福建省泉州市南安市九都中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份福建省泉州市南安市九都中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题，共23页。试卷主要包含了下列计算正确的是，在平面直角坐标系xOy中，点P，下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．下列计算正确的是（ ）
A．3+23=53B．43−33=1
C．53×23=103D．3÷5=155
2．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣4）B．（﹣1，4）C．（1，4）D．（1，﹣4）
3．用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3B．（x﹣1）2＝1C．（x+1）2＝3D．（x+1）2＝6
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A．512B．125C．513D．1213
5．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ）
A．随机事件B．不可能事件
C．必然事件D．确定性事件
6．关于一元二次方程x2+2x+1＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A．DE∥BCB．△ADE∽△ABC
C．BC＝2DED．S△ADE=12S△ABC
8．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=−1，则m的值是（ ）
A．3B．1C．3或﹣1D．﹣3或1
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则csA也扩大5倍
B．若45°＜α＜90°，则sinα＞1
C．cs30°+cs45°＝cs（30°+45°）
D．若α为锐角，tanα=512，则sinα=513
10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（ ）
A．5：3B．5：4C．4：3D．2：1
二．填空题（共6小题）
11．化简：(3−π)2= ．
12．若关于x的方程x2+6x+2m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．
13．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
14．如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
15．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且BCAB=5−12，若NP＝2cm，则BC的长为 cm（结果保留根号）．
16．如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：
①∠AEB＝∠AEH；②DH＝22EH；③HO=12AE；④BC﹣BF=2EH
其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：（3+x）2﹣49＝0；
18.计算：415÷5−6×2+13．
19．先化简，再代入求值：(1−2a+1)÷a2−2a+1a+1，其中a=2+1．
20．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．
21．某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到A班”的概率是 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
22．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4．
（1）尺规作图：作菱形ADEF，使D，E，F分别在AB，BC，AC上．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求（1）中所作菱形ADEF的边长．
23．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，AH与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．
（1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P，P到D的距离PD为2米，P到地面的距离PE为1.2米，求点D到地面的距离DH的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73）
24．书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好．
问题1：现有精装词典长、宽、厚尺寸如图（1）所示（单位：cm），若按图（2）的包书方式，将封面和封底各折进去3cm．试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮（包书纸）的长是 cm，宽是 cm；
问题2：在如图（4）的矩形包书纸皮示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度．
（1）若有一数学课本长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图（4）所示．若设正方形的边长（即折叠的宽度）为x cm，则包书纸长为 cm，宽为 cm（用含x的代数式表示）．
（2）请帮小海宝列好方程，求出第（1）题中小正方形的边长x cm．
25．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：OB2＝OE•OF；
（3）连接OD，若∠OBC＝∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列计算正确的是（ ）
A．3+23=53B．43−33=1
C．53×23=103D．3÷5=155
【解答】解：A.3+23=33，故此选项不合题意；
B.43−33=3，故此选项不合题意；
C.53×23
＝5×2×（3×3）
＝10×3
＝30，故此选项不合题意；
D.3÷5=35=3×55×5=155，故此选项符合题意．
故选：D．
2．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣4）B．（﹣1，4）C．（1，4）D．（1，﹣4）
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）．
故选：B．
3．用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3B．（x﹣1）2＝1C．（x+1）2＝3D．（x+1）2＝6
【解答】解：x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3．
故选：A．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A．512B．125C．513D．1213
【解答】解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB=52+122=13，
∴sinB=ACAB=1213．
故选：D．
5．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ）
