人教版数学七年级上册期末考点巩固训练+随堂检测 专题13 有关角的问题（2份，原卷版+教师版）

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考点三 与方向角有关的计算题 考点四 角的单位与角度制
考点五 三角板中角度计算问题 考点六 角平分线的有关计算
考点七 几何图形中角度计算问题 考点八 角n等分线的有关计算
典型例题

考点一 角的表示方法
例题：下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据角的三种表示方法，可得正确答案．
【详解】A、因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用∠O表示，故本选项错误；
B、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用∠1，∠AOB，∠O表示，故本选项正确；
C、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误；
D、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误．故选：B．
【变式训练】
1．下列选项中，能用∠1，∠APB，∠P三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角的表示方法即可求解；
【详解】解：当以点P为顶点的角有多个时，不能用∠P表示∠APB，故A、C、D不符合题意；故选：B
考点二 钟面角
例题：时间为7点30分时，时针和分针形成的小于的角为___________°
【答案】
【分析】利用分针和时针的速度求夹角即可．
【详解】解：分针速度：（度/分），时针速度：（度/分）
则7点30分时夹角为：．故答案为：
【变式训练】
1．上午6点20分，钟面上的时针与分针的夹角是__________．
【答案】70°
【分析】利用钟表表盘的特征进行分析：钟表上有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，即一个大格是30°，一个大格之间有5个小格，一个小格是6°，当时针走30°，分针360°，时针是分针的 ，解答即可．
【详解】解：6点20分，分针走了30°×4=120°，时针走了120°÷12=10°，30°×2+10°=70°，
∴钟面上的时针与分针的夹角是70°，故答案为：70°．
考点三 与方向角有关的计算题
例题：如图，点M位于点O的( )
A．东偏北35°方向B．北偏东35°方向
C．东偏北55°方向D．北偏东55°方向
【答案】D
【分析】根据题意得出∠1=90°-35°=55°，再由方位角的表示方法即可得出结果．
【详解】如图，∠1=90°-35°=55°，所以，点M位于点O的北偏东55°方向．故选D．
【变式训练】
1．如图，海上有两艘军舰和，由测得的方向是（ ）
A．北偏西B．北偏西C．南偏东D．南偏东
【答案】D
【分析】根据方向角的分类及已知角度即可求解．
【详解】解：由图可得A在B的北偏西的方向上，故B在A的南偏东的方向上．故选：D．
考点四 角的单位与角度制
例题：用度、分、秒表示34.18°＝_____°_____′_____″；用度表示45°19′12″＝_____°
【答案】 34 10 48 45.32
【分析】1°=60′，1′=60″，据此计算即可．
【详解】34.18°中，整数部分是34，即有34°，0.18×60=10.8′，整数部分为10，即有10′，
0.8×60=48″，即有48秒；12″÷60=0.2′，(19′+0.2′)÷60=0.32°，即45°19′12″=45.32°．
故答案为：34,10,48,45.32．
【变式训练】
1．用度表示__________．
【答案】
【分析】根据度分秒的进制，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴用度表示，
故答案为：．
考点五 三角板中角度计算问题
例题：将一副三角尺按如图所示的方式放置，∠BOC＝35°，∠AOD的度数是_____．
【答案】145°##度
【分析】根据三角板可得∠BOC+∠BOD=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠BOC=35°，可求出∠BOD=55°，∠AOC=55°，根据角的和差关系即可求出∠AOD．
【详解】解：∵∠BOC+∠BOD=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠BOC=35°，
∴∠BOD=55°，∠AOC=55°，∴∠AOD=∠AOC+∠BOC+∠BOD=55°+35°+55°=145°．故答案为：145°．
【变式训练】
1．一副三角板摆放在一起的示意图如下，若，则∠2的度数是______．
【答案】35°
【分析】根据图形直接用平角减去一个直角及∠1即可得出结果．
【详解】解：根据图形可得：∠2=180°-90°-∠1=35°，故答案为：35°．
考点六 角平分线的有关计算
例题：如图，OB是的平分线，OD是的平分线，，．求的度数．
【答案】
【分析】先由OB是的平分线求出，从而求出，再用OD是的平分线求出，最后用计算即可．
【详解】∵OB是的平分线，，∴，
∴．
又∵OD是的平分线， ∴，
又∵，∴．
【变式训练】
1．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．
【答案】120°，30°
【分析】先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得的度数，最后根据角平分线，求得、的度数．
【详解】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠BOE=∠AOB =45°，又∵∠EOF=60°，∴∠BOF=∠EOF－∠BOE= 15°，又∵OF平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOF=30°，∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°，故∠AOC=120°，∠COB=30°．
考点七 几何图形中角度计算问题
例题：如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以为顶点的相等的角；
(2)若，求度数；
(3)写出与之间所具有的数量关系；
