3_湖南省湘潭市湘潭县第四中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷及参考答案

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第一册第三章3.2。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（ ）
A.B.C.D.
2.已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
3.已知，是椭圆：的左、右焦点，是椭圆上一点，若，则（ ）
A.1B.2C.3D.4
4.如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A.B.
C.D.
5.在中，，，，则（ ）
A.2B.3C.D.
6.若圆：与圆：相交，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
7.定义在上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A.B.
C.D.
8.已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A.B.C.108D.117
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知一组数据，，，，9的平均数为6，则（ ）
A.B.
C.这组数据的第70百分位数为7D.这组数据的第70百分位数为6.5
10.在同一直角坐标系中，直线：与曲线：的位置可能是（ ）

A. B. C. D.
11.已知直线：与圆：相交于，两点，则的面积可能为（ ）
A.8B.C.4D.
12.苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层是正四棱柱，下层底面是边长为4的正方形，，，，在底面的投影分别为，，，的中点，若，则下列结论正确的有（ ）
A.该几何体的表面积为
B.将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为
C.直线与平面所成角的正弦值为
D.点到平面的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知点是点在坐标平面内的射影，则________.
14.若双曲线：的实轴长与虚轴长相等，则________.
15.过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为________.
16.已知函数，若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知直线：与：.
（1）当时，求直线与的交点坐标；
（2）若，求的值.
18.（12分）
如图，在正四棱锥中，，分别为，的中点，.
（1）证明：，，，四点共面.
（2）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值.
19.（12分）
已知是圆：上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）若，是上两点，且线段的中点坐标为，求的值.
20.（12分）
甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲贏的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.
（1）求第3回合由乙发球的概率；
（2）求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率.
21.（12分）
如图，在斜三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，分别为，的中点，且.
（1）证明：.
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.
22.（12分）
如图，已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是上一点.
（1）求的方程.
（2）过直线：上任意一点作直线，与的左、右两支相交于，两点.直线关于直线对称的直线为（与不重合），与的左、右两支相交于，两点.证明：.