2025届高中数学一轮复习练习：第四章限时跟踪检测(17)　导数与函数的单调性（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第四章限时跟踪检测(17)　导数与函数的单调性（含解析），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2024·海南高中联考)函数f(x)＝－ln x＋2x2的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
3．(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为( )
A．e2 B．e
C．e－1 D．e－2
4．(2024·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝x＋cs x，x∈R，设a＝f(0.3－1)，b＝f(2－0.3)，c＝f(lg20.2)，则( )
A．b＜c＜a B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．c＜b＜a
5．(2024·四川乐山模拟)若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3]
B．(－3,1)
C．[1，＋∞)
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
6．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是( )
7．(2024·安徽合肥一中、屯溪一中等校联考)已知函数f(x)＝4cs x－eq \f(1,3)mx3在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，2π))上单调递增，则实数m的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(16\r(3),9π))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(16\r(2),9π2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(32\r(3),9π))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(32\r(2),9π2)))
8．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x≠0)的导函数，f(－1)＝－1.当x＞0时，f′(x)＞1，则使得f(x)＞x成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
二、多项选择题
9．(2024·宁夏长庆高中月考)若函数f(x)＝ax3＋3x2＋x＋b(a＞0，b∈R)恰好有三个不同的单调区间，则实数a的可能取值为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
10．如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有eq \f(x1fx1－x2fx2,x1－x2)＞0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
三、填空题与解答题
11．函数f(x)＝2exsin x的单调递增区间是________．
12．设a∈(0,1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
13．(2024·湖南衡阳段考)若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间(1,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．
14．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋a，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))内单调递减，求a的取值范围；
(3)若函数f(x)的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))，求a的值．
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15．已知函数f(x)＝ex－e－x＋eq \f(1,2)sin eq \f(π,2)x＋1，实数a，b满足不等式f(3a＋b)＋f(a－1)＜2，则下列不等式成立的是( )
A．2a＋b＜－1 B．2a＋b＞－1
C．4a＋b＜1 D．4a＋b＞1
解析版
一、单项选择题
1．(2024·海南高中联考)函数f(x)＝－ln x＋2x2的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析：由f(x)＝－ln x＋2x2(x＞0)，得f′(x)＝－eq \f(1,x)＋4x＝eq \f(4x2－1,x)，令f′(x)>0，即4x2－1>0，解得x>eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＜－\f(1,2)舍去))，所以函数f(x)＝－ln x＋2x2的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).故选D.
答案：D
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
解析：当x＜0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c＜0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减；当x＞0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象，可知导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D符合题意．
答案：D
3．(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为( )
A．e2 B．e
C．e－1 D．e－2
解析：依题意，f′(x)＝aex－eq \f(1,x)≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0，所以xex≥eq \f(1,a).
设g(x)＝xex，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，
g(x)>g(1)＝e，故e≥eq \f(1,a)，即a≥eq \f(1,e)＝e－1，即a的最小值为e－1.
故选C.
答案：C
4．(2024·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝x＋cs x，x∈R，设a＝f(0.3－1)，b＝f(2－0.3)，c＝f(lg20.2)，则( )
A．b＜c＜a B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．c＜b＜a
解析：由题意可得f′(x)＝1－sin x≥0，
所以f(x)在R上单调递增．
又由0.3－1＞2－0.3＞lg20.2，
可得f(0.3－1)＞f(2－0.3)＞f(lg20.2)，
所以c＜b＜a.故选D.
答案：D
5．(2024·四川乐山模拟)若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3]
B．(－3,1)
C．[1，＋∞)
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：因为f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋ax－5，
所以f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，
如果函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋ax－5在区间[－1，2]上单调，
那么a－1≥0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′－1≤0，,f′2≤0，))
解得a≥1或a≤－3，
于是满足条件的a∈(－3,1)．故选B.
答案：B
6．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是( )
解析：列表如下，
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)．
故函数f(x)的图象是C中的图象．
答案：C
7．(2024·安徽合肥一中、屯溪一中等校联考)已知函数f(x)＝4cs x－eq \f(1,3)mx3在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，2π))上单调递增，则实数m的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(16\r(3),9π))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(16\r(2),9π2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(32\r(3),9π))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(32\r(2),9π2)))
解析：由题意得f′(x)≥0在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，2π))上恒成立且不恒等于0，f′(x)＝－4sin x－mx2，则－4sin x－mx2≥0在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，2π))时恒成立且不恒等于0，即－eq \f(4sin x,x2)≥m在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，2π))时恒成立且不恒取等号．
令g(x)＝－eq \f(4sin x,x2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，2π))，可知当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))时，g(x)＜0，当x∈[π，2π]时，g(x)≥0.
当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))时，g′(x)＝eq \f(4,x3)(2sin x－xcs x)＞0，所以函数g(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))上单调递增，所以g(x)min＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝－eq \f(32\r(2),9π2)，则m≤－eq \f(32\r(2),9π2)，故实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(32\r(2),9π2))).
答案：D
8．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x≠0)的导函数，f(－1)＝－1.当x＞0时，f′(x)＞1，则使得f(x)＞x成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
解析：由f′(x)＞1(x＞0)，可得f′(x)－1＞0，令g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1＞0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(－1)＝－1，所以g(－1)＝f(－1)＋1＝0，又因为f(x)为奇函数，所以g(x)＝f(x)－x为奇函数，所以g(1)＝0，且在区间(－∞，0)上g(x)单调递增．所以使得f(x)＞x，即g(x)＞0成立的x的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.
答案：B
二、多项选择题
9．(2024·宁夏长庆高中月考)若函数f(x)＝ax3＋3x2＋x＋b(a＞0，b∈R)恰好有三个不同的单调区间，则实数a的可能取值为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
解析：由题意得f′(x)＝3ax2＋6x＋1(a＞0)，
∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间，
∴f′(x)有两个不同的零点，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝36－12a＞0，,a＞0，))解得0＜a＜3.
因此，实数a的取值范围是(0,3)．故选AB.
答案：AB
10．如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有eq \f(x1fx1－x2fx2,x1－x2)＞0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
解析：依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数．
对于A，g(x)＝xex，定义域为R，g′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)0，eq \f(1,a)＋1>1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故只需满足g(0)≥0，即ln a＋ln(1＋a)＝ln(a＋a2)≥0，所以a＋a2≥1，解得a≤－eq \f(\r(5)＋1,2)或a≥eq \f(\r(5)－1,2)，又0