（复习课）人教A版高一数学寒假讲义第03讲 函数的概念与性质+巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1、学习用集合语言和对应关系刻画函数概念．
2、通过函数的不同表示方法加深对函数概念的认识．
3、学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习函数研究函数的基本内容、过程和方法．
【考点目录】
考点一：函数的概念
考点二：定义域
考点三：值域
考点四：函数的表示
考点五：单调性
考点六：奇偶性
考点七：幂函数
考点八：函数的应用
【基础知识】
知识点一、函数的概念
1、函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．
记作：，．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．
3、区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
区间表示：
；
； ；
； ．
知识点二、函数的表示法
1、函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势．
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值．
2、分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
知识点三、函数定义域的求法
（1）确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．
（2）抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．
（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．
知识点四、函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
知识点五、函数的单调性
1、增函数、减函数的概念
一般地，设函数的定义域为，区间
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
2、单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
3、证明函数单调性的步骤
（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论．
4、函数单调性的判断方法
（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（4）记住几条常用的结论
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
5、单调性定义的等价形式
（1）函数在区间上是增函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
（2）函数在区间上是减函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
6、复合函数单调性的判断
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．
列表如下：
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：
（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；
（2）分别确定各个函数的定义域；
（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．
若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．
7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
8、利用函数单调性求参数的范围
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
（1）在上恒成立在上的最大值．
（2）在上恒成立在上的最小值．
实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．
知识点六、基本初等函数的单调性
1、正比例函数
当时，函数在定义域R是增函数；当k