2025年小升初复习(全国通用)：知识点08式与方程(原卷版+解析)

这是一份2025年小升初复习(全国通用)：知识点08式与方程(原卷版+解析)，共39页。

用含有字母的式子表示数量和数量关系
【例1】
一个数的百位上数字是b，十位上数字是7，个位上数字是m，这个数是（ ）。
思路引导
在数学上，一个数字所在的数位不同，其位值也就不同。百位上的数表示几个100，十位上的数表示几个10，个位上的数表示几个1。这个数为b×100＋7×10＋m×1＝100b＋70＋m。
正确解答：
100b＋70＋m
用含有字母的式子表示数量的思考方法与解决问题的方法一样，要分析数量间的关系，只是把字母看作某一个数来思考。当一个三位整数从左往右各数位上的数字分别是“a、b、c”时，表达时要用100a＋10b＋c的形式，数字写在字母的前面，乘号可以省略不写。
【变式1】
1. 有三个连续的偶数，中间一个数是m，则其他两个数分别是（ ）和（ ）。
【例2】
小学买来10个篮球和b个足球，每个篮球a元，每个足球96.8元。a－96.8表示（ ）；10a＋96.8b表示（ ）；10a－96.8b表示（ ）。
思路引导
“a－96.8”中a是篮球的单价，96.8是足球的单价，那么这个式子表示每个篮球比每个足球贵的钱数；同样的道理，根据式子求得的是什么就可以说出式子表示的意义。
正确解答：
每个篮球比每个足球贵的钱数；10个篮球和b个足球的总钱数；10个篮球比b个足球贵的钱数
要知道一个含有字母的式子表示的意义，就要理解这个式子求得的是什么数量， 那么这个式子求得的是什么就表示什么意义。
【变式2】
（2021六下· 河北邢台）
2. 甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时相对开出，两车速度分别是a千米/时和b千米/时，6小时后两车在途中相遇。A、B两地相距（ ）千米。
【例3】
如下图，摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒。
①摆5个三角形需要多少根小棒？你发现了什么规律？
②摆10个三角形需要多少根小棒？
③摆n个三角形需要多少根小棒？
思路引导
认真观察图形，可以找出三角有形个数与小棒根数之间的关系：除第一个三角形外，每增加一个三角形需要增加2根小棒。即需要小棒的根数＝2×摆成三角形的个数＋（3－2）。
正确解答：
①2×5＋（3－2）
＝2×5＋1
＝10＋1
＝11（根）
答：摆5个三角形需要11根小棒；发现了每增加一个三角形，就增加2根小棒。
②2×10＋（3－2）
＝2×10＋1
＝20＋1
＝21（根）
答：摆10个三角形需要21根小棒。
③2n＋（3－2）
＝2n＋1（根）
答：摆n个三角形需要2n＋1根小棒。
解决这类问题，找到数量之间的规律是关键。找到规律之后，还要能够用含有字母的式子把规律表示出来。
【变式3】
（2019六上·湖南怀化）
3. 用同样长的小棒摆正方形，如图：
（1）填一填。（每空1分，共2分）
（2）这样摆7个正方形，需要多少根小棒？
（3）现有31根小棒，能摆多少个这样的正方形？
求含有字母式子的值
【例4】
已知a－3b＝14，求4a－12b－5的值。
思路引导
此题考查的是求含有字母的式子的值，这里把a－3b看作一个整体，它的4倍是4a－12b，把a－3b的值代入4a－12b－5中，即可求出这个式子的值。
正确解答：

将含有几个字母的式子看作一个整体，求出这个整体的值，再代入相关的式子中，通过整理、运算，进而求出式子的值。
【变式4】
4. 已知2a＋6b＝28，那么a＋3b＝（ ）。
方程与等式
【例5】
方程和等式的关系可以用（ ）表示。
A. B.
C. D.
思路引导
由方程的定义可知：含有未知数的等式是方程；方程一定是等式，但是等式不一定都是方程，如：3＋x＝5，既是方程也是等式；3＋2＝5，是等式但不是方程。
正确解答：B
掌握方程的定义以及方程和等式的区别是解题的关键。
【变式5】
5. 4a＋8＜50、2x＋5＝55、6b－9都是方程。（ ）
解方程
【例6】
解方程
28×05＋0.6x＝32.6 4（x－58.2）＝16.8
思路引导
28×0.5＋0.6x＝32.6，先求出28×0.5的积，再根据等式的性质1，方程两边同时减去28×0.5的积，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.6，求出x的值；
，将方程左边合并为，根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以，求出x的值；
4（x－58.2）＝16.8，根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时除以4，再同时加上58.2，求出x的值。
正确解答：
28×0.5＋0.6x＝32.6
解：14＋0.6x＝32.6
14－14＋0.6x＝32.6－14
0.6x＝18.6
0.6x÷0.6＝18.6÷0.6
x＝31
解：
4（x－58.2）＝16.8
解：4（x－58.2）÷4＝16.8÷4
x－58.2＝4.2
x－58.2＋58.2＝4.2＋58.2
x＝62.4
