吉林省“BEST”合作体六校2024-2025学年高三上学期第三次联考数学试卷（Word版附解析）

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高三数学试题
本试卷分主观题和客观题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.
第I卷客观题
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数，继而得的虚部.
【详解】由，
则，的虚部为2.
故选：D.
2. 已知数列{an}是等差数列，若a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=3，则a7+a8+a9=（ ）
A. 5B. 4C. 9D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】由等差数列的性质可知a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9 成等差数列，根据等差中项求解即可.
【详解】由数列{an}是等差数列可知，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9 成等差数列，
所以a7+a8+a9= ，
故选：A
3. 已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意得到命题“”为真命题，讨论和两种情况可求得结果.
【详解】因为命题“”为假命题，
所以，命题“”为真命题，
因为集合，集合，
所以，当时，即时，成立，
当时，
由“”得，解得，
综上，实数的取值范围为.
故选：B.
4. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解.
【详解】，
在上的投影向量为，
故选：C
5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等变换得到，得到平移后的解析式，即，整体法求出函数的值域.
【详解】，
图象向左平移个单位长度，得到，
上，，
则在上的值域为.
故选：C.
6. 已知数列满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数列的递推公式，利用累加法可得通项公式，再根据对勾函数的性质，可得答案.
【详解】因为，所以由递推公式可得
当时，等式两边分别相加，得
，
因为，则，而满足上式，所以，
即，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，当时，，
当时，，因为，所以的最小值为.
故选：A.
7. 已知函数，若恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，，解得和，分，和三种情况，结合函数不等式恒成立得到，从而求出的最大值，得到答案.
【详解】由，解得，令，解得，
当时，，则，不符合题意；
当时，，则，不符合题意；
所以，即，则，
当时等号成立,的最大值为.
故选：C.
8. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题通过正弦定理得到，再通过余弦定理得到，对向量式整理得，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不等式即可求解.
【详解】解：由及正弦定理，
得，即，
由余弦定理得，，∵，∴．
由，，
两边平方，得
即
，
当且仅当，即时取等号，即，
∴线段CD长度的最小值为．
故选：D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B.
C. 的图象与轴的交点坐标为
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象求周期，然后可判断A；根据正切函数定义域可判断B；代入验证可判断C；判断关于点对称，然后由图象的对称变换可判断D.
【详解】对A，由图可知，的最小正周期，则，A正确；
对B，由图象可知时，函数无意义，故，
由，得，即，B错误；
对C，，C正确；
对D，由，则的图象关于点对称，
由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，D正确.
故选：ACD
10. 已知函数，则下列正确的是（ ）
A. 的极小值为
B. 在单调递增
C. 有三个实根
D. ，当时，恒成立，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】求导后可得单调性，结合极值定义可知AB正误；作出图象，根据与的交点个数可得C正确；将D中问题转化为在上单调递增，由，采用分离参数的方式可求得D正确.
【详解】由题意知：定义域为，；
当时，；当时，；
的单调递减区间为，；单调递增区间为；
对于A，的极小值为，A正确；
对于B，当时，单调递减，B错误；
对于C，的极大值为，且当时，，由此可得图象如下图所示，
由图象可知：与有三个不同的交点，
即有三个实根，C正确；
对于D，由当时，恒成立可得：，
令，则在上单调递增，
在上恒成立，在上恒成立；
在上的最大值为，，D正确.
故选：ACD.
11. 定义在的函数满足，且，都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 若数列为等差数列，则公差为6
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据题意结合周期性运算求解；对于B：根据题意结合图象分析判断；对于B：整理可得，结合图象分析判断；对于D：根据图象结合对称性分析可得数列是以首项为7，公差为12的等差数列，进而利用等差数列知识运算求解.
【详解】因为都有，即的图象关于对称，
令，则，即，
可知在内的图象关于点对称，
根据题意作出在内的图象，如图所示：
对于选项A：因为定义在的函数满足，
则，故A正确；
对于选项B：由图象可知：若数列为等差数列，则，
此时与在内有且仅有一个交点，
因为，则，
所以公差为6，故B正确；
对于选项C：若，则，
可得，
则，即与在内有且仅有2个交点，
结合图象可得，故C错误；
对于选项D：若，则与在内有且仅有3个交点，且，
因为，则，
所以数列是以首项为7，公差为12的等差数列，
可得，
所以，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法
（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；
（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．
第II卷主观题
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】对原函数进行求导,代入得出切线斜率.曲线在处的切线倾斜角为可得出斜率.构造关于的方程，解方程即可.
