安徽省县中联盟2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省县中联盟2025届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．命题"，"的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
2．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
3．已知平面，直线l，m，且，，则""是""的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )
A.B.C.或D.或
5．已知向量，且向量a与b的夹角为，则的最小值为( )
A.1B.C.2D.4
6．已知两个等差数列，的前n项和分别是，，且，则( )
A.B.C.D.
7．如图，在扇形中，半径，弧长为，点P是弧上的动点，点M，N分别是半径，上的动点，则周长的最小值是( )
A.B.4C.D.
8．已知定义域为的函数满足:，，且当时，，若，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某超市随机抽取了当天100名顾客的消费金额作为样本，并分组如下:，，，…，(单位:元)，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )
A.若该超市当天总共有600名顾客，则消费金额在(单位:元)内的顾客约有180人
B.若每组数据以区间中点值为代表，则样本中消费金额的平均数是145元
C.若用样本估计总体，则该超市当天消费金额的中位数是100.8元
D.现从样本的第1，2组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率是
10．已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为
D.
11．某兴趣小组制作了一个直三棱柱容器(容器壁厚度忽略不计)，其中，，，则下列说法正确的是( )
A.若四棱锥的体积为，则
B.若三棱柱的外接球的表面积为，则三棱柱的侧面积为30
C.若，棱长为a的正方体能被整体放入此容器且可自由转动，则a的最大值为
D.若，点P在四边形内(含边界)，且，则点P的轨迹长度为
三、填空题
12．已知，则________.
13．已知随机变量，且正数a，b满足，则的最小值为________.
14．已知实轴长为4的双曲线的渐近线为，，分别为C的上、下焦点，过点的直线l与C的上、下两支分别交于点M，N，且，则直线l的斜率为________.
四、解答题
15．如图1，在矩形中，，，将沿着翻折到的位置，得到三棱锥，且平面，如图2所示.
(1)求证:平面平面
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，.
(1)求A的大小；
(2)D是边上一点且平分，若，的面积是，求的周长.
17．已知函数与分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且.
(1)求函数与的解析式
(2)若对于，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
18．已知数列满足，且，.
(1)证明:数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列的前n项和为，，证明:数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
19．法国著名数学家拉格朗日给出一个结论:若函数在闭区间上的图象是一条连续不断的曲线，在开区间上都有导数，则在区间上存在实数t，使得，这就是拉格朗日中值定理，其中t称为在区间上的"拉格朗日中值".已知函数，，.
(1)利用拉格朗日中值定理求函数在上的"拉格朗日中值"；
(2)利用拉格朗日中值定理证明：函数上任意两点连线的斜率不小于；
(3)针对函数，请证明拉格朗日中值定理成立.
参考答案
1．答案：D
解析：命题"，"的否定是"，".故选D.
2．答案：A
解析：集合，集合，所以.故选A.
3．答案：A
解析：由题意知，，若，则，所以充分性成立；若，则m与l可能平行，也可能异面，所以必要性不成立.所以""是""的充分不必要条件.故选A.
4．答案：C
解析：由三角函数的定义，得，所以，
所以或.
故选C.
5．答案：C
解析：方法一:，
所以当时，取得最小值4，所以的最小值为2.故选C.
方法二:设，，则，当时，取得最小值，此时.故选C.
6．答案：B
解析：因为，，都是等差数列，
所以可设，，其中0，
所以
，
所以，，所以.故选B.
7．答案：D
解析：如图，连接，作点P关于直线的对称点，关于直线的对称点，
连接交于点M，交OB于点N，连接，，
则，，，
此时的周长取得最小值，其最小值为线段的长度，
因为扇形的弧长为，半径，所以，
根据对称的性质，可得，在中，由余弦定理，
得
，所以，
即周长的最小值是.故选D.
8．答案：B
解析：任取且，则，
因为，所以，即，
所以，故函数在上单调递增.
令，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以，故.
令，则，
因为，所以，所以，
所以，即在上单调递增，
所以，即，所以，
故，所以.
因为，在上单调递增，所以.故选B.
9．答案：BD
解析：由题意，得，解得.对于A，若该超市当天总共有600名顾客，则消费金额在（单位：元）
内的顾客约有（人），故A错误；
对于B，每组数据的频率依次为0.1，0.2，0.25，0.2，0.15，0.1，若每组数据以区间中点值为代表，则样本中消费金额的平均数是
(元)，故B正确；
因为，，所以中位数在第3组，设该超市当天消费金额的中位数是x元，则，解得(元)，故C错误；
现从样本的第1，2组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，则第1，2组分别抽取(人)，(人)，再从
这6人中随机抽取2人做进一步调查，所以抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率是，故D正确.故选BD.
