重庆市2023_2024学年高一数学上学期期中试题2含解析

这是一份重庆市2023_2024学年高一数学上学期期中试题2含解析，共16页。
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集概念进行求解.
【详解】.
故选：C
2. 全称量词命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】“”否定是“”.
故选：A
3. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据解析式的特征，直接列式即可得解.
【详解】因为，
所以，解得且.
所以函数的定义域是.
故选：D.
4. 若函数，则的解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用换元法可得答案，解题过程一定要注意函数定义域.
【详解】令，则，，
因为，
所以，
则，
故选：D.
5. 设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使的的取值集合为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇函数的图象特征补全的图象，从而结合图象即可得解.
【详解】因为函数是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称，
由在上的图象，知它在上的图象，如图所示，
所以使的的取值集合为.
故选：B.
6. 若，且，则下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊值以及基本不等式求得正确答案.
【详解】当时，，，，
所以，，，ABC选项错误.
，
当且仅当时等号成立，D选项正确.
故选：D
7. 设为给定的一个实常数，命题，则“”是“命题为真命题”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求出命题为真命题时，进而判断出答案.
【详解】由题意得对恒成立，
其中，
故在处取得最大值，最大值为4，故，
即命题为真命题时，
由于，但，
故则“”是“命题为真命题”的充分不必要条件.
故选：A
8. 已知函数满足条件：在R上是减函数，若，使成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将问题转化为能成立，再利用对勾函数的单调性即可得解.
【详解】因为，
所以，，
所以，可化为，
因为在R上是减函数，所以，
所以问题转化为，使成立，即，则，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当或时，取得最大值，
所以，即.
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列各项中，与表示的函数相等的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案.
【详解】对于A，，定义域为R，，定义域为R，
但对应法则与前者不同，故两函数不相等，故A错误；
对于B，由得，故的定义域为，
由得，故的定义域为，
又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确；
对于C, 定义域为R，定义域为，故两函数不相等，故C错误；
对于D，，，两函数相等，故D正确.
故选：BD.
10. 若集合，若，则实数可能是（）
A. B. 1C. 2D. 5
【答案】ABC
【解析】
【分析】解不等式求得集合，根据求得的取值范围，进而求得正确答案.
【详解】由解得，所以，
由于，所以，
所以ABC选项正确，D选项错误.
故选：ABC
11. 下列说法正确的是（）
A. 函数的最大值是B. 函数的最小值是2
C. 函数的最小值是6D. 若，则的最小值是8
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，对于函数，
，
当且仅当时等号成立，所以A选项正确.
B选项，，
当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误.
C选项，对于函数，，
，
当且仅当时等号成立，所以C选项正确.
D选项，由基本不等式得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：ACD
12. 德国数学家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805～1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（）
A. B. 的值域为
C. 图象关于直线对称D. 图象关于点对称
【答案】BC
【解析】
【分析】AB选项可根据题意直接得到，C可分为有理数和无理数两种情况推导；D选项，可举出反例.
【详解】A选项，因为0为有理数，故，A错误；
B选项，由题意得的值域为，B正确；
C选项，当为有理数时，，此时图象关于直线对称，
当为无理数时，，此时图象关于直线对称，
综上，图象关于直线对称，C正确.
D选项，由于，且不关于对称，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设函数，则__________．
【答案】6
【解析】
【分析】代入分段函数解析式求解即可.
【详解】由题意，.
故答案为：6
14. 重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据集合的知识求得正确答案.
【详解】设只喜欢“大阅读”的有人，两者都喜欢的有人，只喜欢“科技嘉年华”的有人，
则，解得.
故答案为：
15. 已知实数，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质即可得解.
【详解】因为，所以，
又，所以，故
所以的取值范围为.
故答案为：.
16. 已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，则的取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先讨论，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论，画出的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果.
