重庆市2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份重庆市2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析，共16页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡上．
2．请将答案正确填写在答题卡上．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若命题，则命题的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得
命题，
则命题的否定是.
故选：B.
2. 已知集合，则（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定，再计算交集得到答案.
【详解】集合，
则，.
故选：A
3. 已知函数，则（）
A. 2B. 3C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的解析式，求得，进而求得的值，得到答案.
【详解】由函数，可得，则.
故选：A.
4. 已知，则的最小值为（）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】凑项，然后利用基本不等式求最小值.
【详解】,
当且仅当，即是等号成立.
故选：C.
5. 设，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式可得或，根据取值的范围大小即可知“”是“”的充分不必要条件.
【详解】由不等式可得或；
易知是或的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6. 下列结论中正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若且，则
D. 若，且，则
【答案】D
【解析】
【分析】通过列举反例来判断AB，通过做差法判断C，利用不等式的性质判断D.
【详解】对于A：，满足，但，A错误；
对于B：，满足，但，B错误；
对于C：，因为且，所以，所以，即，C错误；
对于D：，，故，D正确.
故选：D.
7. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数每段递增，并且左边一段的最高点不高于右边一段的最低点列不等式求解.
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，
解得
故选：C.
8. 定义新运算：当时，；当时，，则函数的最大值等于（）
A. B. 5C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】考虑和两种情况，确定函数解析式，根据函数的单调性得到最值.
【详解】当时，，；
当时，；；
综上所述：函数的最大值为.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，均为正整数且，下列化简结果中正确的有（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据指数的运算法则逐一判断.
【详解】，均为正整数且，
由指数的运算法则可得
，A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确.
故选：ABD.
10. 下列各组函数表示同一个函数的是（）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】BC
【解析】
【分析】通过确定定义域和对应法则是否相同来判断是否同一函数.
【详解】对于A：，，定义域不同，不是同一函数；
对于B：，，定义域和对应法则都相同，是同一函数；
对于C：，，定义域和对应法则都相同，是同一函数；
对于D：，，定义域不同，不是同一函数。
故选：BC.
11. 函数，（），则（）
A. 的值域为B. 不等式的解集为
C. 且D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出函数图象，利用数形结合思想可以判断得出答案.
【详解】作出函数的图象，如图所示：
对于选项A，由图象可得函数的值域为R，故选项A错误；
对于选项B，由图象可得不等式的解集为，故选项B正确；
令（），则函数图象与直线有三个不同的交点.
由图象可得，，
故选项C正确，选项D正确.
故选：BCD.
12. 小王、小张、小李三名同学同时从小区门口地沿同一条路按三种不同方式到达学校门口地，用时（单位：秒）分别为．小王有一半的路程以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的路程以速度（单位：米/秒）奔跑；小张全程以速度（单位：米/秒）奔跑：小李有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】首先设两地距离为，利用时间、速度和路程之间的关系得出三人所用时间的表达式，再由基本不等式即可比较得出大小关系，结合选项判断出结论.
【详解】设从地到地距离为，
根据题意可知，，
易知满足，则；
由，可得，
，
即可得，可知A正确，B错误；
易知，即C正确；
则，而；
显然，即D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知集合，集合，若，则实数的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由集合相等，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为集合，集合，且，
当时，则，不满足；
当时，则，满足；
所以.
故答案为：
14. 计算：______．
【答案】##
【解析】
【分析】直接利用指数的运算性质求解即可.
【详解】
故答案为：.
15. 已知函数满足：（1）为奇函数；（2）定义域内任意都有，试写出满足以上条件的一个函数______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】直接根据条件写出函数即可.
【详解】（1）为奇函数；（2）定义域内任意都有，
满足条件的函数有，
明显其为奇函数，并且.
故答案为：（答案不唯一）
16. 已知定义在上的函数，函数为偶函数，且对都有，若，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据条件得到函数的对称性和单调性，进而根据函数性质解不等式即可.
【详解】函数为偶函数，即
函数关于直线对称，
又对都有，
函数在上单调递增，
由得，
解得或
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合,或．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】17. 或
18. 或
【解析】
【分析】（1）根据并集的概念进行计算；
（2）根据交集结果得到包含关系，从而得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
时，，
故或；
【小问2详解】
，故，
则或，解得或，
故实数的取值范围为或
18. 已知幂函数，且的图像关于原点对称．
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）直接根据幂函数的定义及性质求解即可；
（2）直接利用幂函数的单调性解不等式.
【小问1详解】
函数为幂函数，
，解得或，
当时，偶函数，关于轴对称，舍去；
当时，是奇函数，关于原点对称，
；
【小问2详解】
明显在上单调递增，
对于，有，
解得或
19. 已知不等式．
（1）若不等式的解集为，求和的值；
（2）若，求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解和方程的根的关系，利用韦达定理求解即可；
（2）求出不等式对应的方程的根，然后通过讨论根的大小来解不等式.
【小问1详解】
不等式的解集为，
即二次方程的根为，
由韦达定理可得，
解得；
【小问2详解】
若，则不等式为，
即，
令，得，
当，即时，；
当，即时，无解；
当，即时，，
综上：时，解集为；时，解集为；时，解集为.
20. 2023年8月29日，华为Mate60Pr在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机．其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知此款手机每千部的售价为700万元．且每年内生产的手机当年能全部销售．
（1）求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的表达式；
（2）2023年年产量为多少（千部）时．企业所获利润最大？最大利润是名少？
【答案】（1）
（2）年产量为（千部）时．最大利润万元
【解析】
【分析】（1）通过讨论的范围，得出的解析式；
（2）分别求出在和上的最大值即可得结论.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
所以；
【小问2详解】
若，，
当时，，
若，，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以2023年年产量为（千部）时．企业所获利润最大，最大利润是万元.
21. 已知是定义在上的函数，若满足且．
（1）求的解析式；
（2）设函数，若对都有成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数，由，求得，再由，求得，即可得到的解析式；
（2）根据题意，转化为，根据函数的单调性，求得最小值为，进而得到在上恒成立得到在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为是定义在上的函数，若满足，
所以函数为奇函数，所以，解得，所以，
又因为，可得，解得，所以，
此时满足，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
解：对都有成立，即，
不妨设，则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上为单调递增函数，最小值为，
又由在上恒成立，只需在上恒成立，
令，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，解得，即实数的取值范围为.
22. 已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立．
（1）求；
（2）判断并证明的单调性；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）令，代入恒等式中求解即可；
（2）任取，利用恒等式变形，然后判断符号可得单调性；
（3）利用函数单调性，将不等式恒成立转化为恒成立，，然后参变分离，转化为求最值的问题来解答即可.
【小问1详解】
令，则，
解得；
【小问2详解】
函数在上单调递增，
证明：任取，
则，
所以，
因为，
所以，则，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
【小问3详解】
由（2）函数在上单调递增，
所以不等式恒成立，即恒成立，，
当恒成立时，，又，所以，
当恒成立时，，
令，则，且，
所以，
当时，，
所以，
综合得