解稍复杂的方程时，在方程的左边能先算的要先算，再根据等式的性质进行计算，解出方程后可以把方程的解代入原方程检验一下方程的两边是否相等。
【变式6】
6. 解方程。
（1）－＋7＝13 （2）19－1.2＝7 （3）－50%＝17.5
列方程解决实际问题
【例7】
甲、乙两车从相距272 千米的两地同时相向而行，3小时后两车还相隔17千米。甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米？
思路引导
第一步：根据题意可以画出线段图。
第二步：由线段图分析题中的数量关系。
两车行驶的路程＋相隔的距离＝总路程
甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＋相隔的距离 ＝ 总路程
两车行驶的路程＝总路程－相隔的距离
甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝总路程－相隔的距离
第三步：根据不同的等量关系式，可列出不同的方程求解。
正确解答：
解：设乙车每小时行x千米。
方法一：（45＋x）×3＋17＝272
（45＋x）×3＝255
45＋x＝85
x＝40
方法二：45×3＋3x＋17＝272
152＋3x＝272
3x＝120
x＝40
方法三：（45＋x）×3＝272－17
（45＋x）×3＝255
45＋x＝85
x＝40
方法四：45×3＋3x＝272－17
135＋3x＝255
3x＝120
x＝40
答：乙车每小时行40千米。
生活中有许多需要逆思考的问题，这些问题思路复杂，难以解决。如果用列方程的方法来解，不需要逆思考，只需根据最简单、直接、明显的数量关系式，将其中的未知量设x，列出方程即可解决。
变式7】
（2021五上·辽宁阜新）
7. 一个正方形花坛的周长是。如果把这个花坛改为长方形，周长不变，宽4米，长是多少米？（列方程解答）
【例8】
有三筐同样重的苹果，取出第一筐的一半，第二筐的35%，从第三筐中取出12千克，这时三筐剩下的苹果恰好等于原来两筐苹果的质量。原来每筐苹果重多少千克？
思路引导
第一步：分析数量关系。根据“三筐剩下的苹果恰好等于原来两筐苹果的质量”可知，取出的苹果一共等于一筐苹果的质量。
第二步：把一筐苹果的质量设为x，根据数量关系式列方程解答。
一筐苹果的质量－第一筐中取出的质量－第二筐中取出的质量＝第三筐中取出的质量。
正确解答：
解：设原来每筐苹果重x千克。
x－x－35%x＝12
15%x＝12
x＝80
答：原来每筐苹果重80千克。
在列方程解决实际问题时，最关键的是找到数量之间的等量关系。有时数量关系不那么明显，需要联系题目的各个条件进行分析，将已知量放在数量关系式的右边，列出方程进而解答。
【变式8】
8. 笑笑今年的年龄正好是爸爸的，爸爸比笑笑大24岁，爸爸和笑笑今年分别是多少岁？
一、填空。
（2021五上· 江苏扬州）
9. 大诗人李白笔下的诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”广为流传。若唐代的一尺相当于现在的x米，诗中的三千尺相当于现在的（ ）米，如果唐代的一千尺约为现在的307米，那么x约表示（ ）米。
（2022六上·重庆高新区）
10. 小聪设计了一个计算机程序：输入一个数→除以0.4→加上m→输出数据。
（1）如果输入一个数是a，则输出的数据是（ ）。
（2）当小聪输入的数是20时，输出的数是100。那么当小聪输入的数是100时，输出的数是（ ）。
（2021六下·湖南岳阳）
11. 在学校组织的“爱阅读”活动中，小明看一本书，看了a天，平均每天看20页，还剩5页没看，这本书的总页数用含有字母的式子表示是（ ）。当a＝13时，小明看到这本书是（ ）。
（2022六下·山西太原）
12. 一台半自动洗衣机，如果按定价销售，可以获得利润200元，如果按定价打七折销售，就会亏损100元，这台半自动洗衣机的成本是（ ）元。
（2021六下·辽宁阜新）
13. 一辆公共汽车到站时，有5人下车，8人上车，车上现有15人，车上原有x人，等量关系式为（ ）。
（2021六下·福建莆田）
14. 一个养殖场养的鸡和鸭共有225只，先卖出鸡的37.5%，又买来100只鸭，这时鸡和鸭的只数正好相等。原来养的鸡有（ ）只。
（2021六下· 浙江台州）
15. 一件玩具去年售价a元，今年售价比去年上涨了20%，用含有a的式子表示今年的售价是（ ）元。如果去年的售价是100元，那么今年的售价是（ ）元。
（2022六下·陕西榆林）
16. 下列图形都是由同样大小的正方形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个正方形，第②个图形中一共有7个正方形，第③个图形中一共有13个正方形，……，按此规律排列下去，第⑦个图形中一共有（ ）个正方形。
……
① ② ③ ④
二、选择。
（2021六下·山东枣庄）
17. 在下列各式中，是方程的是（ ）。
A. 14×5＝2MB. 3x＋91＜8C. 25.5＝50%×51D. ＝6.28
（2021六下·福建福州）
18. 当时，a等于（ ）。
A. 1或0B. 2或0C. 3或0D. 4或0
（2021六下·广东佛山）
19. 姐姐比小丽大岁。小丽今年10岁，五年后姐姐比小丽大（ ）岁。
A B. 10C. D.
