天壹大联考2023-2024年高一上学期期末考试数学试卷及参考答案

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1．A
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解.
【详解】命题的否定为：
故选：A．
2．D
【分析】求出集合的子集即可判断个数.
【详解】因为，所以集合有共4个子集.
故选：D
3．C
【分析】根据基本初等函数的单调性可判断.
【详解】由为增函数，可得，选项A正确；
由为增函数，可得，选项B正确；
由为减函数，可得，选项C错误；
由为增函数，可得，选项D正确.
故选：C
4．A
【分析】根据函数单调性与充分必要条件定义判断即可.
【详解】函数在区间I上单调递增的充要条件是，当时，都有，或当时，都有，
即对与同号，也即．
故选：A．
5．B
【分析】根据二分法的计算方法即可判断.
【详解】由二分法可知，第一次计算，又，
由零点存在性定理知零点在区间上，所以第二次应该计算，
又，所以零点在区间.
故选：B.
6．B
【分析】根据题意以及表中数据画出散点图，可知，函数在定义域上单调递增，且函数的图象经过坐标原点，即可判断出最符合实际的函数模型.
【详解】依题意以及表中数据画出散点图，可知该函数必须满足三个条件：
第一，定义域为；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点.
由散点图可知，函数图象不符合函数图象特征，排除A，
函数单调递减，排除C，
当时，没有意义，排除D，
故最符合实际的函数模型为.
故选:B．
7．C
【分析】根据正切的和差角公式即可求解.
【详解】
故选:C．
8．B
【分析】根据赋值法可得，进而根据奇函数的性质得为奇函数，即可根据奇函数的性质求解.
【详解】令，则，得；
令，则，
所以；令，
则，
所以为奇函数，故，即，
所以．
故选：B．
9．BD
【分析】根据交、并集的定义和运算，结合选项即可求解.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选：BD．
10．ABD
【分析】根据分段函数的图象和性质，依次判断选项即可.
【详解】A：由题意知，函数的定义域为，故A正确；
B：当时，，当时，，
所以函数的值域为R，故B正确；
C：函数在和上单调递增，不是增函数，故C错误；
D：如图，函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数，故D正确.
故选：ABD
11．BCD
【分析】由不等式的性质可判断选项A；利用基本不等式判断选项B、C；利用指数函数单调性判断选项D.
【详解】因为m，n为正数，且，
所以，得，所以A不正确；
由，得，即，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
因为，
当且仅当，即时取等号，所以C正确；
因为，所以，
又为上的减函数，
所以．所以D正确．
故选：BCD．
12．AC
【分析】根据平移变换法则求解新解析式判断A，根据复合函数单调法则结合正弦函数的单调性求解判断B，数形结合利用正弦函数对称性求解最值判断C，根据三角恒等变换求出的函数解析式，然后利用正弦函数性质求解最值判断D.
【详解】因为，所以，
所以A正确；
要使函数有意义，则即，
所以，解得，
又令，解得，
所以的增区间为，
所以的单调递增区间为，所以B错误；
，，作出的图象，
可知时，有最小值为，
时，有最大值为，
所以的最大值与最小值的和为，所以C正确；
因为，
所以的最大值为﹐所以D错误.
故选：AC
13．/
【分析】根据正弦函数的定义易求.
【详解】由角的终边经过点及三角函数的定义，可知.
故答案为：
14．5
【分析】根据二次函数的性质即可求解最值.
【详解】因为，所以当（千元）时，有最大值．
故答案为:5
15．1
【分析】由题意得，结合对数运算性质和换底公式计算.
【详解】因为，
所以．
故答案为：1．
16．
【分析】由题意易知，分类讨论，时，根据复合函数的单调性建立方程，解之即可求解.
【详解】令，因为时，，所以；
若，则在上为减函数，所以，此时a无解；
若．则在上为增函数，所以，此时
故．
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）结合指数、对数运算求得正确答案.
（2）利用诱导公式求得正确答案.
【详解】（1）
（2）
．
18．(1)3
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义列式求解即可；
（2）把已知转化为对任意的恒成立，利用判别式列不等式求解即可.
【详解】（1）因为为偶函数，所以，
即，
所以对定义域内的任意实数恒成立，所以；
（2）由已知，对任意的恒成立，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围为.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）根据正切函数的性质即可求得函数的定义域，根据求出，再根据三角恒等变换化一，根据正弦函数的周期性求周期即可；
（2）根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可.
【详解】（1）的定义域为；
因为，
由，得，所以，
所以，
即，
所以的最小正周期为；
（2）因为，所以，
所以当，即时，有最小值，
当，即时，有最大值，
所以的值域为．
20．(1)，
(2)第30天的销售收入w最大，最大销售收入是5236元
【分析】（1）根据已知可得出函数为分段函数.根据每段函数的图象特点结合已知，设出解析式，代入相关点，得出参数值，即可得出答案；
（2）结合（1）的答案，分，，三种情况，分别求出w的表达式.然后根据函数的单调性，求出各段的最大值，即可得出答案.
【详解】（1）当时，设，
由已知有，
解得，此时；
当时，设，
由已知有，
解得，此时.
所以.
当时，设，
由已知有，
解得，此时；
当时，，
由已知有，
解得，此时.
所以.
（2）由（1）可知，当时，
每天的销售收人为，
根据二次函数的性质，可知函数在内单调递增，
所以当时，；
当时，
每天的销售收入为，
又由，可得，，
结合根据对勾函数的性质，函数在内单调递增，
所以当时，；
当时，
每天的销售收入为，
函数以及均在内单调递减，
根据复合函数的单调性可知，函数在内单调递减，
所以有.
综上所述，从开始销售起，第30天的销售收入w最大，最大销售收入是5236元．
21．(1)
(2)或
【分析】（1）根据已知可得出为一元二次函数.根据不等式的解集，设出，进而得出的表达式，结合已知，即可得出答案；
（2）根据（1）的结果，可得出取最小值.又由，.结合二次函数的图象及其单调性，即可得出参数的取值范围.
【详解】（1）因为为二次函数，
所以也为一元二次函数.
根据已知不等式的解集，可知是方程的解，
故可设，
所以.
由，可得，解得，
所以.
（2）因为，
所以当时，取最小值.
又由，得或，
结合二次函数的图象以及单调性，
可知且，且中至少有一个成立，
所以s，t满足的条件为或.
22．(1)证明见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据对数函数的定义求出其定义域，即可求解；
（2）根据函数的单调性和值域可得，即a，b为方程在上的两个根，利用转化的思想，结合函数不等式恒成立问题建立不等式组，解之即可求解；
（3）由题意得，令，利用基本不等式求出的范围，根据a、b的取值分类讨论函数的单调性，结合复合函数的单调性确定对应的最大值，即可求解.
【详解】（1）由，得，或，所以或，
又，且，所以，
所以；
（2）因为为减函数，
所以在上的值域为，
即，
故a，b为方程在上的两个根，即有两个大于4的根，
设，对称轴为，
有且且，
即，解得，
所以；
（3）因为，令，
则，当且仅当即时取等号，
所以当时，在上单调递减，
所以，因为，
所以；
当时，因为，所以，
；
当，在上单调递增，所以，
因为，
所以．
【点睛】关键点点睛：第二问主要考查根据函数的值域求参数，函数的单调性和函数不等式恒成问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.