(4)当三角板绕点旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．
【答案】(1)，；(2)；(3)与互补；(4)不变，见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等作答；
（2）由图得∠DCE＝90°−∠ACE，求∠ACE的度数即可；
（3）∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°；
（4）由（3）可得，当三角板ACD绕点C旋转时，不变化．
（1）解：根据同角的余角相等可得：∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB．
（2）解：∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°，∴∠ACE＝150°−90°＝60°，
∴∠DCE＝90°−∠ACE＝90°−60°＝30°．
（3）解：∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，∴∠ACB与∠DCE互补．
（4）解：不变化．∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴无论如何旋转，∠ACB与∠DCE互补．
【变式训练】
1．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注：
(1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 ；
(2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数；
(3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)20；(2)；(3)，理由见解析
【分析】（1）根据图形得出，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出，代入，求出，代入求出即可；
（3）根据图形得出，，相减即可求出答案．
（1）解：．故答案为：20．
（2）解：平分，，，
，，，．
（3）解：，理由如下：
，，
，即．
考点八 角n等分线的有关计算
例题：若，为的三等分线，则_______．
【答案】或
【分析】分当OC是∠AOB靠近OA的三等分线和当OC时∠AOB靠近OB的三等分线两种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，当OC是∠AOB靠近OA的三等分线，∴；
如图所示，当OC时∠AOB靠近OB的三等分线，，故答案为：40°或80°．
【变式训练】
1．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝________°．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵∠BOE=∠BOC，∴∠BOC=n∠BOE，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
∴∠BOD=∠AOB=+∠BOE，∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=，故答案为：．
课后训练
一、选择题
1．如图，下列各个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角的表示方法判断即可．
【详解】解：A、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；
B、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；
C、图形中的∠1，能用∠AOB，∠O表示，本选项符合题意；
D、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；故选：C．
2．如图，OC是的平分线，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据可得的度数，再根据角平分线的定义即可得．
【详解】解：∵，，，
是的平分线，，故选：C．
3．小明从A处出发沿北偏东50°方向行走至B处，又从B处沿南偏东70°方向行走至C处，则∠ABC等于（ ）
A．20°B．100°C．120°D．160°
【答案】C
【分析】根据方向角求出∠EBC，再根据平行线的性质求出∠ABE即可得出答案．
【详解】解：如图：
∵小明从A处沿北偏东50°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，
∴∠DAB=50°，∠CBE=70°， ∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE=∠DAB=50°， ∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=50°+70°=120°． 故选C．
4．如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知∠AOB =160°，则∠COD的度数为( )
A．20°B．30°C．40°D．50°
【答案】A
【分析】先根据直角三角板的性质得出，进而可得出的度数．
【详解】解：，是一副直角三角板，，
，
，，故选：．
二、填空题
5．将28°36'用度表示为_____________°．
【答案】28.6
【分析】根据1°=60′，1′=60″，进行计算即可解答．
【详解】解：28°36′=28.6°故答案为：28.6
6.如图，∠AOB=160°，∠COB=20°．若OD平分∠AOC，则∠AOD的大小为______．
【答案】70°
【分析】由∠AOB=160°，∠COB=20°，得∠AOC=∠AOB-∠BOC=140°，又OD平分∠AOC，即得∠AOD=∠AOC=70°．
【详解】解：∵∠AOB=160°，∠COB=20°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=140°，
∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠AOC=70°，故答案为：70°．
7.在同一平面内，若，，则____________．
【答案】或
