2025届高中数学一轮复习练习：第十章 限时跟踪检测(63)　排列与组合（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第十章 限时跟踪检测(63)　排列与组合（含解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2024·吉林长春质检)树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有( )
A．8种 B．9种 C．12种 D．14种
2．若把英语单词“errr”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是( )
A．20 B．19 C．10 D．9
3．甲、乙两人要在一排8个空座上就座，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有( )
A．10种 B．16种
C．20种 D．24种
4．若将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )
A．15 B．20 C．30 D．42
5．(2024·安徽合肥模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有( )
A．8种 B．14种
C．20种 D．116种
6．(2024·北京市第十二中学期末)4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为( )
A．10 B．20 C．24 D．30
7．(2024·山东济宁模拟)为了办好第19届亚运会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与．某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为( )
A．144 B．150
C．168 D．192
8．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选2门，从大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A．18种 B．36种
C．54种 D．78种
二、多项选择题
9．(2024·山东潍坊期末)中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节课，则下列说法正确的是( )
A．某学生从中选3门学习，共有20种选法
B．“礼”和“射”不相邻，共有400种排法
C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种排法
D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种排法
10．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是( )
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法
三、填空题与解答题
11．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛．若每个同学可以自由选择，则不同的选择种类是________，若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是________．(用数字作答)
12．(2024·吉林长春模拟)将A，B，C，D，E这5名学生从左至右排成一排，则满足“A与B相邻且A与C之间恰好有1名学生”的不同排列方法有________种．
13．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序．(结果用数字作答)
(1)如果3名女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻)，那么有多少种不同的出场顺序？
(3)如果3名女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？
14．将6个相同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
高分推荐题
15．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A，B，C，D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则分配方案的种数为( )
A．10 B．12
C．14 D．24
解析版
一、单项选择题
1．(2024·吉林长春质检)树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有( )
A．8种 B．9种 C．12种 D．14种
解析：任意选有Ceq \\al(4,6)＝15(种)选法，都是男生有1种选法，则至少有一名女生有14种选法．故选D．
答案：D
2．若把英语单词“errr”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是( )
A．20 B．19 C．10 D．9
解析：“errr”由5个字母组成，其中3个相同，这相当于5个人站队，只要给e，选定位置，其余三个相同的字母r的位置就固定，即所有的拼写方式为Aeq \\al(2,5)，errr拼写错误的种数为Aeq \\al(2,5)－1＝19.
答案：B
3．甲、乙两人要在一排8个空座上就座，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有( )
A．10种 B．16种
C．20种 D．24种
解析：一排共有8个座位，现有两人就座，故有6个空座．∵要求每人的两旁均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就座，即有Aeq \\al(2,5)＝20(种)坐法．故选C．
答案：C
4．若将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )
A．15 B．20 C．30 D．42
解析：四个篮球分成三组有Ceq \\al(2,4)种分法，三组篮球进行全排列有Aeq \\al(3,3)种分法，标号为1,2的两个篮球分给同一个小朋友有Aeq \\al(3,3)种分法，所以有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)－Aeq \\al(3,3)＝36－6＝30(种)分法．
答案：C
5．(2024·安徽合肥模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有( )
A．8种 B．14种
C．20种 D．116种
解析：可按照甲是否在天和核心舱划分：①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲、乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有Ceq \\al(2,3)·Aeq \\al(2,2)＝3×2＝6(种)可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(3,4)＝2×4＝8(种)可能．根据分类加法计数原理，共有6＋8＝14(种)可能．
答案：B
6．(2024·北京市第十二中学期末)4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为( )
A．10 B．20 C．24 D．30
解析：方法一：不考虑限制条件，将6位同学排成一排准备照相，共有Aeq \\al(6,6)种排法，
如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有eq \f(A\\al(6,6),A\\al(4,4))＝30(种)排法，故选D．
方法二：插入2位同学后变成6位同学6个位置，原4位同学占4个位置，但相对顺序没变，因而有Ceq \\al(4,6)种排法，再排新插入的2位同学有Aeq \\al(2,2)种排法，从而共有Ceq \\al(4,6)Aeq \\al(2,2)＝30(种)排法，故选D．
方法三：6个位置可以先排后加入的2位同学，有Aeq \\al(2,6)＝30(种)排法，剩下4个位置原4位同学按原顺序排入即可，只有1种方法，因而共有30种排法，故选D．
答案：D
7．(2024·山东济宁模拟)为了办好第19届亚运会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与．某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为( )
A．144 B．150
C．168 D．192
解析：由题可得，参与志愿者服务的项目人数为2,1,1,1，
若没有限制则共有Ceq \\al(2,5)·Aeq \\al(4,4)＝240(种)安排方法；
当两个女同学在一起时有Aeq \\al(4,4)＝24(种)安排方法；
当男同学小王、女同学大雅在一起时有Aeq \\al(4,4)＝24(种)方法，
所以按题设要求不同的安排方法种数为240－24－24＝192.
