重庆市2023_2024学年高二数学上学期期末模拟检测试题含解析

这是一份重庆市2023_2024学年高二数学上学期期末模拟检测试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若直线的倾斜角为，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由斜率与倾斜角的关系计算即可得.
【详解】由，故.
故选：B.
2. 已知，，，若四点共面，则实数（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】若四点共面，则存在实数使得成立，代入坐标求解即可．
【详解】若四点共面，则存在实数使得成立，
则解得
故选：D．
3. 记等差数列的前项和为，若，且，则的值为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
法一：用基本量将条件表示出来，解二元一次方程组即可求出，，代入等差数列通项公式即可求出的值；
法二：等差数列性质，结合条件运算得，后面同上.
【详解】解：法一：设公差为d，由得，
化简得，
由得，
联立，解得，，
所以.
法二：由及得：，则，
即，，.
故选：C
【点睛】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差或项数：在求解时，一般要运用方程思想；
（2）求通项：和是等差数列的两个基本元素；
（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；
（4）求前项和：利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.
4. 斜率为的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则（）
A. 12B. 8C. 10D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
由直线的斜率为可得倾斜角为，数形结合分析可得.
【详解】解：因为直线的斜率为，
所以倾斜角为，即
结合题意作图，由图可得，
，解得.
故选：
【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，以及抛物线的标准方程，属于基础题.
5. 等比数列中，若，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由等比数列性质得q,即可求解
【详解】，则
故选D
【点睛】本题考查等比数列的运算及基本性质，熟记公式是关键，是基础题
6. 方程所表示的曲线是（）
A. 一个圆B. 两个圆C. 一个半圆D. 两个半圆
【答案】D
【解析】
【分析】
通过分类讨论变形曲线方程可确定曲线的形状．
【详解】解：，
，
即或者，
即或，
所以原方程表示两个半圆.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查方程表示的曲线，把方程变形为常用曲线的方程是判断方程的曲线的常用方法，只是在变形过程中必须保证变量的取值范围不会改变，否则会出现错误．
7. 设数列为等差数列，其前 项和为，已知，
，若对任意，都有 成立，则的值为
AB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，由已知条件利用等差数列的性质求出和的值，两者相减即可得到的值，得到，令大于列出关于的不等式，求出解集中的最大正整数即可满足题意的的值．
【详解】设等差数列的公差为
由可得，即
由可得，解得
，
，解得
的最大值为，则
故选
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的通项公式化简求值，考查了推理论证能力，较为基础．
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为且过的直线交双曲线的渐近线于两点，若，（表示的面积），则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用点差法可得，列方程可得关系，由此可求离心率.
【详解】直线斜率存在，设，中点，
当在轴上方时，由，得，则，
因为，所以，故为直角三角形，为的中点，
所以，所以．
由得，即．
当时，，,
，所以，所以．
当时，，
，矛盾，舍去，
当在轴下方时，同理可求得
综上所述．
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列四个选项中，正确的是（）
A. 数列的图象是一群孤立的点
B. 数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列
C. 数列，，，，…的一个通项公式是
D. 数列，，…，是递减数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可．
【详解】对于A，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A正确；
对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B错误；
对于C，观察法可得数列，，，，…的一个通项公式为时，故选项C正确；
对于D，因为，所以数列，，是递减数列，故选项D正确．
故选：ACD.
10. 下列说法正确的是（）
A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B. 点关于直线的对称点为
C. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等直线方程为
D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，利用斜率定义可知，当倾斜角为90°时，斜率不存在；B选项求解点关于直线的对称点，满足两点的斜率与乘积为-1，中点在已知直线上，进而求出对称点；C选项要考虑截距均为0的情况，D选项求出与坐标轴的交点坐标，进而求出围成的三角形的面积.
