山西省运城中学2023届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份山西省运城中学2023届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 求二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为、，其中，有下列结论：①；②；③；④；⑤；其中，正确的结论有（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
答案：C
解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线，∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，
所以①错误；
∵抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为，由于抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜＜-2，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且c＜-1，∴当时，, 所以③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，，
当代入得：，
∵，∴，即,所以④错误；
∵对称轴为直线，∴,
∵由于时，，∴0,所以0,解得,
根据图象得，∴，所以⑤正确.
所以②③⑤正确, 故选C．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x轴、y轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a决定抛物线开口方向；c的符号由抛物线与y轴的交点的位置确定；b的符号由a及对称轴的位置确定；当x＝1时，y＝；当时，.
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与的交点即为所求的的外心，
的外心坐标是．
故选：C．
本题考查了三角形外心的知识，解题的关键是注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．
3. 如图，菱形中，，，且，连接交对角线于．则的度数是（ ）

A. 100°B. 105°C. 120°D. 135°
答案：B
解析：∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE=∠ACD=30°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°
∵CE=BC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠E=∠CBE=45°
∴∠AFB=∠CBE +∠ACB=45°+60°=105°，
故选：B．
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．证得△BCE是等腰直角三角形是解题的关键．
4. 如图示，二次函数的图像与轴交于坐标原点和，若关于的方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：将代入二次函数，得
∴
∴方程为
∴
∵
∴
故答案为D.
此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.
5. 若关于的方程，它的一根为3，则另一根为（ ）
A. 3B. C. D.
答案：C
解析：设方程的另一根为t，
根据题意得：3+t=2，
解得：t=-1，
即方程的另一根为-1．
故选：C．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，，．
6. 华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前4位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：根据题意，我们只需解锁后两位密码即可，两位数字的排列有 种可能
∴一次解锁该手机密码的概率是
故答案为：C．
本题考查了排列组合的问题，掌握排列组合的公式是解题的关键．
7. 一个不透明的盒子有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有12 个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
答案：C
解析：根据题意得：，
解得n=40，
所以估计盒子中小球的个数为40个.
故选C．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，概率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.
8. 如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（）
A. 甲正确，乙错误B. 乙正确，甲错误C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误
答案：C
解析：甲和乙的作法都正确：
理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC．
∴∠DAC=∠ACN．
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO=CO．
在△AOM和△CON中，
∵∠MAO=∠NCO，AO=CO，∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO=NO．
∴四边形ANCM是平行四边形．
∵AC⊥MN，
∴四边形ANCM是菱形．
如图，
∵AD//BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠4．
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6．
∴∠1=∠3，∠5=∠4．
∴AB=AF，AB=BE．
∴AF=BE．
∵AF//BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形．
故选C．
9. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A. x2＋ ＝0B. (x－1)2＝(x＋3)(x－2)＋1
C. x＝x2D. ax2＋bx＋c＝0
答案：C
解析：解：A. x2＋ ＝0，是分式方程，故不符合题意；
B. (x－1)2＝(x＋3)(x－2)＋1经过整理后为：3x-6=0，是一元一次方程，故不符合题意；
C. x＝x2 ，是一元二次方程，故符合题意；
D. 当a=0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程，故不符合题意，
故选C．
10. 如下图：⊙O直径为10，弦AB的长为8，点P是弦AB上的一个动点，使线段OP的长度为整数的点P有（ ）
A. 3 个B. 4个C. 5个D. 6个
答案：A
解析：当P为AB的中点时，由垂径定理得OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB=8，
∴AP=BP=4，
在直角三角形AOP中，OA=5，AP=4，
根据勾股定理得OP=3，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP=5，
∴，则使线段OP的长度为整数的点P有3，4，5，共3个．
故选A
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是_________．
答案：y=x2+x﹣2
解析：根据平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加．
因此将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是y=x2+x﹣2．
故答案为：y=x2+x﹣2
12. 将抛物线向上平移1个单位后，再向左平移2个单位，得一新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是__________________________．
答案：y=(x+2)2-1
解析：由题意得：平移后的函数解析式是，
故答案为：.
