福建省厦门第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

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一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
1．C 2．A 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．A
8．解析：因为，所以△△，设，则，
设，则，，因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，由定义知，即，，①
又由得，所以，即是等边三角形，
所以，在中，由余弦定理知，
即，化简得，把①代入上式得，所以离心率为．故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9．ACD 10．BCD 11．AC
11．解析：设，记在中，，对顶点先向轴负方向运动了个单位，即先向轴正方向运动了个单位到；接下来顶点向轴负方向运动了个单位，沿轴正方向观察，相当于平面向上平移了个单位，向轴负方向运动后横坐标由变为
，，即：，
①当时，原式可退化为：，表示两条相交直线；
②时，原方程为：表示一对双曲线.故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12． 13． 14．
14．解析：第n+1年年底剩余资金为，
故，又，故
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解法一：（1）由成等差数列知，，
即，2分
所以，即，4分
因为是等比数列，所以公比，6分
又因为，所以，所以的通项公式为；7分
（2）由（1）知，，所以，9分
所以
，
所以的前项和．13分
解法二：（1）（1）由成等差数列知，，
即，2分
令，则，所以，即，4分
因为是等比数列，所以公比，6分
又因为，所以， 经检验，此时，，符合题意，
所以的通项公式为；7分
（2）同解法一．
解法三：（1）（1）由成等差数列知，，
即，2分
当时，，相减得，，3分
设的公比为，则，所以或，4分
若，则，此时不合题意；5分
若，则又因为，所以， 经检验，此时，，符合题意，
所以的通项公式为；7分
（2）同解法一．
16．解：（1）由知，又的离心率，所以，得，2分
由△的面积为，知，所以，代入得，
因为在轴上方，所以，所以点的坐标为或．4分
①当的坐标为时，的斜率，的方程为；
②当的坐标为时，的斜率，的方程为；
综上，直线的方程为或．6分
（2）若的方程为，则由得，，
与只有一个公共点，不符合题意；7分
所以的方程为，设，的中点为，
由得，所以，，9分
所以，故以为直径的圆的半径为，
又，所以，即，11分
故到直线的距离为，等于圆的半径，故直线与圆相切，设切点为12分
设过的圆的两条切线分别与圆切于点，则△的周长为
，14分
又，，
故△的周长为． 15分
解法二：同解法一得，11分
显然，过斜率不存在的直线不与圆相切，
设过且与圆相切的直线的方程为，即，12分
所以到过的切线的距离，解得，或，14分
故两条切线的方程为和，令代入得，
故不妨设，则△的周长为
．15分
17．解法一：（1）如图，取中点，1分
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，且，又因为，
所以在△中，，
所以，即，即，2分
又因为，，平面，所以平面，3分
又因为平面，所以，即；4分
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，所以；6分
（2）如图，设中点为，因为，所以，
由（1）知平面，过作，则两两垂直，以为原点，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，7分
所以，
因为平面，，所以平面，
所以，且为直线与平面所成角，所以，
所以，又因为，所以，所以，9分
因为，，所以，且，
所以为中点，所以，所以，10分
又，设平面的法向量为，
由得取，则，
所以平面的一个法向量为，12分
易知，平面的一个法向量为，13分
设平面和平面的夹角为，则，
即面和平面夹角的余弦值为．15分
解法二：（1）如图，延长与交于点，1分
因为，且，
所以分别是的中点，所以，
又因为，所以在△中，，
所以，即，即，2分
又因为，，平面，
所以平面，3分
又因为平面，所以，即；4分
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，所以；6分
（2）同解法一．
解法三：（1）如图，延长于，使得，1分
则，因为，所以四边形是平行四边形，
所以，且，所以在△中，，
所以，所以，2分
又因为，，平面，所以平面，3分
又因为平面，所以，即；4分
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，所以；6分
（2）同解法一．
18．解：（1）如图1，设，因为的斜率为，的斜率为，故，四边形为矩形，
又到直线的距离，故，同理，
所以四边形的面积为，所以，2分
又因为到轴的距离小于它到轴的距离，所以，故，所以，
所以的方程为．3分

图1 图2 图3 图4
（2）（i）设，令，代入，得,
①当在第一象限时，如图2所示，由于△是以为底的等腰直角三角形，易知在轴上方，，作轴，垂足为，则△≌△，故，故，
又则，即，4分
从而，故，直线的斜率；5分
②当在第二象限时，如图3所示，由于△是以为底的等腰直角三角形，易知在轴下方，，作轴，垂足为，则△≌△，故，故，
又则，即，．6分
从而，故，直线的斜率；．7分
③当在第三象限时，由对称性知，直线的斜率；
④当在第四象限时，由对称性知，直线的斜率；
综上可知，直线的斜率为或．9分
（ii）因为在第一象限，由（i）知，，如图4，记，
设，，则由于时，
所以，对时，故，10分
又由得，
故，
从而，（*）12分
因为，故，所以直线的方程为，①
同理直线的方程为，②，13分
由①，②得，，
，
故，即点在直线上，15分
另一方面，设线段的中点为，则由（*）知，，即，
从而点也在直线上，16分
故，均为直线与直线的交点，从而，重合，故是线段的中点，
因为，所以，故，
即是定值．17分
解法二：（1）同解法一；
（2）（i）令，代入，得,
易知直线的斜率存在且不为零，故可设直线的方程为，
则直线的方程为，则，4分
由得，故，5分
所以，
由得，即，6分
故，所以，7分
当时，，，所以，直线的斜率；
当时，，，所以，直线的斜率；
当时，，，所以，直线的斜率；
当时，，，所以，直线的斜率；
综上可知，直线的斜率为或．9分
（ii）因为在第一象限，由（i）知，，如图4，记，
设，，则由于时，
所以，对时，设直线的方程为，10分
又由得，故，
从而，（*）12分
因为，故，所以直线的方程为，①
同理直线的方程为，②，13分
由①，②得，，，
，
故，即点在直线上，15分
另一方面，设线段的中点为，则由（*）知，，即，
从而点也在直线上，16分
故，均为直线与直线的交点，从而，重合，故是线段的中点，
因为，所以，故，
即是定值．17分
解法三：（1）同解法一；
（2）（i）令，代入，得,设，则，
由得，故，4分
由得，5分
又，所以，6分
所以，
即，易知，所以，即，所以，7分
当时，，所以，，直线的斜率；
当时，，所以，，直线的斜率；
当时，，所以，，直线的斜率；
当时，，所以，，直线的斜率；
综上可知，直线的斜率为或．9分
（ii）同解法一．
19．解：（1）因为是可均分数列，所以对均成立，
即，1分
令，则，令，则，2分
两式相减得，，3分
又因为是各项均为正整数的递增数列，所以对任意，
所以等号当且仅当时成立，
又因为，所以．4分
（2）当时，若是可均分数列，对，，所以，
所以为常数，故是等差数列；5分
另一方面，若是等差数列，则对，，从而，
故是可均分数列；
所以，当时，“是等差数列”是“是可均分数列”的充要条件．6分
当时，取，则是可均分数列，
但不是等差数列，“是等差数列”不是“是可均分数列”的充要条件．
综上，．8分
（3）由于是可均分数列，
所以时，，即，
故时，，① ，②10分
即，， ③
由于是可均分数列，由（1）知时，，④11分
③代入④可得，化简得，13分
即时，，所以，设，
又由①令，得，所以，
从而，即，14分
由①令，得，即，
从而，即，
故对，，即是公差为的等差数列，，15分
故
，
故对均成立，所以是可均分数列．17分