2025年小升初复习(全国通用)：知识点12立体图形(原卷版+解析)

这是一份2025年小升初复习(全国通用)：知识点12立体图形(原卷版+解析)，共45页。

立体图形的特征
【例1】
“母亲节”到了，李老师在商场给妈妈买了一个礼物，请售货员用一个精美的长方体礼盒包装。已知礼盒长4分米，宽2.5分米，高3分米，售货员很贴心的用彩带把礼盒扎起来（如下图），打结处彩带长2分米，请你算一算售货员一共用了多长的彩带扎礼盒？
思路引导
根据题意和示意图可知，礼盒是长方体的，长4分米，宽2.5分米，高3分米，根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，则所需彩带的长度＝4条高的长度＋2条长的长度和＋2条宽的长度和＋打结处彩带长。
正确解答：
4×3＋2×4＋2×2.5＋2
＝12＋8＋5＋2
＝20＋5＋2
＝27（分米）
答：售货员一共用了27分米的彩带扎礼盒。
解决此类捆扎长方体盒子需要绳子长度的问题，就是把求绳子的长度转化为求几条长、几条宽、几条高和打结部分的长度。如果捆扎的是圆柱体，就转化为求几条直径、几条高和打结部分一共的长度。
【变式1】
（2021六下·江苏扬州）
1. 奶奶过生日，妈妈买了一个大蛋糕。蛋糕盒是圆柱形的，妈妈准备配上十字形的丝带再打上蝴蝶结，需要买多长的丝带？（蝴蝶结需要25cm）
【例2】
用一块长25.12cm、宽18.84cm的长方形铁皮，配上下面（ ）的圆形铁片正好可以做成圆柱形容器。（单位：cm）
A.r＝2 B.r＝3 C.r＝6 D.r＝8
思路引导
长方形铁皮做圆柱的侧面，围成圆柱时，有两种围法：
第一种围法：用25.12cm做底面的周长，可以求出底面圆形的半径是25.12÷3.14÷2＝4（cm）；
第二种围法：用18.84cm做底面的周长，可以求出底面圆形的半径是18.84÷3.14 ÷2＝3（cm）。
正确解答：B
把一个长方形围成圆柱有种围法，分别是用长或宽做圆柱的底面周长；把一个正方形围成圆柱，只有一种围法。
【变式2】
（2022六下·山西运城）
2. 数学来源于生活，又用于生活，请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮供搭配选择。
你选择的材料是（ ）号和（ ）号
立体图形的展开图
【例3】
用“○”“△”“☆”分别标出下列立体图形的展开图中相对的面。
思路引导
图1属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折叠成正方体后，相对符号的面相对；同理，图2是长方体展开图，也属于“1﹣4﹣1”型，折叠成长方体后也是相同符号的面相对。
正确解答：
用“○”“△”“☆”分别标出下列立体图形的展开图中相对的面如下：
解决展开图相关的问题可以想象将展开图复原成正方体或长方体，根据各个面在展开图中分布的位置找到相对的面。
【变式3】
3. 下列图形中，（ ）不是圆柱体展开图．
A.
B.
C.
观察物体
【例4】
一个立体图形，从左面看到的形状是，从上面看到的形状是，这个立体图形可能是下面的（ ）图。
A. B. C. D.
思路引导
根据从上面看到的图形，可以确定下层是4个正方体，后排3个，前排靠右1个；根据从左面看到的图形，确定总共上下两层，上层的1个正方体在后排上，对照给出的4个图形，这个图形应该是。
从以上分析得出：一个立体图形，从左面看到的形状是，从上面看到的形状是，这个立体图形可能是。
正确解答：D
解决此类问题时，要善于发现拼成的立体图形的特点，主要看从某一角度观察，每行有几个，每层摆了几行，有几层，找出突破口。
【变式4】
（2022六下·广东揭阳）
4. 一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要（ ）个小正方体。
A. 4B. 5C. 6D. 7
立体图形的表面积和体积
【例5】
一个长方体铁皮油箱长80厘米、宽50厘米，高40厘米。
（1）做这个油箱至少要用铁皮多少平方分米？
（2）这个油箱的容积是多少升？（铁皮的厚度忽略不计）
思路引导
此题主要考查的是长方体的表面积和容积的计算。
（1）要求做这个油箱至少要用铁皮多少平方分米，就是求这个长方体铁皮油箱的表面积，可直接利用长方体表面积的公式计算，计算时注意单位换算。
（2）铁皮的厚度忽略不计，所以求这个油箱的容积就相当于求这个油箱的体积。
正确解答：
（1）（80×50＋80×40＋50×40）×2
＝9200×2
＝18400（平方厘米）
＝184（平方分米）
答：做这个油箱至少要用铁皮184 平方分米。
（2）80×50×40＝160000（立方厘米）
160000立方厘米＝160立方分米＝160升
答：这个油箱的容积是160升。
求表面积和求容积（体积）是不同的，要注意区分。
【变式5】
5. 一张长方形纸板长30厘米、宽18厘米，从它的四个角上各剪去一个边长是2厘米的小正方形，然后用剩下的部分折成一个无盖的长方体纸盒（接头处忽略不计），这个纸盒的容积是多少毫升？（纸板的厚度忽略不计）
【例6】
如图所示，在容器中放入1个圆柱形铁块和2个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了部分水，则每个圆锥形零件的体积是（ ）立方厘米。
思路引导
根据题意和示意图知，溢出水的体积是容器内1个圆柱和2个圆锥的体积和。由于容器内圆柱和圆锥等底等高，那么圆柱体积＝3×圆锥体积，那么相当于容器内有5个相同的圆锥。用600毫升除以5，求出每个圆锥的体积。
正确解答：
600÷（3＋2）
＝600÷5
＝120（毫升）
120毫升＝120立方厘米
所以：每个圆锥形零件的体积是120立方厘米。
解决此类题的关键点在于理解圆柱和圆锥的体积关系：等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
【变式6】