【详解】曲线的导数,
∵曲线在处的切线的倾斜角为,
∴,
∴,
∴
故答案为: .
13. 已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据是递增数列以及解析式，可得的范围，又，代入求解，即可求得答案.
【详解】因为数列是递增数列，当时，，可得，
当时，，即，解得，
又，所以，解得或.
综上，实数的取值范围是.
故答案：.
14. 如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，先相继求出、、对应的复数，再求，由条件列方程求，由此可得结论；
【详解】设，设对应复数为，对应的复数为，则，
，
设对应的复数为，所以，
所以，
由已知可得，
所以，
又，所以，
所以，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，解决对于此类问题的关键是对新定义的透彻理解，解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为．
（1）求的值；
（2）若的面积为，且，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而得到的值；
（2）由若的面积为，求得，再由余弦定理，求得，进而求得的周长.
【小问1详解】
解：因为，由正弦定理得，
可得，
即，
因为，可得，所以，即，
所以.
【小问2详解】
解：由（1）知，
因为若的面积为，可得，即，解得，
又因为，
由余弦定理得，
整理得，解得，
所以，
所以的周长为.
16. 已知函数．
（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若的两个极值点分别为，证明:．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意导函数在0,+∞上恰有两个不同的解，再根据二次函数的区间端点值，对称轴与判别式列式求解即可；
（2）根据题意可得是方程的两个不同的根，所以再代入化简，进而构造函数，再求导分析的单调性与最值，进而可证明不等式.
【小问1详解】
在0,+∞上恰有两个不同的解，
令，所以
解得，即实数的取值范围是；
【小问2详解】
证明：由（1）知是方程的两个不同的根，所以
所以
，
令，
令在上恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，
所以，
所以．
17. 已知数列中，，且，为数列的前n项和，，数列是等比数列，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列前项和．
【答案】（1），；
（2）数列的前项和为.
【解析】
【分析】（1）由关系证明数列为等差数列，由此可求数列的通项公式，再求数列的通项公式，设数列的公比为，由条件列方程求，，结合等比数列通项公式可得结论.
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求数列的前项和.
【小问1详解】
由已知当，时，，，
所以，
又，
所以，
所以，
所以数列为等差数列，公差为，
又，所以，
所以当，时，，
又，
所以，，
设等比数列的公比为，
因为，，
所以，，
所以，所以，
【小问2详解】
由（1），
所以，
所以数列的前项和，
所以.
18. 已知函数.
（1）若的定义域为，求的取值范围；
（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意转化为在R上恒成立问题，结合二次函数的图象，需使即得；
（2）先判断函数在区间上的单调性，得对任意恒成立，即对任意恒成立，则需使，就参数的取值分类讨论函数的最小值即得的范围.
【小问1详解】
由函数的定义域为R，可得，在R上恒成立，
结合二次函数的图象可知，需使，解得，即的取值范围为；
【小问2详解】
设，则在定义域内是增函数，
因，,故对任意，函数在区间上单调递增，
故，，
依题意，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则需使，
因函数图象的对称轴为，
①当，即时，在上单调递增，故由，解得，不合题意，舍去；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，因，故.
综上，的取值范围是.
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数有两个不同的零点，
（i）求实数的取值范围：
（ⅱ）若满足，求实数的最大值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）（i）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）求导，分类讨论参数和时，函数的单调性即可.
（2）（ⅰ）利用参数分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可；
（ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求额，再利用的单调性可求得，进而求得结果.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的递增区间是，无递减区间；
当时，的递增区间是，递减区间是.
【小问2详解】
（ⅰ）由，得，令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，恒成立，且，
由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点，
因此，即，
所以实数的取值范围是.
（ⅱ）由，得，且，
不妨设，将代入，
得，即，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递减，
有，即，函数在上单调递减，
由，得，则，
因此函数在上单调递减，即，
于是，有，则，
又，令，，
由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增，
则，即，解得，
所以a的最大值是.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出式子求出参数的取值范围．