2025届高中数学一轮复习练习：第九章限时跟踪检测(59)　定点、定值问题（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第九章限时跟踪检测(59)　定点、定值问题（含解析），共7页。试卷主要包含了已知点F1，F2分别为双曲线C，已知⊙O1，已知椭圆E，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过F1且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且|PA|＝|PB|，证明：eq \f(|AB|,|F1P|)为定值．
2．已知点F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知|F2A|＝3－eq \r( ,5)，且点F2到一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝mx＋n与双曲线C交于两点M，N，直线OM，ON的斜率分别记为kOM，kON，且eq \f(1,kOM)＋eq \f(1,kON)＝eq \f(10,m)，求证直线l过定点，并求出定点坐标．
3．(2024·河北张家口模拟)已知⊙O1：(x＋1)2＋y2＝1，⊙O2：(x－1)2＋y2＝9，⊙M与⊙O1外切，与⊙O2内切．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若A，B是点M的轨迹上的两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，直线AB的斜率存在，△AOB的面积为eq \r( ,3)，证明：k1·k2为定值．
4．(2024·河北保定模拟)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2c，左、右焦点分别是F1，F2，其离心率为eq \f(\r(3),2)，圆F1：(x＋c)2＋y2＝1与圆F2：(x－c)2＋y2＝9相交，两圆交点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l不经过点P(0,1)且与椭圆E相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为－2，证明：直线l过定点．
高分推荐题
5．(2024·安徽黄山第二次质检)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，F为焦点，若圆E：(x－1)2＋y2＝16与抛物线C交于两点A，B，且|AB|＝4eq \r( ,3).
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点P为圆E上任意一点，且过点P可以作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N.求证：|MF|·|NF|恒为定值．
解析版
1．在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－1,0)，F2(1，0)，点M满足|MF1|＋|MF2|＝2eq \r( ,2).记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过F1且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且|PA|＝|PB|，证明：eq \f(|AB|,|F1P|)为定值．
(1)解：由椭圆的定义，知M的轨迹为以F1(－1，0)，F2(1,0)为焦点的椭圆，且2a＝2eq \r( ,2)，c＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝k(x＋1)，k≠0，则联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，Δ>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2k2－2,1＋2k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝eq \f(2k,1＋2k2)，
则|AB|＝eq \r( ,1＋k2)·
eq \r( ,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4k2,1＋2k2)))2－\f(42k2－2,1＋2k2))＝eq \f(2\r( ,2)1＋k2,1＋2k2)，
AB的中点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2k2,1＋2k2)，\f(k,1＋2k2)))，
所以AB的垂直平分线为y－eq \f(k,1＋2k2)＝－eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2k2,1＋2k2)))，
令y＝0，得x＝－eq \f(k2,1＋2k2)，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(k2,1＋2k2)，0))，|F1P|＝1－eq \f(k2,1＋2k2)＝eq \f(1＋k2,1＋2k2)，
所以eq \f(|AB|,|F1P|)＝eq \f(\f(2\r( ,2)1＋k2,1＋2k2),\f(1＋k2,1＋2k2))＝2eq \r( ,2).
2．已知点F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知|F2A|＝3－eq \r( ,5)，且点F2到一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝mx＋n与双曲线C交于两点M，N，直线OM，ON的斜率分别记为kOM，kON，且eq \f(1,kOM)＋eq \f(1,kON)＝eq \f(10,m)，求证直线l过定点，并求出定点坐标．
(1)解：由题知，F2(c,0)，其中一条渐近线的方程为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c－a＝3－\r( ,5)，,\f(bc,\r( ,b2＋a2))＝2，,c2＝a2＋b2，))
解得a＝eq \r( ,5)，c＝3，b＝2，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1.
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝mx＋n代入eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1，
整理，得(5m2－4)x2＋10mnx＋5n2＋20＝0.
由Δ＝100m2n2－4(5m2－4)(5n2＋20)＝80(n2－5m2＋4)>0，得n2－5m2＋4>0.
则x1＋x2＝eq \f(－10mn,5m2－4)，x1x2＝eq \f(5n2＋20,5m2－4).
