河北省邯郸市2025届高三第一次大联考数学试题

这是一份河北省邯郸市2025届高三第一次大联考数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．样本数据为2，3，4，4，5，a，5，6，7，9，若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则a为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A．B．2C．D．
3．记为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．45B．90C．180D．240
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．在三棱锥中，若侧棱长均，且底面为直角三角形，斜边，则三棱锥的外接球半径R为（ ）
A．B．C．2D．3
6．两名运动员参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（ ）
A．80B．70C．40D．35
7．已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线BM交椭圆E于另一点D，记直线AB，AD的斜率分别为，，若，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设复数，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数图象上相邻两点，若，且为奇函数，则（ ）
A．B．
C．函数为偶函数D．函数在区间上单调递增
11．已知函数的定义域为，且，且，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知集合，若，则实数a的取值范围是 ．
13．用一个平面截球O得到的曲面称为球冠，截面为球冠的底面，如图球冠的高大于球的半径，为底面圆心，是以为底，点S在球冠上的圆锥，若底面的半径是球的半径的倍，点A为底面圆周上一点，则SA与底面所成的角为 ，圆锥的表面积与球O的表面积的比为 ．
14．已知正数x，y，z满足或，记（M为x，y，z中最大者），则M的最小值为 ．
四、解答题
15．体育老师想了解高三（1）班男学生100米达标情况，首次随机抽查了12名男学生，结果有8名学生达标，4名学生没有达标．
(1)现从这12名男学生中随机抽取3名，用X表示抽取的3名学生中没有达标的人数，求X的分布列和期望；
(2)为了提高达标率，老师经过一段时间的训练，第二次测试达标率增加了，现从该班男学生中任意抽取2人，求至多两次测试后，这两人全部达标的概率．
16．已知函数．
(1)当时，求y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)若有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
17．已知四面体ABCD中，和是边长为2的正三角形，点E，F，H分别在AD，BD，CD上，且，若面．
(1)求FD的长；
(2)求直线BA与平面BEH所成角的正弦值．
18．已知抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点，且，线段AB的垂直平分线与x轴交于点．
(1)求的值；
(2)求面积的最大值．
19．已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列．
(1)写出数列的阶差数列；
(2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式；
(3)若数列的首项，且，求数列的最小值．
参考答案：
1．C
【分析】根据平均数的定义代入计算可得结果.
【详解】删除a后的新数据的平均数为，
则原数据的平均数也为5，因此数据总和为50，所以可得，
解得.
故选：C
2．D
【分析】根据双曲线方程得出双曲线的渐近线再计算求参.
【详解】因为双曲线方程为，所以,所以渐近线方程为,
即得，所以.
故选：D.
3．B
【分析】利用等差数列的性质及前n项和公式求.
【详解】由得，，
整理得，即，
所以.
故选：B
4．A
【分析】应用诱导公式、二倍角余弦公式化简求值即可.
【详解】由题设，
.
故选：A
5．C
【分析】设的中点为，易得三棱锥的外接球的球心在上，再利用勾股定理即可得解.
【详解】因为三棱锥的三条侧棱相等，
所以顶点在底面的射影是底面的外心，
又为直角三角形，可知的外心是斜边的中点，
设的中点为，所以三棱锥的外接球的球心在上，
又，可得，解得.
故选：C．
6．B
【分析】按总局数为4局，5局，6局，7局分类讨论，将结果相加即可.
【详解】因为采用7局4胜制，先赢4局者获胜，所以可能赛4局，5局，6局，7局，
若赛4局，则有2种；若赛5局，则有种；
若赛6局，则有种；若赛7局，则有种；
综上所有赛事情况种数为种，
故选：B
7．D
【分析】根据直线斜率的坐标表示，结合椭圆的性质，可求得，再求得，进而可得即可求离心率.
【详解】
设，则，
所以，
又，
所以，
又点在上，所以，
所以，
即，由，
故选:D．
8．A
【分析】根据为偶函数得到关于对称，即有，构造函数，利用导数判断函数的单调性，可判断和的大小，将两边同时取对数可判断和的大小，最后根据在上单调递增比较大小即可.
【详解】因为为偶函数，则，
所以关于对称，所以，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
当时，由得，，则，
由上可得，又在上单调递增，
所以，即，
所以.
故选：A．
9．ABD
【分析】利用复数的乘法运算和模的概念一一求解.
【详解】因为，选项A正确；
因为，
所以，选项B正确；
