2025届高中数学一轮复习练习：第九章限时跟踪检测(54)　双曲线(二)（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第九章限时跟踪检测(54)　双曲线(二)（含解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则这样的直线l有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
2．过双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1的左焦点作倾斜角为eq \f(π,6)的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是( )
A．没有交点
B．只有一个交点
C．有两个交点且都在左支上
D．有两个交点且两交点分别在左、右两支上
3．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1与直线y＝－eq \f(2,3)x＋m(m∈R)的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．0或1或2
4．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1交于A，B两点，且|AB|＝8eq \r( ,2)，则实数k的值为( )
A．±eq \r( ,7) B．±eq \r( ,3)或±eq \f(\r( ,41),3)
C．±eq \r( ,3) D．±eq \f(\r( ,41),3)
5．已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左焦点为F1，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则直线l斜率的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(4,3)))
B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(3,4)))
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
6．过双曲线x2－y2＝4上任一点M(x0，y0)作它的一条渐近线的垂线段，垂足为N，O是坐标原点，则△MON的面积是( )
A．1 B．2
C．4 D．不确定
7．(2024·山东烟台模拟)过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C于A，B两点，D为AB的中点，若kAB·kOD＝eq \f(1,2)，则C的离心率为( )
A．eq \r( ,6) B．2
C．eq \r( ,3) D．eq \f(\r( ,6),2)
8．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中错误的是( )
A．弦AB的最小值为eq \f(2b2,a)
B．若|AB|＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝eq \f(b2,a2)
D．若直线AB的斜率为eq \r( ,3)，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)
二、多项选择题
9．(2024·河北唐山模拟)已知双曲线C：eq \f(y2,a2)－x2＝1(a>0)，其上、下焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．过双曲线上一点M(x0，y0)作直线l，分别与双曲线的渐近线交于P，Q两点，且点M为PQ的中点，则下列说法正确的是( )
A．若l⊥y轴，则|PQ|＝2
B．若点M的坐标为(1,2)，则直线l的斜率为eq \f(1,4)
C．直线PQ的方程为eq \f(y0y,a2)－x0x＝1
D．若双曲线的离心率为eq \f(\r( ,5),2)，则△OPQ的面积为2
10．(2024·湖北重点中学联考)关于双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1，下列说法正确的是( )
A．该双曲线与双曲线eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1有相同的渐近线
B．过点F(3,0)作直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝5，则满足条件的直线只有一条
C．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r( ,5),2)，\f(\r( ,5),2)))
D．过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点
三、填空题与解答题
11．过双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左焦点F1作倾斜角为eq \f(π,6)的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝________.
12．(2024·湖北武汉模拟)写出一条同时满足下列条件①②的直线l：________.
①经过点(eq \r( ,2)，1)；②与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点．
13．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
14．(2024·广东肇庆模拟)已知圆M：(x＋2)2＋y2＝eq \f(27,4)的圆心为M，圆N：(x－2)2＋y2＝eq \f(3,4)的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知定点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明：∠APN＝∠BPN.
高分推荐题
15．(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2－1)＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2eq \r( ,2)，求△PAQ的面积．
解析版
一、单项选择题
1．已知双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则这样的直线l有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：因为双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，则P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的直线有3条．
答案：B
2．过双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1的左焦点作倾斜角为eq \f(π,6)的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是( )
A．没有交点
B．只有一个交点
C．有两个交点且都在左支上
D．有两个交点且两交点分别在左、右两支上
解析：直线l的方程为y＝eq \f(\r( ,3),3)(x＋eq \r( ,13))，代入C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1，整理得23x2－8eq \r( ,13)x－160＝0，Δ＝(－8eq \r( ,13))2＋4×23×160>0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．
答案：D
3．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1与直线y＝－eq \f(2,3)x＋m(m∈R)的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．0或1或2
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x，当m＝0时，直线y＝－eq \f(2,3)x与双曲线没有公共点；当m≠0时，直线y＝－eq \f(2,3)x＋m与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线只有一个公共点．综上，双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1与直线y＝－eq \f(2,3)x＋m(m∈R)的公共点的个数为0或1.
答案：C
4．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1交于A，B两点，且|AB|＝8eq \r( ,2)，则实数k的值为( )
A．±eq \r( ,7) B．±eq \r( ,3)或±eq \f(\r( ,41),3)
C．±eq \r( ,3) D．±eq \f(\r( ,41),3)
解析：由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－eq \f(y2,4)＝1，得(4－k2)x2－2kx－5＝0，由Δ＝4k2＋4×(4－k2)×5>0，得k2eq \f(3,4)；当直线l的斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线l的斜率k0，b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C于A，B两点，D为AB的中点，若kAB·kOD＝eq \f(1,2)，则C的离心率为( )
A．eq \r( ,6) B．2
C．eq \r( ,3) D．eq \f(\r( ,6),2)
解析：不妨设过双曲线C的焦点且斜率不为0的直线方程为y＝k(x－c)，k≠0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,y＝kx－c，))消去y并整理得(b2－a2k2)x2＋2a2k2cx－(a2k2c2＋a2b2)＝0.则x1＋x2＝eq \f(2a2k2c,a2k2－b2)，x1x2＝eq \f(a2k2c2＋a2b2,a2k2－b2)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2k2c,a2k2－b2)，\f(kb2c,a2k2－b2))).则kOD＝eq \f(b2,a2k)，由kAB·kOD＝eq \f(1,2)，可得eq \f(b2,a2k)·k＝eq \f(1,2).则有a2＝2b2，即3a2＝2c2，则双曲线C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r( ,6),2).故选D．
答案：D
8．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中错误的是( )
A．弦AB的最小值为eq \f(2b2,a)
B．若|AB|＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝eq \f(b2,a2)
D．若直线AB的斜率为eq \r( ,3)，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)
解析：对于A，弦AB的最小值为通径eq \f(2b2,a)，故A正确；对于B，由双曲线的定义得|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a，得|AF1|＋|BF1|＝4a＋m，所以△F1AB的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m，故B正确；对于C，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)－\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)－\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)－eq \f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，则eq \f(1,a2)－eq \f(y1＋y2,b2x1＋x2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝0，则eq \f(1,a2)－eq \f(1,b2)·kOM·k＝0，则kOM·k＝eq \f(b2,a2)，故C正确；对于D，若直线AB的斜率为eq \r( ,3)，则eq \f(b,a)