广东省广州市第四中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

这是一份广东省广州市第四中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁.，已知曲线，则下列结论中错误的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，满分150分，考试用120分钟.
注意事项
1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的．
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，向量，，，且，，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
4．如图，已知三棱锥，点分别为线段的中点，且，，，用表示，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．若直线与椭圆交于点且为线段的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．在棱长为的正方体中，分别是的中点，则点到截面的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．是双曲线的左、右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点为，且点在以为圆心、以半虚轴长为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
8．已知曲线，则下列结论中错误的是（ ）
A．曲线与直线无公共点
B．曲线与圆有三个公共点
C．曲线关于直线对称
D．曲线上的点到直线的最大距离是
二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分．在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求．全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分．
9．已知事件满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若与互斥，则
C．若，则与相互独立
D．若与相互独立，则
10．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则线段的中点到轴的距离为
B．若直线的倾斜角为且过点，则
C．以线段为直径的圆与轴相切
D．若直线的倾斜角为且过点，则的面积
11．已知正方体的棱长为，点满足，其中，则（ ）
A．存在唯一一点，使得
B．存在唯一一点，使得
C．当时，点到平面的距离的最小值为
D．当时，三棱锥的体积的最小值为
三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分．
12．经过点且垂直直线的直线的方程是 .
13．已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 .（答案不唯一，写一个即可）
14．已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 .
四、解答题: 本题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
15．（本题满分 13分）
在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线过点且与曲线交于两点，求的值．
16．（本题满分15分）
某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取人的成绩（满分为分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第百分位数；
（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人，查看他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行调查分析，求这人中至少有人成绩在内的概率．
17．（本题满分15分）
在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
18．（本题满分17分）
如图，在四面体中，，分别是线段的中点，点在线段上，且．
（1）求证：；
（2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，若为内的动点，，且与平面所成的角最大，试确定点的位置．
19．（本题满分17分）
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为；
步骤3：把纸片展开，并留下下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点．
现取半径为的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若点为曲线上的一点，过点作曲线的切线交圆于不同的两点．
（i）试探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ii）求面积的最大值．
广东省广州第四中学2024-2025学年高二第一学期12月月考
数学参考答案
一、单选题

8．【详解】
二、多选题
15．【详解】
三、填空题
12．
13．；；（三个任意一个都算正确）
14．
四、解答题
15．（本题满分 13分）
【详解】（1）由点到点的距离比点到直线的距离小，得点到点的距离等于点到直线的距离，因此点的轨迹是以点为焦点、直线为准线的抛物线，所以点的轨迹的方程为．
（2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，，，由
消去得，恒成立，，所以．
16．（本题满分15分）
【详解】（1）由频率分布直方图可得，，则，前组的频率和为，
第组频率为，
所以第百分位数位于第组内，记第百分位数为，则
，解得，即第百分位数为．
（2）由频率分布直方图可知，成绩在、、内的频率分别为、、，采用分层抽样的方法从样本中抽取的人，成绩在内的有人，记为，成绩在内的有人，记为，成绩在内的有人，记为，
则从成绩在内的人随机抽取人，共有：
，共有种，
人中至少有人成绩在内，共有：
，有种，
记事件＝“人中至少有人成绩在内”，则．
17．（本题满分15分）
【详解】（1）过点且与直线垂直的直线方程为，联立
，解得，所以，
所以圆的半径为，
所以圆的方程为．

（2）由（1）可知圆的方程为，因为直线被圆截得的弦长为，所以到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意；
若直线的斜率存在，设方程为，则
，即，解得或，
所以直线的方程为或．
18．（本题满分17分）
【详解】（1）取中点，连接，
∵是的中点，∴，且，
在线段上取点，使，连接、，
，∴，且，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又，，
∴．
（2）∵，则，∴，
取中点，则，又，∴，
以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，故
，
则，，，
满足，所以，
故．
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则 ，即
取，则，∴，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（3）由（2）知为中点，为中点，连接，∴，
∴点为内动点且，
又，平面平面=，
∴，故点在上，
设，
又，，，
则，
．
易知平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，则最大时，最大，
∴
，
所以当时，最大，此时最大，
即当点位于中位线靠近的八等分点的第个点处时，与平面所成角最大．
19．（本题满分17分）
【详解】（1）由题意可知：，
则，
可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
所以曲线的方程为．
（2）①联立方程 ，消去可得，
因为直线与曲线相切，则，
整理可得，则原方程为，解得，
将代入直线，可得，
可知，且，
则，为定值；
②由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为到直线的距离，
可得，
因为，则，
可得，
则面积，
可知当，即时，取到最大值．1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
A
D
A
B
B
D
9
10
11
BC
AC
ACD