【分析】分OC在∠AOB内和OC在∠AOB外两种情况考虑，依此画出图形，根据角与角之间结合∠AOB、∠AOC的度数，即可求出∠BOC的度数．
【详解】解：当OC在∠AOB内时，如图所示，
∵∠AOB=75°，∠AOC=27°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=75°-27°=48°；
当OC在∠AOB外时，如图所示，∵∠AOB=75°，∠AOC=27°，∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=75°+27°=102°．
故答案为：48°或102°．
8.已知，射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，当射线再次与射线更合时．两条射线同时停止旋转，当时，两条射线旋转的时间t的值为___．
【答案】10或20或70
【分析】根据时间和速度分别得和的度数，再由角的和与差表示出，即可列方程求解可得结论，需要注意分类讨论．
【详解】由题意得： ，当与没有相遇前，此时，，
，∴，解得：；
当与相遇以后在右边时，此时，，
，∴，解得：；
当与相遇以后在左边时，此时，，
，∴，解得：；
综上所述，当时，两条射线旋转的时间t的值为10或20或70．
故答案为：10或20或70．
三、解答题
9．计算：(1) (2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
（2）解：原式
10．如图，已知，平分，且，求的度数．
【答案】108°
【分析】设，则、、均可用x表示出来，由来列方程，求出x，即可得出答案．
【详解】解：设，则，∵平分，∴，
又∵，∴，解得，，∴．
11.时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
(1)分针每分钟转了几度？
(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于？
(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于？
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据分针一小时转一圈即360°，用360°除以60计算即得；
（2）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，时针与分针转过的角度差是，列方程解答即可；
（3）相对于12时整第二次所成的钝角第二次等于时，时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与之和是360°．
【详解】（1）解：∵分针一小时转一圈即360°,∴分针每分钟转过的角度是： ,
答：分针每分钟转了6度；
（2）设中午12时整后再经过x分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°，
∵时针一小时转动角度为： ，时分针每分钟转过的角度是： ；
∵分针与时针所成的钝角会第一次等于，∴时针与分针转过的角度差是，
∴，解得：，
答：中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°；
（3）设经过y分钟两针所成的钝角会第二次等于，
则从12时算起经过(y+22)分钟两针所成的钝角会第二次等于，
因为时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与之和是360°，
故列得方程：，
解得：，解得：，
答：经过分钟两针所成的钝角会第二次等于．
12.【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
【答案】(1)是；(2)40°或60°或80°；(3)或或3．
【分析】（1）由角平分线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三种情况，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三种情况讨论，由“幸运线”的定义，列出方程可求t的值．
（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”，故答案为：是．
（2）解：∵射线OC在∠AOB内部，∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，∴∠BOC=40°，∴∠AOC=80°．
②当2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，∴∠AOC=40°．
③当∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC时，OC平分∠AOB，∴∠AOC =∠AOB =60°．
综上所述：∠AOC=40°或60°或80°．故答案为： 40°或60°或80°．
（3）解：∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴射线OP在以射线OA、OQ为边构成角的内部．如下图所示：
∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,
∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①当∠AOP=2∠POQ时，则20t =2×(150-30t)，∴t=．
②若∠POQ=2∠AOP，则150-30t =2×20t，∴t=．
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，则2×20t=150-10t，∴t=3．
综上所述：t=或或3．
有关角的问题 随堂检测
1.如下图，下列说法正确的是（ ）
A．与表示同一个角B．
C．图中共有两个角：，D．表示
【答案】A
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【详解】解：A．∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项符合题意；
B．不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．图中共有三个角：，，∠AOC，故选项错误，不符合题意；
D．表示，故选项错误，不符合题意．故选：A．
2．如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（ ）
