安徽省示范高中培优联盟2024-2025学年上学期高二冬季联赛数学试卷(含答案)

这是一份安徽省示范高中培优联盟2024-2025学年上学期高二冬季联赛数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，O为原点，若为纯虚数，则( )
A.B.
C.A，O，B三点共线D.A，O，C三点共线
3．已知，为椭圆的左，右焦点，过的直线l交椭圆C于A，B两点，若为正三角形，则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
4．已知正四棱台高为6，上底面边长，下底面边长，则三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
5．已知函数有且仅有五个零点，则正实数a的最大值为( )
A.B.C.D.
6．A，B，C为的三个内角，已知，是关于x的方程的两个根，且，则( )
A.2B.4C.D.
7．已知一组样本数据，，，…，（）的方差为2，，（），若，，，…，的方差为，则，，，…，的平均数为( )
A.B.C.D.1
8．已知，不等式对任意恒成立，则的最小值为( )
A.B.1C.D.
二、多项选择题
9．已知函数（，），若，则下列说法可能正确的为( )
A.B.C.D.
10．已知直三棱柱中，，，E，F分别为线段BA，BC上的动点，且，M为的中点，则下列说法正确的为( )
A.EF始终与垂直
B.始终与垂直
C.三棱锥的体积为定值
D.三棱锥体积最大时，平面BEF与平面夹角的正切值为
11．已知点M，N为圆上的动点，且，若P为MN的中点，，，则下列说法正确的为( )
A.使得面积为3的点M有4个
B.满足的点P有2个
C.的最小值为
D.的最小值为
三、填空题
12．已知，则的最小值为___________.
13．已知函数定义域为R，对任意，，都有，且为偶函数，则不等式解集为___________.
14．中，，，O为平面ABC内一点，向量，，两两的夹角相等，则的取值范围为___________.
四、解答题
15．在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求A的大小；
（2）若为锐角三角形，D为边AB上一点，且，求的面积.
16．甲、乙两人各抛掷一枚质地均匀的骰子.
（1）若甲、乙各抛掷一次，求所得点数的平方和能被5整除的概率；
（2）若甲、乙各抛掷两次，求甲所得点数之和大于乙所得点数之和的概率.
17．“同轴相似双曲线”是指两双曲线相似且有相同对称轴.所谓两个相似双曲线是指如果双曲线与的所有点构成的集合之间有一个一一对应，并且双曲线上任意两点连线成的线段与双曲线上对应点连成的线段的比是同一个常数k，则称双曲线与相似.k叫做双曲线对于的相似比.两同轴相似双曲线的方程可记为：，（，）.已知双曲线.
（1）若双曲线，判断，是否为“同轴相似双曲线”，请说明理由；并分别求出，的渐近线方程；
（2）若与双曲线为同轴相似的双曲线满足过点的直线l与交于，两点，且点M为线段的中点.
（i）求的取值范围；
（ii）若直线l与双曲线的渐近线交于，，当时，求.
18．如图，在四棱锥中，，，且，点E为线段PB的中点，点F在直线BC上运动.
（1）若直线平面PAF，求的值；
（2）若平面平面ABCD，且，，，平面DEF与平面PBD的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积；
（3）在（2）的条件下，若点Q满足，，且PQ与底面ABCD所成角的正切值为，求直线EQ与平面ABCD所成角的正弦的最大值.
19．从抛物线上各点向x轴作垂线段，垂线段的中点的轨迹记为曲线C.过点的直线与曲线C交于，两点，其中，与B关于x轴对称.
（1）求曲线C的方程；
（2）求证：直线过定点；
（3）O为坐标原点，直线，直线，垂足为D，曲线C在点处的切线为，过点作的垂线与直线OA交于点E，求证：为定值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，，所以.故选C.
2．答案：A
解析：设，，则，
又为纯虚数，则，.，，，故.故选A.
3．答案：D
解析：为正三角形，由对称性知：轴，则，，，，所以离心率.故选D.
4．答案：D
解析：三棱锥外接球即为正四棱台的外接球，设其半径为R，球心O到平面的距离为d，由，，知正方形，外接圆半径分别为4，2，则，解得，，所以.故选D.
