线左侧，此时左准线方程为，
则，则，根据可得，
若点在双曲线右侧，此时右准线方程为，
则，则，根据可得，
对于本题来说，当点在双曲线右支上时，由于为的角平分线，
因此，
结合，得到，同理当点在双曲线左支上时，
由于为的角平分线，
因此，解得，故B正确；
对C，当点位于双曲线右支上时，由于为的内心，轴，
根据A选项的结论可知的横坐标为，设，
根据三角形的面积公式，有，
即得到，故C错误；
对D，当时，点在双曲线的左支上，同A选项方法可得，
同C选项方法（或根据双曲线对称性可得）可得，
显然，，则，故D错误.
故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含的项的系数为___________.
【答案】270
【解析】由展开式的二项式系数之和为，解得，
所以展开式的通项公式为，
令，解得，
所以含项的系数为.
故答案为：270.
14. 已知函数在上存在极值点，则正整数的值是___________
【答案】5
【解析】，
时，或，
因为函数定义域为，在左端点处无法取到极值，
，而，所以，，经检验满足题意，
故答案为：5.
15. 卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标，卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是___________.
【答案】
【解析】如图，因为，所以球心在的延长线上，
因为正四棱锥的底面边长为，高为，所以，
设，，
则，解得，所以半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
16. 已知为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，过点的直线交C于A、B两点，直线、分别交C于M、N，则的最小值为___________
【答案】9
【解析】设，直线：，则，得，
所以，则，
由过焦点，设直线：，则，得，
所以，则，同理可得，
所以，，
则，
当且仅当时取等号.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，求的周长的取值范围.
解：（1）由已知得，，
则根据正弦定理得，
，
为锐角三角形，．
（2）由正弦定理得，即，
则，
，
因为，解得，得，
所以，得．
18. 已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
解：（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，
，，
，
，则，，
，又，
，.
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，
，
.
19. 临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查.
（1）应从A，B，C三种水果各抽多少箱?
（2）若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.
①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望；
②设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率.
解：（1）由题意知：，
所以应从A，B，C三种水果各抽4，3，2箱.
（2）①由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，4，则有：
，，
，，
，
所以随机变量X的分布列为
所以随机变量X的期望为；
②由题意可知：为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”，
所以.
20. 如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，.
（1）求证：；
（2）若平面平面，在线段（包含端点）上是否存在一点E，使得平面平面，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
证明：（1）取的中点，连接，
因为是边长为2的正三角形，所以，
由，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以；
解：（2）由（1）得，因平面平面且交线为，且平面，所以平面，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，
设，则，
设平面的法向量为，，则，
令，则，则
设平面的法向量为
则，令，所以，
若平面平面，则，求得，
此时，所以．即此时.
21. 已知椭圆：与圆交于M，N两点，直线过该圆圆心，且斜率为，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于D、E两点，记直线，的斜率分别为，.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，求的值.
解：（1）由已知得，中点为，设，
则，，，
作差得，即，
由得，，得.
（2）由（1）及题设得椭圆的方程为：，则，
则其右焦点，，，
设，直线的方程为，
，，
过作轴的垂线交分别于点，，则直线，
令，则，得
同理直线，得
得，
所以
由（※）知，，得．
.
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若方程有两个解，求证：.
解：（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
证明：（2）由（1）知，函数在，上的取值集合均为，
当时，直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，
其中一个解小于1，一个解大于1，不妨设，要证，
即证，而，只证，又，
即证，
而，
即证：，亦即，
设，求导得，
设，求导得，函数在上单调递增，
即，而，于是，
因此，函数在上单调递增，有，
令，求导得，
则函数在上单调递减，于是，即，
从而，
所以.X
0
1
2
3
4
P