辽宁省鞍山市2025届高三上学期第三次月考数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省鞍山市2025届高三上学期第三次月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知i是虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数为( )
A.2B.C.2iD.
2．设,则“”是“直线与直线平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．在中，点D在边上，.记，，则等于( )
A.B.C.D.
4．设圆与y轴交于A,B两点(A在B的上方),过B作圆O的切线l,若动点P到A的距离等于P到l的距离,则动点P的轨迹方程为( )
A.B.C.D.
5．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的( )
A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍
6．定义在R上的函数是偶函数，且，若在区间上单调递减，则函数( )
A.在区间上单调递增，在区间单调递减
B.在区间上单调递增，在区间单调递增
C.在区间上单调递减，在区间单调递减
D.在区间上单调递减，在区间单调递增
7．圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为( )
A.B.C.15cmD.20cm
8．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
二、多项选择题
9．已知函数，则下列选项正确的是
A.的最小正周期为
B.曲线关于点成中心对称
C.的最大值为
D.曲线关于直线对称
10．已知椭圆C:的左,右焦点分别为,,点P为椭圆C上一动点,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的离心率为
B.的最大值为6
C.的周长为10
D.存在点P,使得为等边三角形
11．函数满足,则正确的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．已知数列满足，，若，，则的值为_______.
13．若a，b，c，d为实数，且，定义函数，现将的图像先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到函数的图像，则的解析式为_____.
14．如图，已知，，，，D是的中点，则与平面所成角的余弦值为_____.
四、解答题
15．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
(1)求角B；
(2)若的面积为，边上的高，求b，c.
16．如图，在多面体中，，，垂直于底面，且满足，，.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，A为C的左顶点，且.
(1)求C的方程；
(2)若动直线l与C恰有1个公共点，且与C的两条渐近线分别交于点M、N.求证：点M与点N的横坐标之积为定值.
18．已知函数，.
(I)求曲线在处切线的斜率；
(II)求函数的极大值；
(III)设，当时，求函数的零点个数，并说明理由.
19．对于给定的正整数m和实数a，若数列满足如下两个性质：
①；
②对任意的，，则称数列具有性质.
(I)若数列具有性质，求数列的前10项和；
(II)对于给定的正奇数t，若数列同时具有性质和，求数列的通项式；
(III)若数列具有性质，求证：存在自然数N，对任意的正整数k，不等式均成立.
参考答案
1．答案：A
解析：
故,所以.
故选:A.
2．答案：A
解析:若直线与直线平行,则,解得或,经检验或时两直线平行.故选A.
3．答案：D
解析：因为点D在边上,,
所以,即,
所以.
故选D.
4．答案：A
解析:因为圆与轴交于A,B两点(A在B的上方),
所以,,
又因为过B作圆O的切线l,
所以切线l的方程为,
因为动点P到A的距离等于P到l的距离,
所以动点P的轨迹为抛物线,且其焦点为,准线为,
所以P的轨迹方程为.
故选:A.
5．答案：B
解析：依题意，，则，
所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.
故选：B.
6．答案：B
解析：,的图象关于直线对称,
在区间上单调递减,在区间上单调递增,
又是偶函数,,,
是周期为2的函数,在区间上也单调递增.
7．答案：C
解析：设玻璃球的半径为r,即圆柱形玻璃杯的底面半径为r；
则玻璃球的体积为,圆柱的底面面积为，
放入一个玻璃球后，水恰好淹没玻璃球，
此时水面的高度为,所以,解得.
8．答案：B
解析：，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，
则，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，，
由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：A项，的最小正周期，故A项正确；
B项，不是曲线的对称中心，故B项错误；
C项，的最大值为的最大值为，故C项正确；
D项，是曲线的对称轴，故D项正确.
10．答案：ABD
解析：由椭圆,可得,,则,
对于选项A,椭圆C的离心率,故A正确;
对于选项B,当点P为椭圆C的右顶点时,可得,故B正确;
对于选项C,的周长为,故C错误;
对于选项D,当点P为椭圆C的短轴的端点时,可得,,此时为等边三角形,故D正确.
故选:ABD
11．答案：AC
解析：依题意,令函数,求导得,函数在R上递减,
对于A,,,则,A正确;
对于B,,,则,B错误;
对于C,,,则,C正确;
对于D,,,则,D错误.
故选：AC.
12．答案：或
解析：，
数列为等比数列,设其公比为q,,
,解得,,故,
当时,,则;
当时,,则,
综上所述,或.
故答案为:或.
13．答案：
解析：由题意,
则
14．答案：
解析：，，，平面，
平面.连接,如图所示,则是在平面上的射影，
就是与平面所成的角.
，，，D是的中点,，，,
,
与平面所成角的余弦值为.
15．答案：(1)；
(2)，
解析：(1)因为，所以，
所以，即.
由余弦定理可得，
因为，所以.
(2)由正弦定理可得.
因为的面积为，所以，解得.
由余弦定理得，
则.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：(1)证明:由题意得，，，
，，垂直于底面，
，，，，
可得，所以，故.
由，，，，，得.
又，由，得，
所以，故.
又，因此平面，
因为平面，故.
(2)如图，以的中点O为坐标原点，分别以射线，为x，y轴的正半轴，
过点O作平行于且向上的射线为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意知各点坐标如下:
，，，，，
因此，，，.
设平面的法向量，
所以，即，则;
同理可得，平面的一个法向量，，由几何体可知二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
17．答案：(1)；
（2）证明见解析
解析：(1)易知点，，，，
所以解得，，则，
所以双曲线C的方程为.
（2）证明：分以下两种情况讨论：
①当直线轴时，直线l的方程为，
此时点M，N的横坐标之积为；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由题意可知直线l不与双曲线C的渐近线平行或重合，即，
设点，，
联立，可得，
则，可得，则，
不妨设点M，N分别为直线l与直线，的交点，
联立，可得，联立，可得，
此时，.
综上所述，点M与点N的横坐标之积为定值.
18．答案：(1)1；
(2)；
(3)有且仅有一个零点
解析：(1)定义域为，，，
所以曲线在处切线的斜率为1.
(2)，则.
令得.
当时，，单调递增;
当时，，单调递减.
所以函数的极大值为.
(3)，当时，，所以函数在时单调递增.而，.
所以方程在时有且只有一个根，即方程在时有且只有一个根.当时，讨论函数的零点个数即讨论方程根的个数，即研究方程的根的个数，即研究函数的零点个数。
当时，，，则函数在上无零点.
综上，当时，函数有且仅有一个零点.
19．答案：(1)5；
(2)1；
(3)证明见解析
解析：(1)依题意，且，
所以数列的前10项和为5.
(2)由于数列具有性质和，其中t为大于零的奇数，令，则有，所以.综上为常数列.又因为具有性质，所以.所以.
(3)要证
只需证
即只需证
令数列，由于数列具有性质，则数列具有性质.
令，
设的最小值为，
对，令，，，
由于具有性质，所以.
所以.
所以成立.