5_湖北省部分学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题（原卷及解析版）

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注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的标准方程形式进行求解即可.
【详解】由，
因此该抛物线的焦点在横轴的正半轴上，且，
所以该抛物线的焦点坐标为
故选：C
2. 在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算可得解.
【详解】
如图所示，
在三棱柱中，，，
依题意，
故选：A.
3. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意求出，，结合投影向量的计算公式即可求解.
【详解】向量，，
，，
向量在向量方向上的投影向量的模为.
故选：D.
4. 已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量的数量积求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得平行四边形的面积.
【详解】因为空间三点、、，则，，
所以，，，，
所以，，
因为，则，
所以，以、为邻边的平行四边形的面积为.
故选：D.
5. 若点是圆:上一点,则的最小值为（）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.
【详解】圆:可化为
表示点到点的距离的平方,
因为，
所以的最小值为.
故选：B.
6. 设a为正实数，若圆与圆相外切，则a的值为（）
A. 4B. 6C. 24D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分析两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案．
【详解】结合题意：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
所以圆心距为，而，
因为两圆相外切，所以，即.
故选：B.
7. 已知直线，则下列结论正确的是（）
A. 直线的倾斜角是B. 直线在轴上的截距为1
C. 若直线，则D. 过与直线平行的直线方程是
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可判断A，根据截距的定义即可判断B，根据垂直和平行满足的关系即可判断CD.
【详解】直线变为，
对于A，直线的斜率为，所以倾斜角为，A错误，
对于B，令，则，所以x轴上的截距为，B错误，
对于C，的斜截式方程为，斜率为，由于，所以不垂直，故C错误，
对于D，直线的斜率为，所以过与直线平行的直线方程是，即为，故D正确，
故选：D
8. 已知为双曲线的右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，交：于点.若，，则双曲线的离心率为（）
A. 4B. 3C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线第二定义和三角形相似，求出即可求得离心率的值.
【详解】由题意得，即双曲线的右准线.
如图，过，作右准线的垂线，垂足为，，轴与右准线的交点为.
因为，所以是的中点，,
由双曲线第二定义可得，可得，
又由相似三角形可得，
所以，所以，
因为，所以，，，
又由相似三角形可得，
因为，，，
所以综上可化为，
解得，所以.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知椭圆上有不同两点，，，则（）
A. 若过原点，则
B. ，的最小值为
C. 若，则的最大值为9
D. ，，异于点，若线段的垂直平分线与轴相交于点，则直线的斜率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用椭圆的对称性判断A，利用椭圆的定义判断B，利用特殊位置法排除C，利用点在椭圆上与两点距离公式推得，再利用点差法求得的垂直平分线方程，进而求得点与直线的斜率，从而判断D.
【详解】因为椭圆，所以，则是其右焦点，
对于A，设椭圆的左焦点为，
因为过原点，所以由椭圆的对称性易知四边形是平行四边形，
则，故A正确；
对于B，因为，则，
又，
所以，
当在线段与椭圆的交点位置时，等号成立，故B正确；
对于C，当轴，点为椭圆的右顶点时，满足，此时，
但，故C错误；
对于D，因为在椭圆上，所以，，
所以，
同理：，而由，可知，
所以由，得，则，
故可设的中点坐标为，
又在椭圆上，所以，，
两式相减，得，
所以.
所以直线的斜率为，则直线的方程为，
令，得，即，
所以直线的斜率，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题选项D解决的关键是求得，进而得到，再利用点差法得到的垂直平分线方程，从而得解.
10. 直线过抛物线C：（）的焦点F，且与C交于A，B两点，为C的准线，则（）
A.
B.
C. （设）
D. 准线与以为直径圆相切
【答案】ACD
【解析】
【分析】由焦点在直线上，求出可判断A；把直线与抛物线的方程联立，结合韦达定理及抛物线的定义可判断B；由抛物线的定义求出可判断C；求出线段中点到准线的距离与比较可判断D．
【详解】抛物线C：（）的焦点为，
焦点在直线上，
则，解得，故A正确；
抛物线C方程为，焦点，准线为，
由，消去并整理得，
，设，
则，，
则，故B错误；
由可知在第一象限，知，得，
由方程，解得，
因此，则，故C正确；
线段的中点的横坐标，
则线段中点到准线的距离为，
因此准线与以为直径的圆相切，故D正确．
故选：ACD．
11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（）
A. 平面平面
B. 的最小值为
C. 若直线与所成角的余弦值为，则
D. 若是的中点，则到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A；结合正方体结构特征判断当点与重合时，取最小值，即可判断B；建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间角的向量求法可判断C；将线面距离转化为点面距离，根据空间距离的向量求法求得点到平面的距离，即可判断D.
【详解】在正方体中，因为平面，平面，
所以平面平面，故A正确；
连接，由平面，平面，得，
故在中，当点与重合时，取最小值，故B正确；
如图，以、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，，
假设存在点，使直线与所成角的余弦值为，
则，
解得（舍去），或，此时点是中点，，故C错误；
由且平面，平面，知平面，
则到平面的距离，即为到平面的距离；
是的中点，故，，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，故，
所以点到平面的距离为，
即到平面的距离为，D正确．
故选：ABD
12. 某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（）
A. 观测点之间的距离是
B. 圆的方程为
C. 小汽车行驶路线所在直线的方程为
D. 小汽车会进入安全预警区
【答案】BD
【解析】
【分析】根据两点距离公式计算判断A，设圆C的方程，将三点的坐标代入求解判断B，代入点斜式直线方程计算判断C，利用直线与圆的位置关系判断D.
【详解】由题意，得，所以，
即观测点之间的距离是，故A错误；
设圆的方程为，因为圆经过三点，
所以，解得，
所以圆的方程为，故B正确；
小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是，
所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C错误；
圆化成标准方程为，圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题.