因为eq \f(1,kOM)＋eq \f(1,kON)＝eq \f(x1,y1)＋eq \f(x2,y2)＝eq \f(x1y2＋x2y1,y1y2)
＝eq \f(x1mx2＋n＋x2mx1＋n,mx1＋nmx2＋n)
＝eq \f(2mx1x2＋nx1＋x2,m2x1x2＋mnx1＋x2＋n2)
＝eq \f(\f(2m5n2＋20,5m2－4)＋\f(－10mn2,5m2－4),\f(m25n2＋20,5m2－4)＋\f(－10m2n2,5m2－4)＋n2)
＝eq \f(10m,5m2－n2)，
所以eq \f(10m,5m2－n2)＝eq \f(10,m)，得n2＝4m2，即n＝±2m，
所以直线l的方程为y＝m(x±2)．
所以当n2－5m2＋4>0，且n＝2m时，直线l过定点(－2,0)；
当n2－5m2＋4>0，且n＝－2m时，直线l过定点(2,0)．
3．(2024·河北张家口模拟)已知⊙O1：(x＋1)2＋y2＝1，⊙O2：(x－1)2＋y2＝9，⊙M与⊙O1外切，与⊙O2内切．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若A，B是点M的轨迹上的两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，直线AB的斜率存在，△AOB的面积为eq \r( ,3)，证明：k1·k2为定值．
(1)解：设⊙M的半径为r，则|MO1|＝r＋1，|MO2|＝3－r，
|MO1|＋|MO2|＝4，故点M的轨迹与椭圆有关，2a＝4,2c＝2，
又由椭圆定义可知，点M的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠－2)．
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋t，将y＝kx＋t代入eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠－2)整理得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－12＝0，
有x1＋x2＝－eq \f(8kt,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(4t2－12,3＋4k2)，
|AB|＝eq \r(k2＋1)|x1－x2|＝eq \r(k2＋1)·eq \f(\r(483＋4k2－t2),3＋4k2)，
原点O到直线AB的距离为d＝eq \f(|t|,\r(k2＋1))，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(2\r(3)|t|\r(3＋4k2－t2),3＋4k2)＝eq \r(3)⇒(3＋4k2－2t2)2＝0，
得3＋4k2＝2t2，即k2＝eq \f(2t2－3,4)，k1·k2＝eq \f(y1y2,x1x2)＝eq \f(kx1＋tkx2＋t,x1x2)
＝eq \f(k2x1x2＋ktx1＋x2＋t2,x1x2)
＝eq \f(k2·\f(4t2－12,3＋4k2)＋kt\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8kt,3＋4k2)))＋t2,\f(4t2－12,3＋4k2))
＝eq \f(3t2－12k2,4t2－12).
将k2＝eq \f(2t2－3,4)代入得k1·k2＝－eq \f(3,4).
4．(2024·河北保定模拟)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2c，左、右焦点分别是F1，F2，其离心率为eq \f(\r(3),2)，圆F1：(x＋c)2＋y2＝1与圆F2：(x－c)2＋y2＝9相交，两圆交点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l不经过点P(0,1)且与椭圆E相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为－2，证明：直线l过定点．
(1)解：由题意得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，由圆F1：(x＋c)2＋y2＝1与圆F2：(x－c)2＋y2＝9相交，两圆交点在椭圆E上，可知2a＝1＋3，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝1，c＝eq \r(3)，所以椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)证明：①当直线l的斜率不存在时，设直线l：x＝t，由题意可知t≠0，且|t|0，
因为直线PA，PB的斜率之和为－2，
所以eq \f(y1－1,x1)＋eq \f(y2－1,x2)＝－2，
所以eq \f(kx1＋m－1,x1)＋eq \f(kx2＋m－1,x2)＝－2，
所以eq \f(2kx1x2＋m－1x1＋x2,x1x2)＝－2，
所以(2k＋2)·eq \f(4m2－4,4k2＋1)＋(m－1)·eq \f(－8km,4k2＋1)＝0(m≠1)，化简整理得k＝－m－1，
当且仅当Δ＝16[4(m＋1)2－m2＋1]＝16(3m2＋8m＋5)>0，即m－1且m≠1时符合题意，
所以直线AB的方程为y＝(－m－1)x＋m，
即y＋1＝(－m－1)(x－1)，故直线l过定点(1，－1)．
综合①②可得，直线l过定点(1，－1)．
高分推荐题
5．(2024·安徽黄山第二次质检)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，F为焦点，若圆E：(x－1)2＋y2＝16与抛物线C交于两点A，B，且|AB|＝4eq \r( ,3).
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点P为圆E上任意一点，且过点P可以作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N.求证：|MF|·|NF|恒为定值．
(1)解：由题意可知E(1,0)，半径r＝4，
由圆的圆心以及抛物线的焦点均在坐标轴x轴上，及对称性可知AB⊥x轴于点C，
在直角三角形ACE中，|CE|＝eq \r( ,r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB))2)＝eq \r( ,42－2\r( ,3)2)＝2，
因此|OC|＝|OE|＋|CE|＝3，故A(3，2eq \r( ,3))，将其代入抛物线方程中得12＝6p⇒p＝2，
故抛物线方程为y2＝4x.
(2)证明：令P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
抛物线在点M处的切线方程为x－x1＝m(y－y1)，
与y2＝4x联立得y2－4my＋4my1－4x1＝0①，
由相切时Δ＝16m2－4(4my1－4x1)＝0得4my1－4x1＝4m2，
代入①得y1＝2m，
故在点M处的切线方程为x－x1＝eq \f(y1,2)(y－y1)，即为yy1＝2x＋2x1.
同理可得点N处的切线方程为yy2＝2x＋2x2.
而两切线交于点P(x0，y0)，
所以有y0y1＝2x0＋2x1，y0y2＝2x0＋2x2，
则直线MN的方程为2x－y0y＋2x0＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,2x－y0y＋2x0＝0，))得y2－2y0y＋4x0＝0，所以y1＋y2＝2y0，y1y2＝4x0，
于是|MF|·|NF|＝(x1＋1)(x2＋1)＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),16)＋eq \f(y\\al(2,1),4)＋eq \f(y\\al(2,2),4)＋1＝xeq \\al(2,0)＋eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2y02－2×4x0))＋1＝(x0－1)2＋yeq \\al(2,0)，
又点P(x0，y0)在圆E：(x－1)2＋y2＝16上，
所以(x0－1)2＋yeq \\al(2,0)＝16，即|MF|·|NF|＝16.