广东省广州市白云区广州空港实验中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

这是一份广东省广州市白云区广州空港实验中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁.，直线关于直线对称的直线方程是，与向量共线的单位向量是，已知圆，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，满分150分，考试用120分钟.
注意事项
1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的．
1．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率（ ）
A．B．C．D．
2．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，则三人至少有一个及格的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．点到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知平行六面体中，点是侧面的中心，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
7．在三棱柱中，⊥底面，，，则与平面所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分．在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求．全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分．
9．与向量共线的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，有
B．当时，的周长为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分．
12．已知空间向量和的夹角为，，，则 .
13．双曲线的两个焦点分别是，焦距为，是双曲线上的一点，且，则 .
14．椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为 .
四、解答题: 本题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
15. （本题满分 13分）
若方程所表示的曲线为
（1）若时，求曲线的焦点坐标和顶点坐标．
（2）若曲线为双曲线，求的取值范围和焦点坐标．
16. （本题满分15分）
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为、，两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付租车费用都是元的概率．
（2）设为甲、乙两人所付的租车费用之和，求值．
17. （本题满分15分）
求下列各圆的方程：
（1）圆心为且过点；
（2）圆心在直线上，且经过原点和点．
18. （本题满分17分）
已知椭圆的离心率是，椭圆过点．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知是椭圆的左、右焦点，过点的直线（不过坐标原点）与椭圆交于两点，求的取值范围．
19. （本题满分17分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的等边三角形，．
（1）证明，平面⊥平面．
（2）若点为棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
广州空港实验中学2024-2025学年高二第一学期12月月考
数学参考答案
一、单选题

8．【详解】
二、多选题
三、填空题
12．
13．9
14．
四、解答题
15．【详解】（1）当时，方程化为，这是焦点在轴上的椭圆
，可得，故，所以焦点为和
又因为，故曲线的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为
（2）要使方程表示双曲线，只需，解得，故的取值范围为．
当时，，，所以双曲线的焦点在轴上．将双曲线化成标准方程有．
从而，所以．
于是，该双曲线的焦点坐标分别为，．
16．【详解】（1）因为甲、乙超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为
记“甲、乙两人所付租车费用都是元的概率”为事件，则，
所以甲、乙两人所付租车费用都是元的概率为
（2）若，则甲不超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙不超过2小时甲超过3小时不超过4小时，或甲乙都超过2小时不超过3小时，则．
17．【详解】（1）圆心为，且过点，则圆的半径，又圆心为，所求圆的方程为；
（2）由圆心在直线上可设圆心为，又所求圆过原点以及点，所以圆心到原点及点的距离相等，即
，
即，解得，
半径，
故所求圆的方程为．
18．【详解】（1）由条件知，解得，．
因此椭圆的方程为．
（2）设，，则，．
设直线的方程为，代入椭圆的方程消去，得．
由韦达定理得，．
，，
所以．
19．【详解】（1），又，
所以，， 所以，，
因为底面为菱形，故，
故，又平面，平面，且，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）由（1）知平面，所以，故底面为正方形，
设的中点为，连接，在平面内作，
因为为等边三角形，所以，故平面，
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，
故，， ．
设为平面的法向量，
则有，
即，可取．
设为平面的法向量，
则有，
即，可取．
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
C
C
C
A
A
A
9
10
11
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CD
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