13. 已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为________________.
【答案】
【解析】
【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；
方法二：求出线段AB的垂直平分线方程，联立求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程.
【详解】方法一：设所求圆的标准方程为，
由题意得:，
解得：
故所求圆的方程为，
即.
方法二：线段的中点坐标为，即，
直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线方程为，即，
由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心，
联立，
得交点坐标，
又点到点的距离，即半径为，
所以圆的方程为，
即.
故答案为：
14. 对任意的实数，原点到直线的距离的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线系方程先求解出直线所过的定点，然后考虑直线经过点、与定点的连线垂直直线，由此确定出的取值范围.
【详解】直线的方程可化为，
令，解得，所以直线过定点，
当直线经过时，此时，即，故，
当直线与垂直时，此时取最大值，下面证明：
当与直线垂直时，记直线为，
当不与直线垂直且直线不经过时，记直线为，
过作交于点，如下图所示，
由图可知：为直角三角形且为斜边，所以，
所以取最大值时，与直线垂直，故，
但此时的方程为，即为，
此时无论取何值都无法满足要求，故取不到，
所以，
故答案为：.
15. 如图，正方体的棱长为1，、分别为与的中点，则点到平面的距离为______.
【答案】##
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式进行计算.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，故平面的法向量为，
又，则点到平面的距离为.
故答案为：
16. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在内，点在上，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意结合椭圆定义、焦半径范围即可得解，这个最终的范围应该是有赖于的，而也可以得到的范围.
【详解】由题意得，，
又因为点在内，所以，解得，
而，
不妨设，则，
所以.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：容易错的地方是由，误以为的范围为，事实上最终的范围应该是依赖于的，对于具体的，不一定能取到内的每一个数.
四、解答题：本题共6小题，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆C和直线：，：，若圆C的圆心为且经过直线和的交点.
（1）求圆C标准方程；
（2）直线l：与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程；
（2）由垂径定理得到圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求出答案.
【小问1详解】
联立，解得，
故半径为，
故圆C的标准方程为；
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为，
则由垂径定理得，
解得，即，解得，
故直线l的方程为，即.
18. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程，边上的高为，垂足.
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据点写出直线的方程，与中线所在直线方程联立即可求得点的坐标；
（2）根据为边上的高写出的直线方程，设出点的坐标，则点的坐标满足的直线方程，由点的坐标表示出的中点，又点的坐标满足直线方程，从而解出点的坐标，进而写出直线的方程.
【小问1详解】
直线的斜率为，从而的直线方程为：，即，
联立方程与中线所在直线方程，可得，
故点的坐标为.
【小问2详解】
因为为边上的高，所以的直线方程为：.
设点的坐标为，由点在直线上可得；
中点的坐标为，点的坐标满足直线方程，即，
故可得，即点坐标为.
则直线的斜率为，故直线方程为：.
19. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.
【小问1详解】
连接，
因为底面是边长为2的正方形，所以，
又因为，，
所以，所以，
点为线段中点，所以，
在中，，，
所以，
则，
又，平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示，
则，
则，
，
设面的法向量为，面的法向量为，
则，取，则
取，则.
设二面角大小为，
则，
所以二面角的正弦值为.
【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题设得，，，，
，，
，，．
设是平面的法向量，
则，即，可取．
设是平面的法向量，
则，即，可取．
所以．
因此二面角的正弦值为．
20. 如图：在四棱锥中，，，平面，，为的中点，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成夹角．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可建立空间直角坐标系，求出、即可得证；
（2）求出平面与平面的法向量后即可得平面与平面所成夹角.
【小问1详解】
由，，故，又平面，
、平面，故、，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中轴，
由题意可得、、、、，
则，，
，，
，由为的中点，故，
则，
，则，
故，故；
【小问2详解】
由（1）知、、，
且、，
故，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有、，
即、，
不妨分别取，，则可得、，
则，故，
即平面与平面所成夹角为.
21. 椭圆：长轴长为，左右焦点分别为和，为椭圆上一点，且，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点，求证：直线，的斜率之和为定值．
【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据已知条件和椭圆的定义得出答案；
（2）设直线方程，再和椭圆方程联立，结合韦达定理化简得结论.
【小问1详解】
椭圆长轴长为，所以，，
因为为椭圆上一点，所以，又，所以，
因为，所以，即，
解得，由，知，所以椭圆的方程.
【小问2详解】
设，，，
当直线的斜率不存在时，与椭圆有且只有一个交点，不合题意，
当直线的斜率存在时，设的方程为，
所以联立方程，
整理得，
所以，，
由韦达定理得，，
，
直线，的斜率之和为定值.
22. 已知如图，点为椭圆的短轴的两个端点，且的坐标为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线不经过椭圆的中心，且分别交椭圆与直线于不同的三点（点在线段上），直线分别交直线于点.求证：四边形为平行四边形.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件列方程组求解得椭圆方程；
（2）设直线方程，证明后知平分对角线得四边形为平行四边形.
【小问1详解】
由题知解得.故椭圆的方程为.
【小问2详解】
方法一：显然直线不能水平，故设直线方程为，
设，
由得，
令得，.
所以，
令，得.故直线方程为，
直线方程为.
由得，
将中换成得.
，
线段中点，又为中点，
四边形为平行四边形.
方法二：设.
直线方程为，
当直线的斜率不存在时，设方程为，
此时，直线方程的为，
由得，同理，
当直线斜率存在时，设方程为，
由得.
令得，.
由韦达定理得.
将代入得
直线的方程为
由得
同理可得.
，
，综上所述，为线段中点，
又为中点，
四边形为平行四边形.
【点睛】关键点点睛：证明四边形为平行四边形的方法用对角线相互平分得到.