因为，
,
所以，选项C错误；
因为，所以，选项D正确；
故选：ABD．
10．BC
【分析】根据三角函数性质得出或结合已知即可求参判断A,应用函数奇偶性函数判断B,C,求出函数单调增区间判断D.
【详解】和相邻交点间距是或，
即相邻交点的间距是或（是正弦函数的最小正周期）
因为为相邻两点且纵坐标相同，
设为的周期，所以或，
所以或，
所以或，又，
所以或，又，所以，选项A错误；
由为奇函数，
所以，即，
又，所以，选项B正确；
由上可知，为偶函数，选项C正确；
令，可得，
取，可知函数在区间上单调递增，选项D错误；
故选:BC．
11．ACD
【分析】令得到，将代入可判断A；分别求出，，可判断B；求出和的值可判断C；利用累乘法求出可判断D.
【详解】令得，则，即，
对于A，令得，，所以，故A正确；
对于B，，，，
所以，故B错误；
对于C，由知，当时，，
则有，，
所以，故C正确；
对于D，当且时，由得，
，故D正确，
故选：ACD．
12．
【分析】由对数运算可得，再由元素与集合的关系代入解不等式可得结果.
【详解】易知，因为，所以，
所以，即．
可得实数a的取值范围是.
故答案为：
13． /60° /0.5625
【分析】结合圆锥的图形特征应用线面角定义得出正切即可求角，再应用圆锥及球的表面积公式计算求解.
【详解】由题意可知球心在圆锥的高上，设底面的半径为，球的半径为，则，则，
所以，
因为与底面所成的角为，所以，
故．
由上可知圆锥的表面积为，
所以圆锥的表面积与球的表面积的比为．
故答案为：；.
14．
【分析】由题设、，结合已知得、，即可得结果.
【详解】若，由，可得，
所以，即，
若，则有，所以，即，
故的最小值为．
故答案为：
15．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，进而可写出分布列，再根据期望公式求期望即可；
（2）先分别求出首次达标和首次不达标第二次达标的概率，再分类讨论求解即可.
【详解】（1）由题意的可能取值为，
则有，，
，，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的期望为；
（2）由题意可知首次达标的概率为，
首次不达标第二次达标的概率为，
所以两位学生都首次就达标的概率为，
两位学生一位首次达标，另一位首次不达标而第二次达标的概率为，
两位学生首次都不达标，第二次达标的概率为，
所以至多两次测试后，两位学生全部达标的概率为．
16．(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）讨论或两种情况，并结合导数研究零点，最后根据零点个数确定参数范围.
【详解】（1）当时，，
则，
所以，
所以在点处的切线方程为，
即．
（2）令可得或，对两个方程分别讨论，
①设，则，
所以在单调递增，且，
所以存在唯一的零点，使，即，
②令，即，
设，可得，
则在上单调递增，又且时，，
当时，存在唯一的零点，使，即，
若时，得，则，可得，故，
所以且时，有两个不同的零点；
综上，实数的取值范围为．
17．(1)；
(2).
【分析】（1）取的中点，连接，先证面，进而可得面面，由面面平行的性质得，利用三角形相似得，即可求线段长度；
（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值.
【详解】（1）取的中点，连接，
由已知，得，又且都在面内，
所以面，又面，
所以面面，面面，面面，
所以，
在中，所以，
故
（2）由题意，得，因为，所以，
以为原点，直线分别为轴，轴，过点与面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，则，得，
取，得
设直线与平面所成角的为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理和抛物线定义得到，写出直线的垂直平分线方程即可求解；
（2）利用弦长公式和点到直线的距离公式求出的面积的表达式，利用换元法构造函数，根据导数判断函数的单调性并求出最大值即可求出面积的最大值.
【详解】（1）由题意抛物线的焦点为，则，
可得，设Ax1,y1，，
联立，得，，
所以，，
又，可得，
由，得或，
设的中点坐标为，则，
所以的垂直平分线方程为：，
将代入整理得，令，即得；
（2）由（1）得
，
又点到直线的距离，
则的面积为，
，
令，设，则，
令，解得，令，解得，
则在单调递增，在上单调递减，
所以当时，，即的最大值为，
所以面积的最大值为．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第二问中求解三角形的面积最值时，要利用弦长公式以及点到直线的距离求出三角形面积的表达式，进而利用导数求解最值.
19．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据阶差数列的定义，写出已知数列的阶差数列；
（2）根据已知得，应用累加法求通项公式即可；
（3）由已知得，累加法求数列的通项公式，令，则并确定单调性，进而求数列的最小值.
【详解】（1）由题意，得，；
，所以2阶数列为．
（2）因为，又，所以，
所以，
累加得，即，
所以．
（3）因为，及，得，
又，所以，两边同除，得，
当时，
，
所以，时也满足，
所以，
令，则，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增
而，所以，即时，取得最小值为．
【点睛】关键点点睛：第二问，根据定义得到为关键，第三问，根据已知条件和定义得，再应用累加求通项公式为关键.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
C
B
D
A
ABD
BC
题号
11









答案
ACD









0
1
2
3