此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，正确掌握平移的规律并运用解题是关键.
13. 如图，中，，点位于第一象限，点为坐标原点，点在轴正半轴上，若双曲线与的边、分别交于点、，点为的中点，连接、.若，则为_______________.
答案：
解析：过C作CE⊥OB于E，
∵点C、D在双曲线（x＞0）上，
∴S△COE＝S△BOD，
∵S△OBD＝3，
∴S△COE＝3，
∵CE∥AB，
∴△COE∽△AOB，
∴，
∵C是OA的中点，
∴OA＝2OC，
∴，
∴S△AOB＝4×3＝12，
∴S△AOD＝S△AOB−S△BOD＝12−3＝9，
∵C是OA的中点，
∴S△ACD＝S△COD，
∴S△COD＝，
故答案为．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，所成的三角形的面积是定值|k|，且保持不变．
14. 二次函数图象的顶点坐标为________．
答案：
解析：解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）．
故答案为（1，2）．
本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的h，k所表示的意义．
15. 一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是_________．
答案：
解析：由图可知：黑色方砖6块，共有16块，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球停留在黑色区域的概率是；
故答案为：．
本题考查的是几何概率，熟练运用知识点：几何概率=相应的面积与总面积之比是解题关键．
16. 如图，反比例函数的图象与矩形相较于两点，若是的中点，，则反比例函数的表达式为__________．
答案：
解析：解：设D（a，），则B纵坐标也为，
∵D是AB中点，
∴点E横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标：，
∵BE=BCEC=，
∴E为BC的中点，
S△BDE=，
∴k=8．
∴反比例函数的表达式为；
故答案是：．
本题考查了反比例函数的性质，以及三角形的面积公式，正确表示出BE的长度是关键．
17. 在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同，如果摸到红球的概率是，那么口袋中有白球_____个．
答案：
解析：解：设白球有x个，根据题意得：

解得：．
故答案为：．
本题考查了概率的基本计算，根据题意列出方程就可以得出答案．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18. 如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．
答案：70
解析：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1， ∴∠A1OA=100°．
又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°．
三、解答题（共66分）
19. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴正半轴上，点的坐标是，点是边上一动点（不与点、点重合），连接、，过点作射线交的延长线于点，交边于点，且，令，．
（1）当为何值时，？
（2）求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在，使的面积与的面积之和等于的面积．若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）当时，；（2）（）；（3）存，．
解析：解：（1）证明三角形OPC和三角形PAB相似是解决问题的关键，由题意知，
，BC∥OA，
∵，
∴．
∴．
∴∽，
∴，即，
解得（不合题意，舍去）．
∴当时，；
(2)由题意可知，∥，
∴．
∵（已知），
∴．
∵，
∴∽，
∴对应边成比例：，即．
∴，
∵点是边上一动点（不与点、点重合），且满足∽，
所以的取值范围是．
（3）假设存在符合题意． 如图所示，过作于点，交于点， 则．
∵与面积之和等于的面积，
∴．
∴．
∵∥，
∴∽．
∴． 即，
解得．
由（2）得，所以．
解得（不合题意舍去）．
∴在点的运动过程中存在x，，使与面积之和等于的面积，此时．
本题考查了1．相似三角形的判定与性质；2．矩形性质，解决此题的关键是对各个知识点之间熟练的掌握和运用．
20. 如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的F、C（3，m）两点，与x、y轴分别交于B、A（0，4）两点，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，且△OCD的面积为3，作点B关于y轴对称点E．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）连接FE、EC，求△EFC的面积．
答案：（1）y＝；y＝﹣2x+4，y=-；（2）16
解析：解：（1）∵点C在反比例函数y＝图象上，且△OCD的面积为3，
∴，
∴k＝±6，
∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
把C（3，m）代入为：y＝得，m＝﹣2，
∴C（3，﹣2），
把A（0，4）C（3，﹣2）代入一次函数y＝ax+b得： ，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4．