A．北偏东B．北偏东
C．北偏东D．北偏东
【答案】C
【分析】根据题意求得∠AOB的度数，根据角的和差以及，可得∠DOC的度数，即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，∴，∴，
∵，，，
．故选C．
3.在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（ ）
A．165B．186C．199D．210
【答案】D
【分析】根据已知条件得出规律为从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ，代入即可得到答案．
【详解】在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；
画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角；……
从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是
画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为 故选：D．
4.=____度____分____秒；=______度．
【答案】 55 39 36 43.54
【分析】根据“60进制”的特点进行转换，整数部分即是度的数值，小数部分乘以60得到的数的整数部分即是分的数值，再将此时的小数部分乘以60即是秒的数值；将秒的值除以3600加上分的数值除以60，再加上度的数值即可．
【详解】解：，则度的数值为55，，则分的数值为39，
，即秒的数值为36；根据1°=，得，，，
所以，故答案为：55，39，36，43.54．
5.如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点O重合，若∠AOB=165°，则∠COD的度数为____．
【答案】15°##15度
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠AOD+∠COB＝180°，进而可得出∠COD的度数．
【详解】解：∵△AOD与△BOC是一副直角三角板，∴∠AOD+∠COB＝180°，
∴∠AOC+2∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°．∵∠AOB＝165°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣165°＝15°．故答案为15°．
6.钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了_____度，分针转了_____度，8点40分时针与分针所成的角是_____度．
【答案】 20 240 20
【分析】根据分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度，乘以走的时间即可求解
【详解】钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，钟表一圈有360度、60分钟、12个小时，所以分针转动的速度等于 度/分钟，时针转动的速度等于 度/分钟．由题意可知，时针和分针都走了40分钟，所以时针转了 度，分针转了 度，8点时时针与分针所形成的角是120度，所以8点40分时针与分针所形成的角是 度．
故答案为：20；240；20
7.如果一个角α的度数为13°14′，那么关于x的方程2α﹣x＝180°﹣3x的解为______．
【答案】76°46′
【分析】将α的值代入一元一次方程，再解一元一次方程，即可解答．
【详解】解：将α的值代入x的方程中，得：2×13°14′﹣x＝180°﹣3x，2x＝180°﹣2×13°14′，
2x＝153°32′，x＝76.5°16′，x＝76°46′，关于x的方程2α﹣x＝180°﹣3x的解为：x＝76°46′，
故答案为：x＝76°46′．
8.如图，已知∠AOB＝160°，OD是∠AOB内一条射线，OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．
(1)若∠AOE＝55°，求∠EOC的度数；
(2)若∠BOC＝19°，求∠EOD的度数．
【答案】(1)∠EOC=80°(2)∠EOD=61°
【分析】（1）先根据角平分线定义，结合∠AOE＝55°得到∠EOD＝∠AOE=55°，∠AOD=110°，求出∠DOB=50°，再根据角平分线的定义求出∠DOC＝25°，根据∠EOC=∠EOD+∠DOC＝80°；
（2）先根据角平分线定义得到∠DOB＝2∠BOC＝38°，再求出∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝122°，然后根据角平分线定义得出∠EOD＝∠AOD＝61°．
（1）解：∵OE平分∠AOD，∠AOE＝55°，∴，，
∵∠AOB＝160°，∴，
∵OC平分∠BOD，∴，∴∠EOC＝∠EOD+∠DOC=55°+25°=80°．
（2）解：∵OC平分∠BOD，∠BOC＝19°，∴∠DOB＝2∠BOC＝38°，
∵∠AOB＝160°，∴∠AOD＝∠AOB-∠DOB＝122°，
∵OE平分∠AOD，∴∠EOD＝∠AOD＝61°．
9.如图，点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB．
(1)求∠DCF的大小，并说明理由；
(2)当∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB时，直接写出∠DCF的大小（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)∠DCF=60°，理由见解析；(2)∠DCF=．
【分析】（1）利用角的和与角的差，平角的定义来计算即可；
（2）根据（1）的计算模式，把换成就可得出结果．
（1）解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB，
∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=60°；
（2）解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB，
∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=．