（2021六上·福建宁德）
20. 下面选项中，能用2a＋8表示的是（ ）。
A. 如图中整条线段的总长度：B. 如图中整条线段的总长度：
C. 如图的面积：D. 如图的周长：
（2021六下·深圳福田）
21. 下面各组的两个式子中，结果不一定相等的是（ ）。
A. a＋b和b＋aB. 2a和a＋a
C. a2和a＋aD. a3和a×a×a
（2022六下·山西太原）
22. 在“0.8m＋2.5n＝33”中，若m＝10，则n 的值为（ ）。
A. 10B. 8C. 2
（2021六下· 浙江台州温岭）
23. 下面不能用方程“”来表示的是（ ）。
A. B.
C. D.
（2022六下·山西太原）
24. 某建筑队修筑一段公路，原计划每天修56米，15天完成，实际上每天多修4米，如果实际上用了x天修完，则正确的方程是（ ）。
A. 56×15＝（56＋4）xB. 56＝15x
C. （56＋4）×15＝56xD. 15x＝56＋4
三、计算。
（2022六上·广东珠海）
25. 解方程。
（1） （2）
（3） （4）20%x＋15＝35%x
四、解决问题。
（2021六下·浙江台州）
26. 数学与思考：如图，根据小棒摆放规律，第幅图的形状是（ ），摆第n个图形需要用（ ）根小棒。
（2021六上·福建宁德）
27. 两个小队共植树105棵，其中第二小队植树棵数是第一小队的，两个小队各植树多少棵？（先把线段图补充完整，再解答）
（2022六下·湖北襄阳）
28. 为推进“绿色襄阳”和“美丽襄阳”建设，转变城市生活垃圾治理模式，襄阳市积极倡导“垃圾分类就是新时尚”理念，引导市民参与生活垃圾分类。如下图，春天小区添置了一个“智能垃圾分类回收机”。
秦阿姨往回收机里投递3千克废报纸和一些旧衣服，共得到5.20元秦阿姨投递了多少旧衣服？（用方程解答）
（2021六下·河南鹤壁）
29. 改革开放40多年来，我国铁路运行的列车发生了巨大变化。从普通列车到快速列车，现在已经发展到了高速列车（如“和谐号”、“复兴号”），中国铁路技术装备达到了“领跑世界”的先进水平。下面是一些列车运行速度的信息。
（1）根据信息1和信息2，请你提出一个数学问题，并解答。
提出的问题是：
解答过程：
（2）要求“复兴号”列车的运行速度，需要用到上面的信息（ ）和信息（ ）。（填序号）
“复兴号”列车的运行速度是多少？
（3）从甲地到乙地普通列车的票价是150元，比“和谐号”列车的票价便宜，“和谐号”列车的票价是多少元？（用方程解答）
（2021六下·辽宁）
30. 育英小学计划配置18台电脑，逸夫小学计划配置50台电脑。现有甲、乙两个电脑公司，甲公司的报价为每台5800元，优惠条件按是购买10台以上则从第11台开始可按报价的70%计算，乙公司的报价也是每台5800元，但优惠条件是为了支持教育，每台均按报价的85%来计算。
（1）在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，两家学校各应选择哪家公司？请计算说明。
（2）在购买多少台的情况下，两家公司的价格完全一样？
第八节：数量关系（二） 式与方程
用含有字母的式子表示数量和数量关系
【例1】
一个数的百位上数字是b，十位上数字是7，个位上数字是m，这个数是（ ）。
思路引导
在数学上，一个数字所在的数位不同，其位值也就不同。百位上的数表示几个100，十位上的数表示几个10，个位上的数表示几个1。这个数为b×100＋7×10＋m×1＝100b＋70＋m。
正确解答：
100b＋70＋m
用含有字母的式子表示数量的思考方法与解决问题的方法一样，要分析数量间的关系，只是把字母看作某一个数来思考。当一个三位整数从左往右各数位上的数字分别是“a、b、c”时，表达时要用100a＋10b＋c的形式，数字写在字母的前面，乘号可以省略不写。
【变式1】
1. 有三个连续的偶数，中间一个数是m，则其他两个数分别是（ ）和（ ）。
【答案】 ①. m－2 ②. m＋2
【解析】
【分析】根据偶数的排列规律：相邻的偶数相差2，中间一个数是m，前一个数是m－2，后一个数是m＋2，据此解答。
【详解】由分析可知：
中间一个数是m，前一个数是m－2，后一个数是m＋2。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握偶数的排列规律，以及用字母表示数的方法。
【例2】
小学买来10个篮球和b个足球，每个篮球a元，每个足球96.8元。a－96.8表示（ ）；10a＋96.8b表示（ ）；10a－96.8b表示（ ）。
思路引导
“a－96.8”中a是篮球的单价，96.8是足球的单价，那么这个式子表示每个篮球比每个足球贵的钱数；同样的道理，根据式子求得的是什么就可以说出式子表示的意义。
正确解答：
每个篮球比每个足球贵的钱数；10个篮球和b个足球的总钱数；10个篮球比b个足球贵的钱数
要知道一个含有字母的式子表示的意义，就要理解这个式子求得的是什么数量， 那么这个式子求得的是什么就表示什么意义。
【变式2】
（2021六下· 河北邢台）
2. 甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时相对开出，两车速度分别是a千米/时和b千米/时，6小时后两车在途中相遇。A、B两地相距（ ）千米。
【答案】6a＋6b
【解析】
【分析】根据公式：路程＝速度×时间；用a×6，求出甲车6小时行驶距离；用b×6，求出乙车6小时行驶的距离；甲车行驶的距离＋乙车行驶的距离＝甲、乙两地的距离，据此解答。
【详解】a×6＋b×6
＝6a＋6b（千米）
所以A、B两地相距（6a＋6b）千米。
【点睛】根据速度、时间和距离三者的关系以及用字母表示数的知识进行解答。
【例3】
如下图，摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒。
①摆5个三角形需要多少根小棒？你发现了什么规律？
②摆10个三角形需要多少根小棒？
③摆n个三角形需要多少根小棒？
思路引导