5．答案：C
解析：当时，，开口向下且，则在有且仅有一个零点，则在有且仅有四个零点，当时，令，则或或，故，故选C.
6．答案：B
解析：由题意，即，则，又，故.故选B.
7．答案：A
解析：，，又，则
，故，故选A.
8．答案：C
解析：因为，，均在单调递增，
不等式对任意恒成立.又，
则必有（，），设，轴于H，
则表示到y轴的距离PH与到原点的距离PO之和，设原点O关于直线的对称点为，则，解得，则（轴），则的最小值为.故选C.
9．答案：ABD
解析：（，），，不妨设.
①当
，
则，则，A选项成立；
②当
则，则，B选项成立；
③若成立，易知：，
当，则，则，与矛盾；
当，则，则，则，与矛盾，故C错误.
④目标：，
当，，时，，则，故D成立.
10．答案：BCD
解析：设，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
不恒成立，故选项A错误.
，
，故选项B正确.
设AC的中点为N，，
则为定值，故C选项正确.
，
当时，最大，此时，，O为中点，平面BEF与平面夹角为，.故D选项正确.
11．答案：ABD
解析：①直线AB方程为：，点O到直线AB的距离为，过点O作AB的垂线交圆于，两点，则，到直线AB的距离为，，，，故使得面积为3的点M有4个，选项A正确.
②点M，N为圆上的动点，且，若P为MN的中点，则，所以P点轨迹方程为：，
，
则P在以AB为直径的圆上运动，，故点P有2个，故选项B正确.
③，故选项C不正确.
④P点轨迹方程为：，
则，，故选项D正确.
12．答案：
解析：，则，“=”当且仅当，时成立.故的最小值为.
13．答案：
解析：为偶函数，则，则图象关于直线对称，又对任意，，都有，则函数在单调递减，在单调递增，，则，则，故原不等式解集为.
14．答案：
解析：设，，，，则，，
则在中，由余弦定理知：，在，中，由正弦定理知：，则，
令，，则，
且，，，
所以，
令，则.
15．答案：（1）或
（2）的面积
解析：（1）因为，
所以，
又，所以，
所以，
又，所以，
又，
所以或.
（2）若为锐角三角形，则.
因为，所以.
所以，设，则，
由得，
所以，所以，
所以的面积.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）甲乙各抛掷一次，所得点数分别记为x，y，
该实验样本空间，共有个样本点.
记“所得点数的平方和能被5整除”为事件A，
事件，共包含13个样本点.
故.
（2）甲乙各抛搠两次，所得点数之和分别记为，，的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
且，，，
，，，
故，
所以.
17．答案：（1）是，两渐近线方程均为
（2）（i）
（ii）
解析：（1），是“同轴相似双曲线”，方程可化为.
，渐近线方程均为；
（2）（i）设，，则，
又，
相减得，所以，
所以直线l方程为.
由得，，则.
（ii），，由得，
所以，，则点M为线段的中点.
又，所以.
即，解得.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为直线平面PAF，平面PBF，平面平面，
则，又E为线段PB的中点，
所以C为线段BF的中点，所以.
（2）因为平面平面ABCD，平面平面，，
则平面PAD，所以，
又，，则AB与DC为两相交直线，所以平面ABCD，
记（1）中的点F为，则四边形为矩形，
如图，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，，
所以，，所以，所以.
则，，又，，，
所以平面PBD的一个法向量为，设平面DEF的法向量为，
则，令，取，
则，解得.
故.
（3）点Q满足，，则点Q在平面ABCD内，
又平面ABCD，则为直线PQ与平面ABCD所成角，
所以，则，
所以Q在以D为圆心，为半径的圆上运动，
设，则平面ABCD，所以直线EQ与平面ABCD所成角为，
所以，
当D，Q，H三点共线时，QH最小为，
则.
故直线EQ与平面ABCD所成角的正弦的最大值为.
19．答案：（1）
（2）直线过定点
（3）
解析：（1）设抛物线上点，则，曲线C上的点，
则，所以，即为曲线C的方程.
（2）设直线，设直线，
则由得
则，同理可得，
则，
所以，故直线过定点.
（3）设直线，与曲线C联立得，
则，即，则，
又，，则，，
所以A，O，D三点共线，所以，
又，故，则，
故为定值.