2024-2025学年湖北省云学部分重点高中高一12月联考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省云学部分重点高中高一12月联考数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，B={1,4}，则A∩(∁UB)=( )
A. {1}B. {5}C. {1,5}D. {3,5}
2.已知f(2x+1x)=x+2x，则f(x)=( )
A. 2x−3(x≠0)B. 2x−3(x≠2)C. 2x+3(x≠0)D. 2x+3(x≠2)
3.已知a，b为实数，下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，则1ab，则ac2>bc2
C. 若a>b，则a2>b2D. 若a>b，则a3>b3
4.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈(0,1)时，f(x)=lg2x，则f(52)=( )
A. −1B. 1C. 2D. 52
5.定义在R上的奇函数f(x)满足：∀x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x20的实数x的取值范围为( )
A. (−∞,−3)∪(3,+∞)B. (−3,0)∪(3,+∞)
C. (−∞,−3)∪(0,3)D. (−3,0)∪(0,3)
6.已知幂函数f(x)=(3m2−m−1)x3m−1是定义域上的奇函数，则满足f(a+2)0且a≠1，函数f(x)=(lgax)2−4lgax在(2,3)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. [ 2,+∞)B. [ 3,+∞)C. (0,1)∪(1, 2]D. (0,1)∪(1, 3]
8.已知方程ax2−x+b=0(a,b>0)在(0,2)上有实根，则1a+1b的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题：“∃x∈R，x2−x+1≤0”的否定是“∀x∈R，x2−x+1>0”
B. “xy=0”是“x=0”的一个必要不充分条件
C. 已知函数y=f(x)的定义域为[1,3]，则函数y=f(2x−1)的定义域为[1,2]
D. 函数f(x)=(12)x2+2x+2的值域为[12,+∞)
10.下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)= x2+2+1 x2+2的最小值为2
B. 已知正实数a，b满足a+b=1，则 a+ b的最大值为 2
C. 已知正实数a，b满足a+b=1，则21a+21b的最小值为8
D. 已知实数a>1，b>1，且满足a+b=4，则lg2a⋅lg2b的最大值为1
11.已知函数f(x)的图像在[a,b]上是连续的，定义f1(x)=max{f(t)|a≤t≤x,x∈[a,b]}，f2(x)=min{f(t)|a≤t≤x,x∈[a,b]}，则下列说法正确的是( )
A. 若f(x)=(13)x，x∈[0,1]，则f1(x)=1，x∈[0,1]，f2(x)=(13)x，x∈[0,1]
B. 设f(x)=x−m2+2m，x∈[1,2]，若f1(x)=f(x)，则实数m的取值范围为(0,2)
C. 设f(x)=lg0.5(x2−ax+3a)，x∈[2,3]，若f2(x)=f(x)，则实数a的取值范围为(−4,4]
D. 已知f(x)=x2，若f1(x)−f2(x)≤k(x+1)对任意x∈[−1,2]恒成立，则实数k的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=(12)x,x≤0lg3x,x>0，则f(f(13))= ．
13.已知函数f(x)=x3+x，关于x的不等式f(x2)+f(1−ax)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围为
14.记数集A={a1,a2,⋯,an}中的最小元素a1与最大元素an的算术平均数a1+an2为集合A的“均值”，特别地，集合A={a}的“均值”为a.已知集合M={1,2,3,⋯,2025}，对于集合M任意一个非空子集X，记其“均值”为aX，则所有这样的aX的算术平均数为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算：
(1)81−14+(827)13+( 2 2)43+0.75−1×( 32)12×(634)14
(2)lg25⋅lg58+(lg5)2+lg5⋅lg20+12lg16+(12)lg23+lg84
16.(本小题15分)
已知函数y=lg2(−x2−x+2)的定义域为A，集合B={x|m−1≤x≤2m+1}
(1)若m=1，求A∩B，(∁RA)∪B
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围
17.(本小题15分)
已知f(x)为定义在R上的奇函数，且满足当x>0时，f(x)=x2+2x
(1)求f(x)的解析式
(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性，并用定义证明
18.(本小题17分)
一般的，设函数f(x)定义域为D，若对任意x∈D，都有f(2a−x)+f(x)=2b，则函数y=f(x)的图像关于点(a,b)成中心对称图形.已知函数f(x)=12x+2，g(x)=lg3(ax2+x+a)
(1)计算f(2−x)+f(x)的值，并求f(x)的对称中心
(2)若函数g(x)的值域为R，求实数a的取值范围
(3)若a=1，将区间(0,2)分成2n等分，记等分点的横坐标分别为x1，x2，⋯，x2n−1，问：是否存在正整数n，使得不等式f(x1)+f(x2)+⋯+f(x2n−1)≤g(x)+g(1x)对任意x∈(0,2)恒成立，若存在，求出所有n的值;若不存在，说明理由
19.(本小题17分)
对于函数f(x)，我们把满足f(x)=x的实数x叫做函数f(x)的不动点，满足f(f(x))=x的实数x叫做函数f(x)的稳定点，记函数f(x)的不动点的集合为A，函数f(x)的稳定点的集合为B
(1)求函数y=x2+2x−6的不动点
(2)若f(x)为定义在R上的单调递增函数，求证：A=B
(3)设f(x)=x2−ax+a，若f(x)恰好有两个稳定点x1，x2(x10得−20，x1x2>1，x1+x2>2，∴fx1>fx2，
则函数fx在(1,+∞)上单调递增．

18.解：(1)f(2−x)+f(x)=122−x+2+12x+2=2x4+2×2x+12x+2=2x+22(2x+2)=12，
所以f(x)的对称中心为(1,14).
(2)由题意知ℎ(x)=ax2+x+a的值能取遍每一个正数，
若a=0，则ℎ(x)=x，其值能取遍每一个正数，符合题意；
若a≠0，则a>0Δ=1−4a2≥0，解得0x，则f(f(x))>f(x)>x，与f(f(x))=x矛盾，舍；
若f(x)