认真观察图形，可以找出三角有形个数与小棒根数之间的关系：除第一个三角形外，每增加一个三角形需要增加2根小棒。即需要小棒的根数＝2×摆成三角形的个数＋（3－2）。
正确解答：
①2×5＋（3－2）
＝2×5＋1
＝10＋1
＝11（根）
答：摆5个三角形需要11根小棒；发现了每增加一个三角形，就增加2根小棒。
②2×10＋（3－2）
＝2×10＋1
＝20＋1
＝21（根）
答：摆10个三角形需要21根小棒。
③2n＋（3－2）
＝2n＋1（根）
答：摆n个三角形需要2n＋1根小棒。
解决这类问题，找到数量之间的规律是关键。找到规律之后，还要能够用含有字母的式子把规律表示出来。
【变式3】
（2019六上·湖南怀化）
3. 用同样长的小棒摆正方形，如图：
（1）填一填。（每空1分，共2分）
（2）这样摆7个正方形，需要多少根小棒？
（3）现有31根小棒，能摆多少个这样的正方形？
【答案】（1）见详解
（2）22根
（3）10个
【解析】
【分析】观察图形分析表格，找出第n个图形小棒的根数＝1＋3n，根据规律代入求值即可解答。
【详解】（1）
4个正方形小棒根数：1＋3×4＝13（根）
5个正方形小棒根数：1＋3×5＝16（根）
（2）1＋3×7＝22（根）
答：摆7个正方形，需要22根小棒。
（3）解：设31根小棒，能摆n个这样的正方形。
1＋3n＝31
3n＝31－1
3n＝30
n＝30÷3
n＝10
答：31根小棒，能摆10个这样的正方形。
【点睛】分析图形和表格找到小棒和图形个数的关系是解答本题的关键。
求含有字母式子的值
【例4】
已知a－3b＝14，求4a－12b－5的值。
思路引导
此题考查的是求含有字母的式子的值，这里把a－3b看作一个整体，它的4倍是4a－12b，把a－3b的值代入4a－12b－5中，即可求出这个式子的值。
正确解答：

将含有几个字母的式子看作一个整体，求出这个整体的值，再代入相关的式子中，通过整理、运算，进而求出式子的值。
【变式4】
4. 已知2a＋6b＝28，那么a＋3b＝（ ）。
【答案】14
【解析】
【分析】把2a＋6b化为2×（a＋3b），再利用等式的性质2，方程两边同时除以2，即可求得。
【详解】2a＋6b＝28
解：2×（a＋3b）＝28
（a＋3b）×2÷2＝28÷2
a＋3b＝14
【点睛】把2a＋6b看作一个整体，分析出2a＋6b是a＋3b的2倍是解答题目的关键。
方程与等式
【例5】
方程和等式的关系可以用（ ）表示。
A. B.
C. D.
思路引导
由方程的定义可知：含有未知数的等式是方程；方程一定是等式，但是等式不一定都是方程，如：3＋x＝5，既是方程也是等式；3＋2＝5，是等式但不是方程。
正确解答：B
掌握方程的定义以及方程和等式的区别是解题的关键。
【变式5】
5. 4a＋8＜50、2x＋5＝55、6b－9都是方程。（ ）
【答案】×
【解析】
【分析】含有未知数的等式叫做方程，据此解答。
【详解】4a＋8＜50、6b－9不是方程，2x＋5＝55是方程。
故答案为：×
【点睛】本题考查了学生对方程的定义与理解。
解方程
【例6】
解方程
28×0.5＋0.6x＝32.6 4（x－58.2）＝16.8
思路引导
28×0.5＋0.6x＝32.6，先求出28×0.5的积，再根据等式的性质1，方程两边同时减去28×0.5的积，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.6，求出x的值；
，将方程左边合并为，根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以，求出x的值；
4（x－58.2）＝16.8，根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时除以4，再同时加上58.2，求出x的值。
正确解答：
28×0.5＋0.6x＝32.6
解：14＋06x＝32.6
14－14＋0.6x＝32.6－14
0.6x＝18.6
0.6x÷0.6＝18.6÷0.6
x＝31
解：
4（x－58.2）＝16.8
解：4（x－58.2）÷4＝16.8÷4
x－58.2＝4.2
x－58.2＋58.2＝4.2＋58.2
x＝62.4
解稍复杂方程时，在方程的左边能先算的要先算，再根据等式的性质进行计算，解出方程后可以把方程的解代入原方程检验一下方程的两边是否相等。
【变式6】
6. 解方程。
（1）－＋7＝13 （2）19－1.2＝7 （3）－50%＝17.5
【答案】（1）＝72；（2）＝10；（3）＝70
【解析】
【分析】根据等式的性质解方程。
（1）先计算方程左边的－＋7，把方程化简成＋7＝13，然后方程两边先同时减去7，再同时除以，求出方程的解；
（2）方程两边先同时加上1.2，再同时减去7，最后同时除以1.2，求出方程的解；
（3）先计算方程左边－50%，把方程化简成0.25＝17.5，然后方程两边同时除以0.25，求出方程的解。
【详解】（1）－＋7＝13
解：－＋7＝13
＋7＝13
＋7－7＝13－7
＝6
÷＝6÷
＝6×12
＝72
（2）19－1.2＝7
解：19－1.2＋1.2＝7＋1.2
7＋1.2＝19
7＋1.2－7＝19－7
1.2＝12
1.2÷1.2＝12÷1.2
＝10
（3）－50%＝17.5
解：0.75－0.5＝17.5
0.25＝17.5
0.25÷0.25＝17.5÷0.25
＝70
列方程解决实际问题
【例7】
甲、乙两车从相距272 千米的两地同时相向而行，3小时后两车还相隔17千米。甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米？
思路引导
第一步：根据题意可以画出线段图。
第二步：由线段图分析题中的数量关系。
两车行驶的路程＋相隔的距离＝总路程
甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＋相隔的距离 ＝ 总路程
两车行驶的路程＝总路程－相隔的距离
甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝总路程－相隔的距离
第三步：根据不同的等量关系式，可列出不同的方程求解。
正确解答：
解：设乙车每小时行x千米。
方法一：（45＋x）×3＋17＝272
（45＋x）×3＝255
45＋x＝85
x＝40
方法二：45×3＋3x＋17＝272
152＋3x＝272
3x＝120
x＝40
方法三：（45＋x）×3＝272－17
（45＋x）×3＝255
45＋x＝85
x＝40
方法四：45×3＋3x＝272－17
135＋3x＝255
3x＝120
x＝40
答：乙车每小时行40千米。
生活中有许多需要逆思考的问题，这些问题思路复杂，难以解决。如果用列方程的方法来解，不需要逆思考，只需根据最简单、直接、明显的数量关系式，将其中的未知量设x，列出方程即可解决。
【变式7】
（2021五上·辽宁阜新）
7. 一个正方形花坛的周长是。如果把这个花坛改为长方形，周长不变，宽4米，长是多少米？（列方程解答）
【答案】8米
【解析】
【分析】根据题意可知长方形的周长是24米，长方形的周长公式：（长＋宽）×2＝24来列方程解答。
【详解】解：设长方形的长为x米。
（4＋x）×2＝24
（4＋x）×2÷2＝24÷2
4＋x＝12
4＋x－4＝12－4
x＝8
答：长是8米。
【点睛】此题的等量关系是长方形的周长公式，再根据等式的2个性质来解方程。
【例8】
有三筐同样重的苹果，取出第一筐的一半，第二筐的35%，从第三筐中取出12千克，这时三筐剩下的苹果恰好等于原来两筐苹果的质量。原来每筐苹果重多少千克？
思路引导
第一步：分析数量关系。根据“三筐剩下的苹果恰好等于原来两筐苹果的质量”可知，取出的苹果一共等于一筐苹果的质量。
第二步：把一筐苹果的质量设为x，根据数量关系式列方程解答。
一筐苹果的质量－第一筐中取出的质量－第二筐中取出的质量＝第三筐中取出的质量。
正确解答：
解：设原来每筐苹果重x千克。
x－x－35%x＝12
15%x＝12
x＝80
答：原来每筐苹果重80千克。
在列方程解决实际问题时，最关键的是找到数量之间的等量关系。有时数量关系不那么明显，需要联系题目的各个条件进行分析，将已知量放在数量关系式的右边，列出方程进而解答。
【变式8】
8. 笑笑今年的年龄正好是爸爸的，爸爸比笑笑大24岁，爸爸和笑笑今年分别是多少岁？
【答案】爸爸36岁，笑笑12岁
【解析】
【分析】将爸爸的年龄设为x岁，那么笑笑的年龄是x岁。据此，再根据“爸爸年龄－笑笑年龄＝24岁”这一数量关系列方程解方程即可。
【详解】解：设爸爸今年的年龄是x岁。
x－x＝24
x＝24
x＝24÷
x＝36
36×＝12（岁）
答：爸爸今年36岁，笑笑今年12岁。
【点睛】本题考查了简易方程的应用，能根据题意找出数量关系并列方程是解题的关键。
一、填空。
（2021五上· 江苏扬州）
9. 大诗人李白笔下的诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”广为流传。若唐代的一尺相当于现在的x米，诗中的三千尺相当于现在的（ ）米，如果唐代的一千尺约为现在的307米，那么x约表示（ ）米。
【答案】 ①. 3000x ②. 0.307
【解析】
【分析】第一个空，若唐代的一尺相当于现在的x米，那么三千尺相当于x的3000倍，即3000×x＝3000x米；
第二个空：唐代的一千尺约是现在的307米，则一尺相当于307÷1000＝0.307米，即x约表示0.307米。
【详解】3000×x＝3000x（米）；
307÷1000＝0.307（米）
则x约表示0.307米。
【点睛】解答此题的关键是正确找出题目中数据的关系，再灵活选用乘法或除法解答，数字和字母之间的乘号可以省略，数字在前，字母在后。
（2022六上·重庆高新区）
10. 小聪设计了一个计算机程序：输入一个数→除以0.4→加上m→输出数据。
（1）如果输入一个数是a，则输出的数据是（ ）。
（2）当小聪输入的数是20时，输出的数是100。那么当小聪输入的数是100时，输出的数是（ ）。
【答案】 ①. a÷0.4＋m ②. 300
【解析】
【分析】（1）根据题干描述，输入一个数→除以0.4→加上m→输出数据，列式即可。
（2）求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算，先求出m，再求出输入100时的结果。
【详解】（1）如果输入一个数是a，则输出的数据是a÷0.4＋m。
（2）100－20÷0.4
＝100－50
＝50
a÷0.4＋50
＝100÷0.4＋50
＝250＋50
＝300
【点睛】当字母的数值确定时，把它代入含有字母的式子中进行计算，所得的结果就是含有字母的式子的值。
（2021六下·湖南岳阳）
11. 在学校组织的“爱阅读”活动中，小明看一本书，看了a天，平均每天看20页，还剩5页没看，这本书的总页数用含有字母的式子表示是（ ）。当a＝13时，小明看到这本书是（ ）。
【答案】 ①. 20a＋5 ②. 265页
【解析】
【分析】根据平均每天看的页数×天数＝看的页数，看的页数＋还剩的页数＝总页数，表示出总页数；将a＝13代入前边含字母的算式计算即可。
【详解】20×a＋5＝20a＋5
20a＋5
＝20×13＋5
＝260＋5
＝265（页）
【点睛】字母可以表示任意的数，当字母的数值确定时，把它代入含有字母的式子中进行计算，所得的结果就是含有字母的式子的值。
（2022六下·山西太原）
12. 一台半自动洗衣机，如果按定价销售，可以获得利润200元，如果按定价打七折销售，就会亏损100元，这台半自动洗衣机的成本是（ ）元。
【答案】800
【解析】
【分析】由题意可知，设这台半自动洗衣机的成本是x元，则定价为（x＋200）元，然后根据成本价－定价的七折＝100，据此列方程，解方程即可。
【详解】解：设这台半自动洗衣机的成本是x元，则定价为（x＋200）元。
x－（x＋200）×70%＝100
x－0.7x－140＝100
0.3x＝240