A．随机事件B．不可能事件
C．必然事件D．确定性事件
【解答】解：小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件．
故选：A．
6．关于一元二次方程x2+2x+1＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【解答】解：由题意得，Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A．DE∥BCB．△ADE∽△ABC
C．BC＝2DED．S△ADE=12S△ABC
【解答】解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE．
故A、C选项不符合题意．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
故B选项不符合题意．
∵△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，
则S△ADE=14S△ABC．
故D选项符合题意．
故选：D．
8．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=−1，则m的值是（ ）
A．3B．1C．3或﹣1D．﹣3或1
【解答】解：根据条件知：
α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∴1α+1β=β+ααβ=−(2m+3)m2=−1，
即m2﹣2m﹣3＝0，
所以，得m2−2m−3=0(2m+3)2−4m2＞0，
解得m＝3．
故选：A．
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则csA也扩大5倍
B．若45°＜α＜90°，则sinα＞1
C．cs30°+cs45°＝cs（30°+45°）
D．若α为锐角，tanα=512，则sinα=513
【解答】解：A、在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以csA值不变，故本选项错误；
B、应为若45°＜α＜90°，则22＜sinα＜1，故本选项错误；
C、三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；
D、根据tanα=512设两直角边为5k、12k，根据勾股定理得斜边为13k，所以sinα=513，故本选项正确．
故选：D．
10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（ ）
A．5：3B．5：4C．4：3D．2：1
【解答】解：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴ABAC=ADAB，
∴3x5x=AD3x，
∴AD=95x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，
∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴BEDF=ABAD，
∴BFDF=ABAD=3x95x=53，
方法二：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴ABAC=ADAB，
∴3x5x=AD3x，
∴AD=95x，过FH⊥AB于H，
∵AE是∠BAC的平分线，FD⊥AC，
∴FH＝FD，
∵sin∠ABD=FHBF=ADAB，
∴BFDF=ABAD=53．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．化简：(3−π)2= π﹣3 ．
【解答】解：∵3﹣π＜0，
∴原式＝|3﹣π|
＝π﹣3．
故答案为：π﹣3．
12．若关于x的方程x2+6x+2m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 92 ．
【解答】解：根据题意得，Δ＝62﹣4×1×2m＝0，
解得：m=92，
故答案是：92．
13．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 38 ．
【解答】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，
其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形，
∴指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，即38，
故答案为：38．
14．如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 21 m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝BD=12AB，
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，
∴AC=CDsin37°≈30.6=5（m），AD=CDtan37°≈30.75=4（m），
∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），
∴共需钢材约＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），
故答案为：21．
15．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且BCAB=5−12，若NP＝2cm，则BC的长为 （5−1） cm（结果保留根号）．
【解答】解：∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠N＝∠P＝90°，
又∵AB∥NP，
∴∠BAN+∠N＝180°，
∴∠BAN＝90°，
∴四边形ABPN是矩形，
∴AB＝NP＝2cm．
又∵BCAB=5−12，
∴BC＝（5−1）cm．
故答案为：（5−1）．
16．如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：
①∠AEB＝∠AEH；②DH＝22EH；③HO=12AE；④BC﹣BF=2EH
其中正确命题的序号是 ①③ （填上所有正确命题的序号）．
【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝BC=2AB=2CD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵AH⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD=2AB，
∴AH＝AB＝CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=2CD，
∴AD＝DE，
∴∠AED＝67.5°，
∴∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠AEB，
故①正确；
设DH＝1，
则AH＝DH＝1，AD＝DE=2，
∴HE=2−1，
∴22HE=22(2−1)≠1，
故②错误；
∵∠AEH＝67.5°，
∴∠EAH＝22.5°，
∵DH＝CD，∠EDC＝45°，
∴∠DHC＝67.5°，
∴∠OHA＝22.5°，
∴∠OAH＝∠OHA，
∴OA＝OH，
∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°，
∴OH＝OE，
∴OH=12AE，
故③正确；
∵AH＝DH，CD＝CE，
在△AFH与△EHC中，
