（复习课）人教A版高一数学寒假讲义第05讲 三角函数+巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1、任意角的概念，象限角的表示并能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题.
2、诱导公式的推导、记忆及符号的判断。
3、掌握三角函数的图像与性质
4、体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．
5、对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．
【考点目录】
考点一：任意角和弧度制
考点二：三角函数的概念
考点三：诱导公式
考点四：三角函数的图像与性质
考点五：三角恒等变换
考点六：伸缩变换
考点七：三角函数的应用
【基础知识】
知识点一：任意角的概念
1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
正角：按逆时针方向旋转所形成的角．
负角：按顺时针方向旋转所形成的角．
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．
2、终边相同的角、象限角
终边相同的角为
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
知识点二：弧度制
1、弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）
3、弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：．
知识点三：三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：
（1）做的正弦，记做，即；
（2） 叫做的余弦，记做，即；
（3）叫做的正切，记做，即．
知识点四：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
知识点五：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系： （2）商数关系：
知识点六：诱导公式
诱导公式一：
， ， ，其中
诱导公式二：
， ， ，其中
诱导公式三：
， ， ，其中
诱导公式四：
，． ，，其中
知识点七：正弦函数性质
知识点八：余弦函数的性质
知识点九：正切函数的性质
1、定义域：
2、值域：
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．
3、周期性：周期函数，最小正周期是
4、奇偶性：奇函数，即．
5、单调性：在开区间，内，函数单调递增
知识点十：三角恒等变换公式
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）和角公式
（），
（），
（）．
（2）差角公式
（），
（），
（）．
2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
（），
（），
（）
3、降幂公式
， ， ．
4、半角公式
， ， ．其中，符号由所在象限决定．
5、辅助角公式
，其中，．叫做辅助角，的终边过点．
知识点十一：由得图象通过变换得到的图象
1、振幅变换：
，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．
2、周期变换：
函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．
3、相位变换：
函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．
4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径
【考点剖析】
考点一：任意角和弧度制
例1．扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
例2．下列与的终边相同的角的集合中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例3．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点二：三角函数的概念
例4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例5．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
例6．若，，则的值为（ ）
A．B．－C．D．
考点三：诱导公式
例7．（1）计算：；
（2）已知，求的值.
例8．已知为第三象限角，且．
(1)化简；
(2)若，求的值．
例9．已知为第二象限角，．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
考点四：三角函数的图像与性质
例10．（多选题）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．是奇函数
C．的图象关于直线对称D．在上单调递减
例11．设.
(1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值；
(2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值.
考点五：三角恒等变换
例12．已知.
(1)求的值
(2)求的值.
例13．设函数
(1)求的最小正周期及其图像的对称中心；
(2)若且，求的值.
例14．已知，
(1)求和的值
(2)若，，求的大小．
考点六：伸缩变换
例15．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增
例16．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
例17．函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
考点七：三角函数的应用
例18．如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P(起始点为A)到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【真题演练】
1．（2022·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
4．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
6．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
8．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
【过关检测】
一、单选题
1.函数的图象关于直线对称，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2.化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
3.函数的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）
A．[π，2π）B．C．D．
二、多选题
4.已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（ ）
A．函数是偶函数B．是函数的一个零点
C．函数在区间上单调递增D．函数的图象关于直线对称
三、填空题
6.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平个单位长度得到的图象，则________．
7.已知函数，当时函数能取得最小值，当时函数能取得最大值，且在区间上单调，则当取最大值时的值为__________.
四、解答题
8.已知函数的最小正周期．
(1)求函数单调递增区间和对称中心；
(2)求函数在上的值域．
9.已知半径为的圆O中，弦AB的长为4．
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．
10.已知函数的部分图象如图所示，其中、分别为函数图象相邻的一个最高点和最低点，其横坐标分别为1和4，且．
(1)求的值，并求函数的单调增区间；
(2)记，求函数，()的值域．
11.已知函数的图象关于直线对称.
(1)若的最小正周期为，求的解析式；
(2)若是的零点，且在上单调，求的取值集合.
三角函数 随堂检测
1.800°是以下哪个象限的角（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2.已知角的终边经过点，且，则m等于（ ）
A．－3B．3C．D．
3.已知函数（且）的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4.下列不等关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5.已知函数的图象的相邻两个零点的距离为，，则（ ）
A．B．
C．D．
6（多选）下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等
B．扇形的圆心角为，周长为8，则扇形面积为4
C．若，则为第一或第二象限角
D．
7.（多选）关于函数有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．的图象关于y轴对称B．的图象关于原点对称
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点(π，0)对称
8.化简__________.
9.若，则__________.
10.已知
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求；
(3)若角是的内角，且，求的值.
11.已知函数
(1)求的最小值及对应的的集合；
(2)求在上的单调递减区间；
(3)若方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
函数
正弦函数
定义域
值域
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点；最小值点
对称中心
对称轴
函数
余弦函数
定义域
值域
奇偶性
偶函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点
最小值点
对称中心
对称轴