x＝800
则这台半自动洗衣机的成本是800元。
【点睛】本题考查折扣问题，明确七折即70%是解题的关键。
（2021六下·辽宁阜新）
13. 一辆公共汽车到站时，有5人下车，8人上车，车上现有15人，车上原有x人，等量关系式为（ ）。
【答案】x－5＋8＝15
【解析】
【分析】根据题意，车上原有的人数减去下车的人数再加上上车的人数等于车上现有的人数，即可解答。
【详解】根据分析可得：等量关系式为：x－5＋8＝15。
【点睛】解答此题的关键：先分析各部分之间的关系，再列出方程。
（2021六下·福建莆田）
14. 一个养殖场养的鸡和鸭共有225只，先卖出鸡的37.5%，又买来100只鸭，这时鸡和鸭的只数正好相等。原来养的鸡有（ ）只。
【答案】200
【解析】
【分析】根据题干可知，鸡和鸭共有225只，鸡剩下1－37.5%与又买来100只鸭后得数量相等，设原来养的鸡有x只，列出等量关系式：原来鸡的只数×（1－37.5%）＝原来鸭只数＋100，据此列方程解答。
【详解】解：设原来养的鸡有x只，则鸭的只数为225－x只。
x×（1－37.5%）＝（225－x）＋100
0.625x＝325－x
x＝200
则原来养的鸡有200只。
【点睛】此题考查的是百分数应用题，解答此题关键是根据等量关系列方程解答。
（2021六下· 浙江台州）
15. 一件玩具去年售价a元，今年售价比去年上涨了20%，用含有a的式子表示今年的售价是（ ）元。如果去年的售价是100元，那么今年的售价是（ ）元。
【答案】 ①. 1.2a ②. 120
【解析】
【分析】把去年的售价看作单位“1”，则今年售价是去年的1＋20%，所以今年的售价是（1＋20%）a；把去年的售价100元，代入到上面的式子中即可。
【详解】由分析可知：
用含有a的式子表示今年的售价是1.2a。
当a＝100时，代入到式子中得：
1.2a＝1.2×100＝120
【点睛】本题考查用字母表示数，明确数量关系是解题的关键。
（2022六下·陕西榆林）
16. 下列图形都是由同样大小的正方形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个正方形，第②个图形中一共有7个正方形，第③个图形中一共有13个正方形，……，按此规律排列下去，第⑦个图形中一共有（ ）个正方形。
……
① ② ③ ④
【答案】57
【解析】
【分析】如图：每个图形都拆解成两部分来看，第①个图形一共有（2＋1）个正方形，第②个图形有（3＋2×2）个正方形，第③个图形中一共有（4＋3×3）个正方形，第④个图形中一共有（5＋4×4）个正方形，依此类推，即可求出第⑦个图形中一共有多少个正方形。
【详解】第①个图形一共有：2＋1＝3（个）
第②个图形一共有：3＋2×2
＝3＋4
＝7（个）
第③个图形中一共有：4＋3×3
＝4＋9
＝13（个）
所以第⑦个图形中一共有：
8＋7×7
＝8＋49
＝57（个）
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。
二、选择。
（2021六下·山东枣庄）
17. 在下列各式中，是方程的是（ ）。
A. 14×5＝2MB. 3x＋91＜8C. 25.5＝50%×51D. ＝6.28
【答案】A
【解析】
【分析】含有未知数的等式叫做方程，由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可，据此判断。
【详解】A．14×5＝2M，式子中含有未知数M，14×5＝2M也是等式，所以14×5＝2M是方程；
B．3x＋91＜8，式子中含有未知数x，但3x＋91＜8不是等式，所以3x＋91＜8不是方程；
C．25.5＝50%×51是等式，但式子中不含未知数，所以25.5＝50%×51不是方程；
D．＝6.28是等式，但式子中不含未知数，所以＝6.28不是方程。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查根据方程的意义来辨识方程，明确只有含有未知数的等式才是方程。
（2021六下·福建福州）
18. 当时，a等于（ ）。
A. 1或0B. 2或0C. 3或0D. 4或0
【答案】B
【解析】
【分析】分等于0和不等于0两种情况讨论即可。
【详解】当a＝0时，a2＝0，2a＝0，a2＝2a；
当a≠0时，将a2＝2a的两边同时除以a，得a＝2
综上可知：a等于0或2。
故答案为：B
【点睛】解题时不要丢掉a≠0这种情况。
（2021六下·广东佛山）
19. 姐姐比小丽大岁。小丽今年10岁，五年后姐姐比小丽大（ ）岁。
A. B. 10C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据年龄差不变，姐姐比小丽大岁，那不管几年后，她们的年龄差永远都是，据此解答即可。
【详解】由分析可知，五年后姐姐比小丽大岁。
故选：A
【点睛】本题考查年龄问题，明确两个年龄差是不变的是解题的关键。
（2021六上·福建宁德）
20. 下面选项中，能用2a＋8表示的是（ ）。
A. 如图中整条线段的总长度：B. 如图中整条线段的总长度：
C. 如图的面积：D. 如图的周长：
【答案】D
【解析】
【分析】2a＋8：表示两个a相加的和，再加上8，据此观察四幅图，解答此题。
【详解】A．表示的是线段的长度：2＋a＋8；
B．表示的是线段的长度：a＋8＋8
C．给出了长方形的长是8，宽是a，据此可知长方形的面积是8×a＝8a；
D．观察图可知图形的周长是：2（4＋a）＝2a＋8。
故选：D。
【点睛】解答本题的关键是认真观察图，熟记长方形的周长和面积公式：长方形的周长＝（长＋宽）×2；长方形的面积＝长×宽。
（2021六下·深圳福田）
21. 下面各组的两个式子中，结果不一定相等的是（ ）。
A. a＋b和b＋aB. 2a和a＋a
C. a2和a＋aD. a3和a×a×a
【答案】C
【解析】
【分析】根据加法交换律和字母表示数的化简方法进行分析。