∠AHF=∠HCE=22.5°∠FAH=∠HEC=45°AH=CE，
∴△AFH≌△EHC，
∴AF＝EH，
在△ABE与△AHE中，
AB=AH∠BEA=∠HEAAE=AE，
∴△ABE≌△AHE，
∴BE＝EH，
∴BC﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，
故④错误，
故答案为：①③．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：（3+x）2﹣49＝0；
【解答】解：（1）（3+x）2﹣49＝0，
（3+x）2＝49，
3+x＝±49，
即3+x＝7或3+x＝﹣7，
所以x1＝4，x2＝﹣10；
18. 计算：415÷5−6×2+13．
原式＝415÷5−6×2+33
＝43−23+33
=733．
19．先化简，再代入求值：(1−2a+1)÷a2−2a+1a+1，其中a=2+1．
【解答】解：(1−2a+1)÷a2−2a+1a+1
=a+1−2a+1•a+1(a−1)2
=a−1a+1•a+1(a−1)2
=1a−1，
当a=2+1时，原式=12+1−1=12=22．
20．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴4（k+1）2﹣4k（k﹣1）＞0，
即12k+4＞0，
解得，k＞−13，
又k≠0，
∴k＞−13且k≠0；
（2）不存在．
x1+x2=2k+2k，x1•x2=k−1k，
由题意得，1x1+1x2=1，
即x1+x2x1x2=2k+2k−1=1，
解得，k＝﹣3，
∵k＞−13且k≠0时方程有两个不相等的实数根，
∴不存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1．
21．某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到A班”的概率是 13 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中学生甲分到A班的结果有1种，
∴“学生甲分到A班”的概率是13．
故答案为：13．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位新生分到同一个班的结果有3种，
∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为39=13．
22．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4．
（1）尺规作图：作菱形ADEF，使D，E，F分别在AB，BC，AC上．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求（1）中所作菱形ADEF的边长．
【解答】解：（1）如图，作∠BAC的平分线，交BC于点E，再作线段AE的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，F，连接EF，DE，
则四边形ADEF即为所求；
（2）设菱形的边长为x，则AF＝EF＝x，CF＝4﹣x，
∵四边形ADEF为菱形，
∴EF∥AD，
∴△CFE∽△CAB，
∴CFCA=EFAB，
∴4−x4=x6，
解得x＝2.4，
∴菱形的边长为2.4．
23．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，AH与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．
（1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P，P到D的距离PD为2米，P到地面的距离PE为1.2米，求点D到地面的距离DH的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【解答】解：（1）过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，
由题意得：DH＝QE，AD∥PQ，
∴∠DPQ＝∠ADP＝45°，
在Rt△DPQ中，PD=2米，
∴PQ＝PD•cs45°=2×22=1（米），
∵PE＝1.2米，
∴DH＝QE＝PE﹣PQ＝1.2﹣1＝0.2（米），
∴点D到地面的距离DH的长为0.2米；
（2）轿车能驶入小区，
理由：当∠ADC＝36°，PE＝1.6米时，
∵AD∥PQ，
∴∠ADP＝∠DPQ＝36°，
∵QE＝0.2米，
∴PQ＝PE﹣QE＝1.6﹣0.2＝1.4（米），
在Rt△DPQ中，DQ＝PQ•tan36°≈1.4×0.73＝1.022（米），
∴PF＝3﹣1.022＝1.978（米），
∵1.978＞1.8，
∴轿车能驶入小区．
24．书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好．
问题1：现有精装词典长、宽、厚尺寸如图（1）所示（单位：cm），若按图（2）的包书方式，将封面和封底各折进去3cm．试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮（包书纸）的长是 2b+c+6 cm，宽是 a cm；
问题2：在如图（4）的矩形包书纸皮示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度．
（1）若有一数学课本长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图（4）所示．若设正方形的边长（即折叠的宽度）为x cm，则包书纸长为 2x+38 cm，宽为 2x+26 cm（用含x的代数式表示）．
（2）请帮小海宝列好方程，求出第（1）题中小正方形的边长x cm．
【解答】解：问题1：（2b+c+6）；a，
问题2：（1）26+2x，18.5×2+1+2x＝38+2x；
（2）设折进去的宽度为xcm，列方程得：
（38+2x）（26+2x）＝1260，
988+128x+4x2＝1260，
x2+32x﹣68＝0，
x1＝2 x2＝﹣34（舍去），
折进去的宽度为2cm．
∴x＝2．
答：小正方形的边长为2cm．
25．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：OB2＝OE•OF；
（3）连接OD，若∠OBC＝∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠D＝∠BCF，
∵∠EAB＝∠BCF，
∴∠EAB＝∠D，
∴AB∥CD，
∵DE∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）∵DE∥BC，
∴OBOE=OCOA，
∵AB∥CD，
∴OCOA=OFOB，
∴OBOE=OFOB，
∴OB2＝OE•OF；
（3）连接BD，交AC于点H，连接OD．
∵DE∥BC，
∴∠OBC＝∠E，
∵∠OBC＝∠ODC，
∴∠ODC＝∠E，
∵∠DOF＝∠DOE，
∴△ODF∽△OED，
∴ODOE=OFOD，
∴OD2＝OE•OF，
∵OB2＝OF•OE，
∴OB＝OD，
∵平行四边形ABCD中BH＝DH，
∴OH⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/17 13:24:54；用户：杨惠秋（小初高数学）；邮箱：15659099114；学号：41121597题号
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8
9
10
答案
D
B
A
D
A
B
D
A
D
A
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）