【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A选项正确；设关于直线的对称点为，则满足，解得：，故点关于直线的对称点为，B正确；当在x轴和y轴上截距都等于0时，此时直线为，故C错误；直线与两坐标轴的交点坐标为与，故与两坐标轴围成的三角形的面积为，D正确
故选：ABD
11. 已知点P在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A. 点P到x轴的距离为B.
C. 为钝角三角形D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可．
【详解】设点．因为双曲线，所以．
又，所以，故A错误．
将代入得，得．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，故B正确．
在中，，且，
则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得，所以，故D错误．
故选：BC．
12. 设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线C交于M，N两点（点M在第二象限），当时，，则下列说法正确的是（）
A.
B. △MON的面积的最小值为
C. 存在直线，使得
D. 分别过点M，N且与抛物线相切两条直线互相垂直
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据抛物线定义结合三角函数可求，通过设直线的方程为，与抛物线联立则得到韦达定理式，而面积表达式，韦达定理式代入上式即可求出面积最值，求出则可判断C，利用导数的几何意义即可得到两切线斜率之积为，则可判断D.
【详解】作出如图所示图形：
对A，由抛物线定义及题意得，
即，解得，故A正确；
对B，，则，当直线的斜率不存在时，显然不合题意，
设
设直线的方程为，联立抛物线得
，则，
，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对C，
，
故为钝角，则不存在直线，使得，故C错误；
对D，，即，故，
故在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为,
故斜率之积为，故相切的两条直线互相垂直，故D正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知圆，若直线被圆截得的弦长为1，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】将圆一般方程化为标准方程，先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出的值.
【详解】解：将化为标准式得，故半径为1；
圆心到直线的距离为，由弦长为1可得，解得.
故答案为：.
14. 椭圆的左、右顶点分别为、，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】作图分析，过点分别作斜率为-1和-2的直线，交椭圆于C，D两点，
观察当从-2变化到-1时，变化的情况，做分别的计算即可.
【详解】由题意作图如下：
A1(－2,0)，A2(2,0)，
当PA2斜率为－2时，点P与D重合，
直线PA2的方程为y＝－2(x－2)，
代入椭圆方程，消去y化简得19x2－64x＋52＝0，
解得x＝2或x＝，
可得点，
此时直线PA1的斜率，
同理，当直线PA2的斜率为－1时，点P与C重合，
直线PA2的方程为y＝－(x－2)，
代入椭圆方程，消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝
可得点，
此时直线PA1的斜率，
数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是；
故答案为：.
15. 定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，．当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意分析出，则，利用裂项相消法求和.
【详解】由题意，，当时，，，的取值依次为，，…，，共个，即，由此可得，，所以．
故答案为：
16. 已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点作直线与抛物线交于、两点，且，双曲线的左焦点到直线的距离大于，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得出，代入韦达定理求出的值，可得出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可得出关于、所满足的不等式，由此可解得双曲线离心率的取值范围.
【详解】由题意得，设直线的方程为，设点、.
由消去得，，
由韦达定理可得①，②.
又，即，
所以，，③.
将③代入①得④，将③代入②得⑤，
再由④⑤解得，故直线的斜率为.
又抛物线的焦点是双曲线的右焦点，
，所以，直线的方程即为.
由双曲线的左焦点到直线的距离，解得，即，
又，，即，
又，所以，双曲线的离心率.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或其范围的方法
（1）直接求出，，的值，再由直接求；
（2）列出含有，，的齐次方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程（或不等式）求解.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得数列的通项公式.
（2）先求得，然后利用裂项求和法求得.
【详解】（1）由题意，设公差为，所以，
则，
∴
∵，∴，，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
∴数列的前n项和
．
【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式和前项和公式，考查裂项求和法，属于中档题.
18. 在三棱台中,平面,,,,.
（1）证明:.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面,结合计算得,即,又,,由线面垂直的判定定理得平面,得到,根据线面垂直的判定定理即可证明;
（2）作于,先根据已知条件求出的长,再利用等面积法求出到平面的距离即可得到结果.