【详解】A． a＋b和b＋a，利用了加法交换律，结果相等；B. 2a和a＋a，结果相等；
C． a2和a＋a， a2＝a×a，选项不相等；D. a3和a×a×a，结果相等。
故答案为：C
【点睛】本题考查了字母表示数，字母与数相乘，可以省略乘号，字母在前。
（2022六下·山西太原）
22. 在“0.8m＋2.5n＝33”中，若m＝10，则n 的值为（ ）。
A. 10B. 8C. 2
【答案】A
【解析】
【分析】解决本题需要先把m＝10带入方程再解决。
【详解】先把m＝10带入方程，即0.8m＋2.5n＝33，0.8×10＋2.5n ＝33，8＋2.5n＝33，再利用等式的性质（一）“方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立”，即8－8＋2.5n＝33－8，2.5n＝25；再根据等式的性质（二）“方程两边同时乘或除以一个不等于0的数，等式仍然成立”，即2.5 n÷2.5＝25÷2.5，n＝10。
故答案为：A
【点睛】本题考查解方程的知识
（2021六下· 浙江台州温岭）
23. 下面不能用方程“”来表示的是（ ）。
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程的意义，逐一分析各项即可。
【详解】A．每个小正方形表示x，共有4个小正方形，共表示80，可列方程；
B．每小段表示xcm，共有5个小段，也就是共有80cm，可列方程5x＝80；
C．80×2÷（5＋15）
＝160÷20
＝8（cm）
阴影部分是一个三角形，则可列方程2x＝5×8，即；
D．等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以列方程x＋3x＝80即4x＝80。
故答案为：B
【点睛】本题考查用方程解决问题，明确数量关系是解题的关键。
（2022六下·山西太原）
24. 某建筑队修筑一段公路，原计划每天修56米，15天完成，实际上每天多修4米，如果实际上用了x天修完，则正确的方程是（ ）。
A. 56×15＝（56＋4）xB. 56＝15x
C. （56＋4）×15＝56xD. 15x＝56＋4
【答案】A
【解析】
【分析】根据工资总量＝工作效率×工作时间列方程就可以解决。
【详解】由于前后工作总量不变，故根据工资总量＝工作效率×工作时间列方程得：56×15＝（56＋4）x
故答案为：A
三、计算。
（2022六上·广东珠海）
25. 解方程。
（1） （2）
（3） （4）20%x＋15＝35%x
【答案】（1）；（2）
（3）；（4）x＝100
【解析】
【分析】（1）用被除数除以商，解出除数；
（2）先合并，再将等式两边同时除以，解出；
（3）先计算，再将等式两边同时加上，最后将等式两边同时除以19，解出；
（4）将等式两边同时减去20%x，求出15%x的值，再将等式两边同时除以15%，解出x。
【详解】（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）20%x＋15＝35%x
解：35%x－20%x＝15
15%x＝15
x＝15÷15%
x＝100
四、解决问题。
（2021六下·浙江台州）
26. 数学与思考：如图，根据小棒摆放的规律，第幅图的形状是（ ），摆第n个图形需要用（ ）根小棒。
【答案】 ①. 梯形 ②. 2n＋1
【解析】
【分析】由图可知，从第2个图形开始，依次是平行四边形、梯形、平行四边形、梯形……第偶数个图形是平行四边形，第奇数个图形是梯形；第1个图形有1个三角形需要3根小棒，第2个图形有2个三角形需要（3＋2×1）根小棒，第3个图形有3个三角形需要（3＋2×2）根小棒，第4个图形有4个三角形需要（3＋2×3）根小棒……每增加一个三角形就增加2根小棒，那么第n个图形需要[3＋2×（n－1）]根小棒，据此解答。
【详解】分析可知，第幅图的形状是梯形。
摆第n个图形需要小棒根数为：3＋2×（n－1）
＝3＋2n－2
＝（2n＋1）根
【点睛】分析图形找出三角形个数与小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
（2021六上·福建宁德）
27. 两个小队共植树105棵，其中第二小队植树棵数是第一小队的，两个小队各植树多少棵？（先把线段图补充完整，再解答）
【答案】75棵；30棵
【解析】
【分析】把第一小队植树棵数看作单位“1”，则第二小队植树棵数就是，两个小队植树棵数就是（1＋），根据分数除法的意义，两个小队植树总棵数除以（1＋），就是第一小队植树棵数；再根据分数乘法的意义，用第一小队植树棵数乘（或用两个小队植树总棵数减第一小队植树棵数），就是第二小队植树棵数。把第一小队植树棵数用一条线段表示，把它平均分成5份，第二小队植树棵数相当于这样的2份，两个小队一共植树105棵，求第一小队、第二小队植树棵数。
【详解】把线段图补充完整如下：
105÷（1＋）
＝105÷
＝75（棵）
75×＝30（棵）
答：第一小队植树75棵，第二小队植树30棵。
【点睛】此题是考查分数乘、除法的意义及应用。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率；求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。分数乘、除法画线段图帮助理解题意，是常用的方法，要掌握。
（2022六下·湖北襄阳）
28. 为推进“绿色襄阳”和“美丽襄阳”建设，转变城市生活垃圾治理模式，襄阳市积极倡导“垃圾分类就是新时尚”理念，引导市民参与生活垃圾分类。如下图，春天小区添置了一个“智能垃圾分类回收机”。
秦阿姨往回收机里投递3千克废报纸和一些旧衣服，共得到5.20元。秦阿姨投递了多少旧衣服？（用方程解答）
【答案】千克
【解析】
【分析】设秦阿姨投递了x千克的旧衣服，根据投递的废报纸质量×单价＋投递的旧衣服质量×单价＝得到的钱数，列出方程解答即可。
【详解】解：设秦阿姨投递了x千克的旧衣服。
2.4＋0.5x－2.4＝5.2－2.4