10．答案：ABD
解析：由图可知，最小正周期，即，又，所以，函数图象过点，将点代人中，得，所以，所以，因为，所以，所以，故A正确；
，令，得，所以函数的图象关于直线对称，所以，故B正确；
令，得，所以或，
所以或，所以函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为或，故C错误；
令，得，所以函数的图象关于点对称，所以，故D正确.
故选ABD.
11．答案：ABD
解析：由余弦定理，得，因为，所以.
对于A，设三棱柱的体积为V，则三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，解得，又，由直三棱柱知平面，所以，解得，故A正确；
对于B，设外接圆的直径为d，则，设三棱柱的外接球的半径为R，因为表面积为，所以，即，因为，所以，解得，所以三棱柱的侧面积为，故B正确；
对于C，设内切圆的半径为r，则，所以，又，则三棱柱内可容纳的最大球的半径为，若棱长为a的正方体能被整体放入此容器且可自由转动，则棱长最大的正方体恰好是直径为的球的内接正方体，所以，解得，所以a的最大值为1，故C错误；
在平面内，过A作，垂足为H，由，得H在的延长线上，且，，由直三棱柱知平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因此，因为，所以点P的轨迹是以H为圆心，3为半径的圆在四边形内(含边界)的圆弧如图所示，在中，，所以，弧的长度为，即点P的轨迹长度为，故D正确.
故选ABD.
12．答案：1
解析：因为，
所以，所以.
13．答案：9
解析：因为随机变量，且正数a，b满足，
所以，即，
，
当且仅当，即时等号成立.
14．答案：或
解析：方法一:因为实轴长为4的双曲线的渐近线为，所以，，解得，，，
因此，，设，，的中点为，
由，得，且直线l不与y轴重合，即，
因此，即，
所以①，
因为点M，N在双曲线C上，所以，
两式相减，得，即，
又，所以，即②，
联立①②消去，得，解得(舍)或，
所以，由，得，
所以直线l的斜率为或.
方法二:因为实轴长为4的双曲线的渐近线为，所以，，解得，，，
设，由M，N分别在双曲线C的上、下两支上，
得，，
，，
由，得，
解得，所以，，
又直线l的倾斜角为，所以或，
即直线l的斜率为或.
15．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：(1)证明:因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
(2)以点A为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴，过点A且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由(1)知轴在平面内.
因为平面，平面，所以，
又，，所以，所以，
又，，，
所以，，.
设平面的法向量是，则即
令，则，，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值是.
16．答案：(1)；
(2)
解析：(1)因为，所以，
由正弦定理，得，所以，
由余弦定理，得，
因为，所以.
(2)因为的面积是，所以，
即，所以.
因为是的角平分线，所以，
因为，所以，
即，所以.
由余弦定理，得，
所以，所以，即的周长为.
17．答案：(1)，；
(2)
解析：(1)由题意可知，，①
，②
①-②，得，所以，
①+②，得，所以.
(2)若，恒成立，
则恒成立，
因为函数在R上是奇函数，所以，
即对恒成立.
因为，所以函数在R上是增函数，
所以对恒成立，
当时，，，所以成立.
当时，，所以对恒成立.
令，则，
令，则，
当时，，，
所以，在上单调递减，故.
所以，在上单调递增，故.
所以由对恒成立，得，
综上所述，实数k的取值范围是.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析
解析：(1)证明:因为，所以，
因为，，所以，所以，
所以数列是以9为首项，3为公比的等比数列.
(2)由(1)，得，所以，又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，即.
(3)证明:，
所以
，所以.
假设数列中存在不同的三项，，(且s，t，r互不相同)
成等差数列，所以，即，
不妨设，因为函数单调递减，
所以，所以.
在两边同时乘以，得，即，
因为，所以，都是3的倍数，即是3的倍数，但1不是3的倍数，所以不成立，即假设错误.
所以数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
19．答案：(1)；
(2)；
(3)证明见解析
解析：(1)，，，
由拉格朗日中值定理，得在区间上存在实数t，
使得，即，
解得或.因为，所以，
所以函数在上的"拉格朗日中值"为.
(2)证明:由，得.
在的图象上任取两点，，，
根据拉格朗日中值定理，得存在，使得.
因为
，当且仅当时两个等号同时成立，
所以的最小值是，
所以，即函数上任意两点连线的斜率不小于.
(3)证明:设，，要证:拉格朗日中值定理成立，即证:对于任意常数m，在区间上有零点.
，所以在区间上单调递减，
故函数在区间上至多有1个零点，
因为，，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以在处取到极小值，也是最小值，
即时，.由，得，
所以，又，即，
所以.
由，得，所以，即，
又，即，所以，
由函数的零点存在定理知在区间上有零点，即针对函数，拉格朗日中值定理成立.