（预习课）人教A版高一数学寒假讲义第07讲 平面向量的运算+巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1、掌握平面向量的运算和探索其运算性质．
2、体会平面向量运算的作用．
【考点目录】
考点一：向量的加法运算
考点二：向量的减法运算
考点三：与向量的模有关的问题
考点四：向量的数乘运算
考点五：共线向量与三点共线问题
考点六：平面向量数量积的运算
考点七：平面向量模的问题
考点八：向量垂直（或夹角）问题
【基础知识】
知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1、向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2、向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
知识点诠释：
两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．
知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1、向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
2、向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
知识点三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
（1）当不共线时，；
（2）当同向且共线时，同向，则；
（3） 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
知识点四：向量的减法
1、向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
知识点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2、向量减法的作图方法
（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点五：数乘向量
1、向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
（1）；
（2）①当时，的方向与的方向相同；
②当时．的方向与的方向相反；
③当时，．
2、向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3、向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
知识点六：向量共线的条件
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
知识点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．
知识点七： 平面向量的数量积
1、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0．
2、如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
如图（2），在平面内任取一点O，作．过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．
知识点诠释：
1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．
2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．
3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有．
知识点八：平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．
知识点九：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．
1、
2、
3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或
4、
5、
知识点十：向量数量积的运算律
1、交换律：
2、数乘结合律：
3、分配律：
知识点诠释：
1、已知实数、、，则．但是；
2、在实数中，有，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．
【考点剖析】
考点一：向量的加法运算
例1．已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．设，是任一非零向量，则在下列结论中：
①；②；③；④；⑤．
正确结论的序号是（ ）
A．①⑤B．②④⑤C．③⑤D．①③⑤
例3．如图，在平行四边形中，O是和的交点．
（1）____________；（2）________；
（3）_______；（4）_________．
考点二：向量的减法运算
例4．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形
例5．如图，已知向量，，求作向量．
考点三：与向量的模有关的问题
例6．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；
（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．
例7．已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A．B．C．3D．2
例8．已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．
考点四：向量的数乘运算
例9．计算下列各式：
（1）4（+）3（）；
（2）3（2+）（2+3）；
（3）．
例10．如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示
考点五：共线向量与三点共线问题
例11．设两非零向量和不共线，
（1）如果求证三点共线．
（2）试确定实数，使和共线．
例12．已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与共线？
例13．如图所示：，在中，向量，AD与BC交于点M，设，在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p， ＝q，求证：＋＝1．
考点六：平面向量数量积的运算
例14．已知，，
（1）求；
（2）求向量在向量方向上的投影
例15．已知平面向量，满足，，．
（1）求；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
例16．已知，且向量与向量的夹角．
（1）求；
（2）求向量在向量上的投影向量．
考点七：平面向量模的问题
例17．已知向量与满足，，与的夹角大小为60°，则______．
例18．已知向量，满足：，，．
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）若，求实数的值．
考点八：向量垂直（或夹角）问题
例19．已知，且向量在向量方向上的投影数量为．
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？
例20．已知，，，求：
（1）与的夹角；
（2）与的夹角的余弦值．
【真题演练】
1．（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2019·全国·高考真题（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
3．（2019·北京·高考真题（理））设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
5．（2021·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.
6．（2020·全国·高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
7．（2020·全国·高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
8．（2019·全国·高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
【过关检测】
一、单选题
1．在中，已知为上一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A．2 B．１ C．-2 D．－1
3．是所在平面内一点，，则点必在（ ）
A．内部B．在直线上
C．在直线上D．在直线上
4．如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
二、多选题
5．已知非零平面向量，，，则说法正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对，使B．若，则
C．D．若，则
6．如图，在边长为2的菱形中，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
7．已知向量与的夹角为，记且，则_____．
8．如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是 ．
四、解答题
9．（1）已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）.
（2）设，是不共线的两个非零向量.若与共线，求实数的值.
10．已知平面向量满足，且．
(1)求与的夹角；
(2)求向量在向量上的投影．
11．已知是夹角为的两个单位向量，.
(1)求的值.
(2)求与的夹角的大小.
平面向量的运算 随堂检测
1.化简等于（ ）
A．B．C．D．
2.已知在边长为2的等边中，向量，满足，，则（ ）
A．2B．C．D．3
3．，，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（ ）
A．B．C．1D．
4．如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）边长为2的等边中，为的中点.下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选）在△ABC中，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若，则是等腰三角形
D．若则是锐角三角形
7.设向量、满足，则_______．
8.若，则__．
9.已知向量满足，且.
(1)求；
(2)记向量与向量的夹角为，求.
10.如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点．
(1)若是线段的中点，，求的值；
(2)若，，求解.
11.如图，在△ABC中，，，，，．
(1)设，求x，y的值，并求；
(2)求的值．