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为：y＝，y＝﹣2x+4．
（2）一次函数y＝﹣2x+4与x轴的交点B（2，0）．
∵点B关于y轴对称点E，
∴点E（﹣2，0），
∴BE＝2+2＝4，
∵一次函数和反比例函数的解析式联立得：，
解得：
∴点F（﹣1，6），
∴．
答：△EFC的面积为16．
本题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质以及方程组、三角形的面积等知识，掌握反比例函数、一次函数图象上点的坐标的特征是解题的关键．
21. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿线段向终点以/的速度运动，同时动点从点出发，沿折线以/的速度向终点运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，以、为邻边作设▱与重叠部分图形的面积为点运动的时间为．
（1）当点在边上时，求的长（用含的代数式表示）；
（2）当点落在线段上时，求的值；
（3）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
答案：（1）；（2）；（3）详见解析
解析：解：（1）当点在边上时,,
∴
∴．
（2）如图：当点落在线段上时，此时：
在中，，，
∴
∴
在▱中：，
，
，
，
解得．
（3）依题意得：
在中，，，
∴
∴
当时，此时E在CB边上，此时
如图：过D作DM⊥BC于M
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当时，E在AB边上，F在BC的下方，此时：
如图：过E作EP⊥AC于E, EF交BC于Q,连接CE
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
在▱中EQ//AC
∴
∴
∴
∴
∴
当时，E在AB边上，F在BC的上方，此时：
如图：过E作EP⊥AC于E,
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴综上所述：与之间的函数关系式是：
本题考查了相似三角形的性质、二次函数的应用，掌握三角形的性质是解题的关键．
22. 如图，一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，则他测得的树高应为多少米?
答案：树高为米．
解析：延长和相交于点，则就是树影长的一部分，
∵某一时刻测得高为的竹竿影长为，
∴，
∵AB//CD，
∴△AEB∽△CED，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即树高为米．
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻，物体与影长成正比及相似三角形判定定理是解题关键．
23. 某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导,对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行统计调查，并绘制了统计表及统计图，如图所示.
(1)这50名学生每人一周内的零花钱数额的平均数是_______元/人；
(2)如果把全班50名学生每人一周内的零花钱按照不同数额人数绘制成扇形统计图，则一周内的零花钱数额为5元的人数所占的圆心角度数是_____度；
(3)一周内的零花钱数额为20元的有5人，其中有2名是女生， 3名是男生，现从这5人中选2名进行个别教育指导，请用画树状图或列表法求出刚好选中2名是一男一女的概率.
答案：(1)12；(2)72；(3).
解析：解：（1）平均数是（元）；
故答案为：12；
（2）一周内的零花钱数额为5元的人数所占的圆心角度数为：；
故答案为：72；
（3）表格如下：
从这5人中选2名共20种情况，刚好选中2名是一男一女有12种情况，所以刚好选中2名是一男一女的概率为，
故答案为．
本题考查加权平均数、统计图表的应用以及树状图或列表法求概率，难度不大，解题的关键是将相关概念应用到实际问题中，解决问题．
24. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，过AC上一点D作DE⊥AB于E，已知AB=10cm，AC=8cm，BE=6cm，求DE．
答案：3cm
解析：解：∵∠C=90°，AB=10，AC=8
∴BC==6
∵BE=6
∴AE=4
∵DE⊥AB
∴∠C=90°=∠AED
又∠A=∠A
∴△ABC∽△ADE
∴
∴cm．
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定方法．
25. 先化简，再求值：，其中．
答案：，．
解析：解：
，
当时，原式．
此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上，点 的坐标为．
（1）画出关于 轴对称的；写出顶点的坐标（ ， ），（ ， ）．
（2）画出将绕原点 按顺时针旋转 所得的；写出顶点的坐标（ ， ），（ ， ），（ ， ）．
（3）与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标．

答案：（1）作图见解析，；（2）作图见解析，；（3）成中心对称，对称中心坐标是
解析：解：（1）如图，根据关于y轴对称的点的特点可知：；
（2）如图，由图可知，；

（3）根据中心对称图形的定义可知与成中心对称，对称中心为线段的中点，坐标是.
本题主要考查作轴对称图形、中心对称和作旋转图形，掌握关于y轴对称的点的特点和对称中心的求法是解题的关键．