（复习课）人教A版高一数学寒假讲义第01讲 集合与常用逻辑用语+巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1、正确掌握使用集合的语言来刻画一类事物的方法．
2、理解使用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理的方法．
【考点目录】
考点一：集合的含义与表示
考点二：集合的基本关系
考点三：集合的基本运算
考点四：含参数的集合问题
考点五：充分与必要条件
考点六：全称量词与存在量词
【基础知识】
知识点一：集合的有关概念
1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．
2、关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
（3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合．
3、元素与集合的关系：
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
4、常用数集及其表示
非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+
整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R
知识点二：集合的表示方法
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来．
2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
知识点三．集合与集合的关系
（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．
记作：
读作：A包含于B（或B包含A）．
图示：
（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．
记作：A=B
读作：A等于B．
图示：
知识点四．真子集
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集．
记作：AB（或BA）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
知识点五．空集
不含有任何元素的集合称为空集，记作：．
规定：空集是任何集合的子集．
结论：（1）（类比）
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）若则（类比，则）
（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0．
知识点六：集合的运算
1、并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
2、交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
3、补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（cmplementary set），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：
4、集合基本运算的一些结论
，，，，
，，，，
，
若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x（A∩B），则且xB
若x（A∪B），则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．
知识点七：充分条件与必要条件充要条件的概念
符号与的含义
“若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：．
充分条件、必要条件与充要条件
①若，称是的充分条件，是的必要条件．
②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．
知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．
①“若，则”为真命题；
②是的充分条件；
③是的必要条件
以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．
知识点八：充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系
①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；
③若，且，即，则、互为充要条件；
④若，且，则是的既不充分也不必要条件．
从集合与集合间的关系看
若p：x∈A，q：x∈B，
①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；
②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；
③若A=B，则、互为充要条件；
④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．
知识点八：全称量词与全称量词命题
1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示．
2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对．
知识点九：存在量词与存在量词命题
1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示．
2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．
3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对．
知识点十：命题的否定
1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．
2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
知识点十一：全称量词命题的否定
一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ．
知识点十二：存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
知识点十三：命题与命题的否定的真假判断
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
知识点七：常见正面词语的否定举例如下：
【考点剖析】
考点一：集合的含义与表示
例1．下列说法中，正确的个数是（ ）
①的近似值的全体构成一个集合 ②自然数集N中最小的元素是0
③在整数集Z中，若，则 ④一个集合中不可以有两个相同的元素
A．1B．2C．3D．4
例2．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．2C．3D．5
例3．方程组的解集是（ ）
A．B．C．D．
考点二：集合的基本关系
例4．已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．8个
例5．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
例6．设集合，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．
考点三：集合的基本运算
例7．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
例8．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
例9．已知全集，集台和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（ ）
A．个B．个C．个D．无穷多个
例10．某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌､跳舞､书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）
A．27B．23C．25D．29
考点四：含参数的集合问题
例11．已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围.
例12．已知集合是函数的定义域，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
例13．设函数的定义域为集合，集合.给出下列条件①“”是“”的充分条件；②；③.从中选一个作为已知填在横线上，并解答.
(1)若，求；
(2)设集合，满足条件___________，若这样的实数存在，求取值范围，若不存在说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
例14．已知集合，，，且，．
(1)求的值；
(2)求的取值范围．
例15．从①“充分不必要条件”、②“必要不充分条件”两个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答下列问题: 已知集合，．
(1)若，求；
(2)若存在正实数，使得“”是“”成立的 ，求正实数的取值范围．
（注:如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分）
考点五：充分与必要条件
例16．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例17．若p：，则p成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
例18．设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例19．“”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
考点六：全称量词与存在量词
例20．命题“，”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
例21．已知命题，则命题的否定及否定的真假为（ ）
A．，真命题
B．，假命题
C．，真命题
D．，假命题
例22．已知命题，.若为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例23．已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【真题演练】
1．（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2022·天津·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题（文））设集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高考真题（文））集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·浙江·高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
一、单选题
1.如图，设集合{华南虎，爪哇虎，里海虎}，{华南虎，巴厘虎，马来亚虎}，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．{华南虎，爪哇虎}B．{华南虎，巴厘虎}
C．{爪哇虎，里海虎}D．{巴厘虎，马来亚虎}
2.命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3.已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4.集合，，则（ ）
A．B．C．D．（3，4）
二、多选题
5.设集合，，，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6.如果A是D的充分不必要条件，B是C的充要条件，A是C的必要不充分条件，则下列说法正确的是（ ）
A．A是B的必要不充分条件B．B是D的充分不必要条件
C．C是D充要条件D．B是D的既不充分又不必要条件
三、填空题
7.已知下列不等式①；②；③；④；⑤.其中是不等式的一个充分不必要条件的有______（填序号）.
8.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是______.
四、解答题
9.设全集为，，
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
10.已知集合，集合或，全集.
(1)若，求;
(2)若⫋，求实数的取值范围.
11.已知集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
集合与常用逻辑用语 随堂检测
1.下列判断正确的是（ ）
A．个子高的人可以组成集合B．
C．D．空集是任何集合的真子集
2.若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3.，则（ ）
A．B．C．D．
4.命题“对任意，都有”的否定为（ ）
A．对任意，都有B．对任意，都有
C．存在，使得D．存在，使得
5．（多选）设为全体质数的集合，若，则的值可能是（ ）
A．5B．7C．13D．17
6．（多选）若“，使得成立”是假命题，则实数可能的取值是（ ）
A．1B．2C．D．3
7.已知集合，集合，则满足关系的所有集合为______.
8.已知集合，集合．
(1)求；
(2)设，若，求实数的取值范围．
9.设集合，．
(1)用列举法表示集合；
(2)若，求实数的值．
10.在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：
已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若选______，求实数的取值范围．
正面词语
等于
大于（>）
小于（