答案：D
8．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选2门，从大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A．18种 B．36种
C．54种 D．78种
解析：由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,2,2.若每年所修课程数为1,1,2，则先将4门课程按1,1,2分为三组，有eq \f(C\\al(1,4)C\\al(1,3)C\\al(2,2),A\\al(2,2))＝6(种)不同的方式，再分配到三个学年，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)不同的方式，由分步乘法计数原理，知不同的选修方式共有36种；若每年所修课程数为0,2,2，则先将4门课程按0,2,2分为三组，有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))＝3(种)不同的方式，再分配到三个学年，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)不同的方式，由分步乘法计数原理，知不同的选修方式共有18种．综上，每位同学的不同选修方式有36＋18＝54(种)，故选C．
答案：C
二、多项选择题
9．(2024·山东潍坊期末)中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节课，则下列说法正确的是( )
A．某学生从中选3门学习，共有20种选法
B．“礼”和“射”不相邻，共有400种排法
C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种排法
D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种排法
解析：对于A，某学生从中选3门学习，共有Ceq \\al(3,6)＝20(种)选法，故A正确．对于B，“礼”和“射”不相邻，则有Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,5)＝480(种)排法，故B错误．对于C，①若“数”排在第一节，则排法有Aeq \\al(5,5)＝120(种)；②若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,4)Aeq \\al(4,4)＝384(种)．所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有120＋384＝504(种)排法，故C正确．对于D，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有4Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝48(种)排法；②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有3Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝36(种)排法；③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有3Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝36(种)排法．所以“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有48＋36＋36＝120(种)排法，故D错误．故选AC．
答案：AC
10．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是( )
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法
解析：对于A，先从6本书中分给甲2本，有Ceq \\al(2,6)种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有Ceq \\al(2,4)种方法；最后的2本书给丙，有Ceq \\al(2,2)种方法．所以不同的分配方法有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝90(种)，A正确．对于B，先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有Ceq \\al(4,6)种方法；再分给甲、乙、丙三人．所以不同的分配方法有Ceq \\al(4,6)Aeq \\al(3,3)＝90(种)，B正确．对于C,6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)种方法；其余2本分给丙、丁，有Aeq \\al(2,2)种方法．所以不同的分配方法有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)＝180(种)，C正确．对于D，先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),A\\al(2,2))·eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人．所以不同的分配方法有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),A\\al(2,2))·eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))·Aeq \\al(4,4)＝1 080(种)，D错误．
答案：ABC
三、填空题与解答题
11．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛．若每个同学可以自由选择，则不同的选择种类是________，若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是________．(用数字作答)
解析：若每个同学可以自由选择，由分步乘法计数原理可得，不同的选择种数是35＝243.因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有2,2,1和3,1,1两种分配方案．当分配方案为2,2,1时，共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)＝18(种)；当分配方案为3,1,1时，共有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝12(种)．所以不同的选择种数是18＋12＝30.
答案：243 30
12．(2024·吉林长春模拟)将A，B，C，D，E这5名学生从左至右排成一排，则满足“A与B相邻且A与C之间恰好有1名学生”的不同排列方法有________种．
解析：根据题意，分2种情况讨论：
①当A，C之间为B时，排列方法为Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝12(种)；
②当A，C之间为D或E时，排列方法为Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝8(种)．
综上，所有排列方法为12＋8＝20(种)．
答案：20
13．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序．(结果用数字作答)
(1)如果3名女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻)，那么有多少种不同的出场顺序？
(3)如果3名女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？
解：(1)根据题意，分2步进行分析：
①先将4名男生排成一排，有Aeq \\al(4,4)种情况；
②男生排好后有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有Aeq \\al(3,5)种情况．
则有Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(3,5)＝1 440(种)不同的出场顺序．
(2)根据题意，将7人排成一排，有Aeq \\al(7,7)种情况，其中女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，
则女生甲在女生乙的前面的排法有eq \f(1,2)Aeq \\al(7,7)＝2 520(种)，所以有2 520种不同的出场顺序．
(3)根据题意，分3步进行分析：
①先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有Aeq \\al(3,3)种情况；
②将3名女生的整体和4名男生全排列，有Aeq \\al(5,5)种情况；
③女生甲不在第一个出场，减去其第一个出场的情况即可．
则有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(5,5)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝672(种)不同的出场顺序．
14．将6个相同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
解：(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有Ceq \\al(3,5)＝10(种)方法．
(2)恰有一个空盒子，分两步进行，先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如“|○|○○○|○○|”(其中“|”表示隔板，“○”表示小球)，有Ceq \\al(2,5)种插法，然后将剩下的一块隔板与已放置的隔板中任意一块并放形成空盒，如“|○||○○○|○○|”，有Ceq \\al(1,4)种插法，故共有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,4)＝40(种)方法．
(3)恰有两个空盒子，分两步进行，先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有Ceq \\al(1,5)种插法，如“|○○|○○○○|”，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子如“||○○||○○○○|”，有Ceq \\al(2,3)种插法；
②将两块板与前面三块板之一并放，如“|○○|||○○○○|”，有Ceq \\al(1,3)种插法．
故共有Ceq \\al(1,5)·(Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(1,3))＝30(种)方法．
高分推荐题
15．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A，B，C，D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则分配方案的种数为( )
A．10 B．12
C．14 D．24
解析：方法一：将分配方案分为甲分配到B班和甲不分配到B班两种情况：①甲分配到B班，则乙、丙、丁三位辅导老师安排在剩下的三个班，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)分配方案；②甲不分配到B班，甲有C，D两个班可以选择，有Aeq \\al(1,2)种分配方案，丁有两个班可以选择，有Aeq \\al(1,2)种分配方案，乙、丙两位辅导老师安排在剩下的两个班，有Aeq \\al(2,2)种分配方案，所以共有Aeq \\al(1,2)×Aeq \\al(1,2)×Aeq \\al(2,2)＝8(种)分配方案．由分类加法计数原理可得，共有6＋8＝14(种)分配方案．故选C．
方法二：甲、乙、丙、丁四位辅导老师全排列，有Aeq \\al(4,4)种排法，其中甲分配到A班有Aeq \\al(3,3)种排法，丁分配到B班有Aeq \\al(3,3)种排法，而甲分配到A班的同时丁分配到B班有Aeq \\al(2,2)种排法，所以甲不能分配到A班，丁不能分配到B班的分配方案有Aeq \\al(4,4)－2Aeq \\al(3,3)＋Aeq \\al(2,2)＝14(种)．故选C．
答案：C