【小问1详解】
∵平面,平面,
,
平面平面,
平面,
平面,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
即,
又,,,平面,平面,
∴平面,
∴,
∵,平面,平面,
∴平面,
∵平面,
∴.
【小问2详解】
如图,作于,
在直角梯形中,得,
同理可得,
在等腰梯形中,,
则,
∴,
设到平面的距离为,
由,
得,
则,
又,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19. 已知圆与轴相切，圆心点在直线上，且直线被圆所截得的线段长为.
（1）求圆的方程；
（2）若圆与轴正半轴相切，从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在直线的方程.
【答案】（1）圆或；（2）.
【解析】
【分析】（1）设圆，根据已知条件可构造方程组求得，分别在和两种情况下求得结果；
（2）根据点关于直线对称点的求法可求得点关于的对称点，利用两点连线斜率公式可求得反射光线所在直线斜率，由此可得直线方程.
【详解】（1）设圆，
由题意得：…①，…②，…③，
由①得，则，代入③得：；
当时，，，圆；
当时，，圆；
综上所述：圆或.
（2）圆与轴正半轴相切，圆，
设关于的对称点，
则，解得：，，
反射光线所在直线的斜率，
反射光线所在直线方程为：，即.
【点睛】方法点睛：求解点关于直线的对称点的基本方法如下：
①与连线与直线垂直，即；
②中点在直线上，即；
③与到直线的距离相等，即；
上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标.
20. 已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，．
（1）求证：平面平面；
（2）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，
求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，即转化为证明平面；（2）根据垂直关系以点为原点，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式，即可求解.
【详解】（1）因为平面，所以
又为菱形，所以,，所以平面
平面，所以平面平面
（2）如图，和是全等的等边三角形，过点作的垂线，即轴，与的交点即线段的中点，以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则
,,
从而
，
因为平面,所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为,由得
取，即
设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得
从而，即．
21. 已知数列的前n项和为，且满．
（1）求证数列是等比数列．
（2）若数列满足求数列的前n项和．
【答案】（1）答案见解析；’
（2）.
【解析】
【分析】（1）证明见解析；
（2）先求出，利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
对于，
当n=1时，由.
当，有，此时，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知，，所以.
所以当n=1时，；
当，有，
经检验，对n=1也成立.
所以.
所以.
所以
.
22. 已知椭圆的离心率为，直线过E的上顶点和右焦点，直线过E的右顶点，，与之间的距离为.
（1）求椭圆E的标准方程.
（2）已知过原点的直线与椭圆E交于A，B两点，点C是E上异于A，B的点，且，试问在x轴上是否存在点M，使得点M到直线AC的距离为定值？若存在，求出定值与点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，点，定值
【解析】
【分析】（1）结合题意构造相应图形计算即可得；
（2）分类讨论直线斜率存在与不存在时的情况，当直线斜率存在时，联立直线方程与曲线方程，化成关于横坐标有关的一元二次方程，结合韦达定理进行运算解答，当斜率不存在时，验证所得是否依然符合要求即可.
【小问1详解】
因为椭圆E的离心率为，所以，则，所以直线的斜率为，
如图，设E的右焦点为F，右顶点为P，上顶点为Q，过点P作于点D，
则，所以，即，
解得，则，故椭圆E的标准方程为；
【小问2详解】
由题意可得点O是线段AB的中点，又，所以，
①当直线AC的斜率存在时，设直线AC的方程为，
由，得，
则，即，
由根与系数的关系可得，
由可得，即，
即，
所以，故.
假设存在点满足条件，设点M到直线AC的距离为d，
则，
当时，为定值，即d为定值.
②当直线AC的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得，
所以，故，点到直线AC的距离为，
综上可得，存在点，使得点M到直线AC的距离为定值.
【点睛】方法点睛：对于直线与圆锥曲线的题目，基本方法是联立直线方程与曲线方程，化成关于横坐标或纵坐标有关的一元二次方程，结合韦达定理进行运算解答.