【详解】若，当时，恒成立；
当时，由得；即仅有一个根；
所以由可得，则；即方程仅有一个实根；
故不满足有8个不同的实根；
若时,画出的大致图象如下，
由可得，，，
又有8个不同的实根，
由图象可得，显然有三个根，显然有两个根，
所以必有三个根，而，，
为使有三个根，只需，解得；
综上可知，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
17. 设，集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得到和或，利用交集概念求出答案；
（2）根据交集为空集得到不等式，求出实数的取值范围.
小问1详解】
，
时，，故或，
故或；
【小问2详解】
显然，
因为，所以或，解得或，
故实数的取值范围为.
18. 已知函数（为实数），，且_________．
请在下列三个条件中任选一个，补充在题中的横线上，并解答.
①；②值域为；③的解集为；
（1）求的解析式；
（2）当时，是单调函数，求实数的取值范围；注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）选①②③，答案均为
（2）
【解析】
【分析】（1）选①，得到方程组求出，，求出解析式；选②，根据函数值域及得到方程组，求出解析式；选③，由二次函数图象分析得到，结合得到，，求出答案；
（2）转化为在上单调，结合函数对称轴得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
选①，，
因为，所以，解得，
故；
选②，的值域为，即
由于，所以，
解得，故；
选③，的解集为，故，
由于，所以，即，
故，
解得，故，解析式.
【小问2详解】
在上单调，
其中的对称轴为，
故需满足或，
解得或，
故实数的取值范围是.
19. 已知函数．若为R上的奇函数且.
（1）求；
（2）判断在上单调性，并用单调性的定义证明.
【答案】（1），；
（2）单调递增，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数式，利用奇函数的定义求出b，由求出a即得.
（2）由（1）求出并判断单调性，再利用定义证明即得.
【小问1详解】
由为R上的奇函数，得，即，则，解得，
又，则，解得，
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，则，
函数在上的单调递增，
，，
因为，则，，有，即，
所以函数在上的单调递增.
20. 我校在一个月内分批购入每张价值为200元的书桌共360张，若每批都购入台（是正整数），且每批均需付运费400元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比.若每批购入40张书桌，则该月需用的运费和保管费共5200元．
（1）求该月购入书桌时需用的运费和保管费的总费用；
（2）为使得该月购入书桌所需的运费和保管费最少，应如何安排每批进货的数量？
【答案】（1），
（2）每批进货的数量为
【解析】
【分析】（1）假设题中比例为，由题意列出关于的表达式，再代入已知条件求得，从而得解.
（2）结合（1）中解析，利用基本不等式即可得解.
【小问1详解】
设题中的比例系数设为，每批购入台，则共需分批，每批书桌价值元，
则，，
因为当时，，所以，解得，
所以，.
【小问2详解】
由（1）可得：（元）
当且仅当，即时，等号成立，
所以每批进货的数量为.
21. 已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．
（1）若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；
（2）若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．
【答案】（1）a＝﹣1，b＝2
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；
（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.
【小问1详解】
由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的两根，
所以，解得a＝﹣1，b＝2；
【小问2详解】
当b＝2时，不等式ax2+bx﹣a+2＞0为ax2+2x﹣a+2＞0，
即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，所以，
当即时，解集为；
当即时，解集为或；
当即时，解集为或.
22. 对于定义域为的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“最美区间”.
（1）求函数的“最美区间”；
（2）若存在最美区间函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）推导出，，结合上单调递增，得到，，求出，，得到答案；
（2）根据在上单调递增，得到，转化为为方程在上两个不等的实根，且，平方后，数形结合得到不等式，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，在上的值域为，故，
因为，所以，
故在上单调递增，
所以，即，解得或0（舍去），所以，
同理，解得或1（舍去），
综上，的“最美区间”是；
【小问2详解】
令，解得，
故的定义域为，
且在上单调递增，
故，，
即为方程在上两个不等的实根，且，
，两边平方得，
令，
需满足，解得，
故实数的取值范围是．