0.5x÷0.5＝2.8÷0.5
答：秦阿姨投递了5.6千克的旧衣服。
【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。
（2021六下·河南鹤壁）
29. 改革开放40多年来，我国铁路运行的列车发生了巨大变化。从普通列车到快速列车，现在已经发展到了高速列车（如“和谐号”、“复兴号”），中国铁路技术装备达到了“领跑世界”的先进水平。下面是一些列车运行速度的信息。
（1）根据信息1和信息2，请你提出一个数学问题，并解答。
提出的问题是：
解答过程：
（2）要求“复兴号”列车的运行速度，需要用到上面的信息（ ）和信息（ ）。（填序号）
“复兴号”列车的运行速度是多少？
（3）从甲地到乙地普通列车的票价是150元，比“和谐号”列车的票价便宜，“和谐号”列车的票价是多少元？（用方程解答）
【答案】（1）“和谐号”列车的速度是多少？300千米/时
（2）信息1和信息3；350千米/时
（3）225元
【解析】
【分析】（1）答案不唯一，如“和谐号”列车的速度是多少？用普通列车运行速度÷对应百分率即可；
（2）先求出快速列式的速度，快速列车速度ד复兴号”对应分率＝“复兴号”列车速度，需要信息1和信息3；
（3）设“和谐号”列车票价是x元，“和谐号”列车票价×普通列车对应分率＝普通列车票价，据此列出方程解答即可。
【详解】（1）“和谐号”列车的速度是多少？
120÷40%＝300（千米/时）
答：“和谐号”列车的速度是300千米/时。
（2）要求“复兴号”列车的运行速度，需要用到上面的信息1和信息3。
120××＝350（千米/时）
答：“复兴号”列车的运行速度是350千米/时。
（3）解：设“和谐号”列车票价是x元。
（1－）x＝150
x×＝150×
x＝225
答：“和谐号”列车票价是225元。
【点睛】关键是确定单位“1”，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
（2021六下·辽宁）
30. 育英小学计划配置18台电脑，逸夫小学计划配置50台电脑。现有甲、乙两个电脑公司，甲公司的报价为每台5800元，优惠条件按是购买10台以上则从第11台开始可按报价的70%计算，乙公司的报价也是每台5800元，但优惠条件是为了支持教育，每台均按报价的85%来计算。
（1）在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，两家学校各应选择哪家公司？请计算说明。
（2）在购买多少台的情况下，两家公司的价格完全一样？
【答案】（1）育英小学选乙公司；逸夫小学选甲公司
（2）20台
【解析】
【分析】（1）先育英小学买电脑：先求出甲公司买18台电脑的价钱，根据甲公司的优惠条件，先求出10台电脑的价钱，即5800×10元，再求出18－10台电脑按70%计算价钱，即5800×（18－10）×70%元，再把它们相加，求出甲公司买电脑需要的钱数；乙公司是每台85%计算，用5800×18×85%，求出乙公司买电脑的钱数，两公司进行比较；
逸夫小学买电脑：先求出甲公司买电脑的钱数：5800元一台电脑，10台电脑价钱，即5800×10，再求出（50－10）台电脑按70%计算的价钱，即（50－10）×5800×70%，再把它们相加，求出甲公司买电脑需要的钱数；再求出乙公司买电脑需要的钱数，用5800×50×85%，再把两公司买电脑的钱数相比较，即可解答。
（2）设购买x台电脑时，甲公司x台电脑的钱数为：5800×10＋（x－10）×5800×70%，乙公司x台电脑的钱数为：5800×x×85%，两家公司的价钱完全一样，列方程：5800×10＋（x－10）×5800×70%＝5800x×85%，解方程，即可解答。
【详解】（1）育英小学：甲公司电脑价钱：5800×10＋5800×（18－10）×70%
＝58000＋5800×8×70%
＝58000＋46400×70%
＝58000＋32480
＝90480（元）
乙公司电脑价钱：5800×18×85%
＝104400×85%
＝88740（元）
90480＞88740；
育英小学选择乙公司的电脑合适；
逸夫小学：甲公司：5800×10＋（50－10）×5800×70%
＝58000＋40×5800×70%
＝58000＋232000×70%
＝58000＋162400
＝220400（元）
乙公司：5800×50×85%
＝290000×85%
＝246500（元）
220400＜246500
逸夫小学选择甲公司合适。
答：育英小学选择乙公司，逸夫小学选择甲公司。
（2）解：设购买x台时，两家公司的价格完全一样
5800×10＋（x－10）×5800×70%＝5800x×85%
58000＋4060x－40600＝4930x
4930x－4060x＝58000－40600
870x＝17400
x＝17400÷870
x＝20
答：在购买20台的情况下，两家公司的价格完全一样。
【点睛】本题考查求一个数的百分之几是多少，以及方程的实际应用，根据题意，找下相关的量，列方程，解方程。
正方形个数
1
2
3
4
5
…
小棒根数
1＋3×1
1＋3×2
1＋3×3
…
小棒图
①
②
③
④
…
形状
三角形
平行四边形
梯形
平行四边形
…
总数量/根
3
5
7
9
…
智能垃圾分类回收标准
纸类回收
纺织物回收
金属回收
塑料回收
玻璃回收
0.80元/千克
0.50元/千克
1.50元/千克
0.20元/千克
公益回收
正方形个数
1
2
3
4
5
…
小棒根数
1＋3×1
1＋3×2
1＋3×3
…
正方形个数
1
2
3
4
5
…
小棒根数
1＋3×1
1＋3×2
1＋3×3
13
16
…
小棒图
①
②
③
④
…
形状
三角形
平行四边形
梯形
平行四边形
…
总数量/根
3
5
7
9
…
智能垃圾分类回收标准
纸类回收
纺织物回收
金属回收
塑料回收
玻璃回收
0.80元/千克
0.50元/千克
1.50元/千克
0.20元/千克
公益回收