6. 一块圆柱形橡皮泥，底面积是24平方厘米，高是5厘米，如果捏成与圆柱等底的圆锥形，高是（ ）厘米；如果捏成与圆柱等高的圆锥形，底面积是（ ）平方厘米。
不规则物体的体积
【例7】
一个圆柱形水槽，底面半径是10厘米，里面盛有15厘米高的水，现将一个底面直径是12厘米的圆锥形铁块，完全浸入水中，水面高度比原来上升了1.5厘米，圆锥形铁块的高是多少厘米？
思路引导
放人铁块后，水面上升了，铁块的体积就等于上升的那部分水的体积，即水槽的底面积乘水上升了的高度。而求铁块的高，可根据公式“圆锥的高 ＝体积×3÷底面积”列式计算。
正确解答：
314×102×1.5＝471（立方厘米）
3.14×（12÷2）2＝113.04（平方厘米）
471÷÷113.04 ＝12.5（厘米）
答：圆锥形铁块的高是12.5厘米。
解答排水法求物体的体积的问题，关键是把浸没在水中的物体体积转化为求上升（或下降）部分的水的体积。而已知圆锥的体积，要求它的底面积（或高），注意用体积乘3（即除以），再除以高（或底面积）。
【变式7】
（2022六下·贵州黔西）
7. 一瓶果汁，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶子的容积为32立方厘米，当瓶子正放时，瓶内果汁液面高度为8厘米，当瓶子倒放时，空余部分为2厘米，请你算一算，瓶内果汁的体积是多少立方厘米？
立体图形的切割与拼组
【例8】
一根长6米的长方体木料，把它从中间截成两段，表面积增加了12平方分米，那么原来长方体木料的体积是多少立方米？
思路引导
求原来长方体木料的体积可以用“横截面面积×长”。可以画出示意图帮助我们分析：
把木料从中间截成两段，表面积增加了两个横截面的面积，用12÷2＝6（平方分米）求出横截面的面积，再根据公式就能求出原来长方体木料的体积了。
正确解答：
12÷2＝6（平方分米）
6平方分米＝0.06平方米
0.06×6＝0.36（立方米）
答：原来长方体木料的体积是0.36立方米。
长方体（或正方体）的体积公式是长方体（或正方体）的体积＝底面积×高，也可以变形为长方体（或正方体）的体积＝横截面的面积×长。解决问题时，我们要灵活选用合适的公式进行计算。
变式8】
（2022六下·北京昌平）
8. 把一根长4米的长方体木料，截成3段，表面积增加了0.24平方米（如图所示）这根木料原来的体积是（ ）立方米。
例9】
如图：这只工具箱的下半部是棱长为20厘米的正方体，上半部是圆柱体的一半。算出它的表面积和体积。
思路引导
根据圆柱和正方体的表面积的计算方法，它的表面积是上面圆柱的表面积的一半加上下面正方体的5个面的面积；再根据圆柱和正方体的体积公式，计算上面圆柱体积的一半加上下面正方体的体积即可。
正确解答：
表面积：
3.14×20×20÷2＋3.14×102＋20×20×5
＝1256÷2＋3.14×100＋400×5
＝628＋314＋2000
＝2942（平方厘米）
体积：
3.14×102×20÷2＋20×20×20
＝3.14×100×20÷2＋8000
＝3140＋8000
＝11140（立方厘米）
答：它的表面积是2942平方厘米，体积是11140立方厘米。
解答求组合图形的表面积和体积，关键是分析图形是由哪几部分组成，然后根据它们的表面积公式和体积公式进行解答。
【变式9】
（2022六上·江苏徐州）
9. 一个棱长4厘米的正方体，在正中从上到下挖出一个长方体孔洞，孔洞的底面为边长2厘米的正方形，这个空心图形的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？
一、填空。
（2022六下·山西运城）
10. 一个长方体的高截去2厘米，表面积减少了24平方厘米，剩下的部分正好是正方体，正方体的表面积是（ ）平方厘米，原来长方体的表面积是（ ）平方厘米。
（2022六下·陕西榆林）
11. 以下图中这个三角形4cm的边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个（ ）（填“圆柱”或“圆锥”），这个图形的体积是（ ）。
（2022六下·宁夏）
12. 工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有（ ）个，2个面涂色的有（ ）个。
二、选择。
（2022六下·陕西榆林）
13. 看一看，画一画。
2022年5月10日在人民大会堂举行了“庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会”，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在会上发表重要讲话强调，青春孕育无限希望，青年创造美好明天。下图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，与“望”字相对面上的字是什么字？在正确答案下面画“√”。
青 春 孕 育 希
（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）
（2022六下·河南郑州）
14. 下图是正方体，各个面展开后如图所示，对应的六个面分别用字母A、B、C、D、E、F表示，则正方体前、后两个面，分别是展开后图中的（ ）。
A. A和DB. B和DC. B和ED. C和D
（2022六下·陕西榆林）
15. 一个立体图形，从左面看到的形状是，从正面看到的形状是，这个立体图形可能是（ ）。
A. B.
C. D.
（2020六下·江苏）
16. 将一个大长方体切分成两个完全一样的小长方体，按下图所示的三种切法，表面积分别增加50平方厘米、40平方厘米、90平方厘米。原来大长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A. 360B. 90C. 180D. 390
（2020六下·浙江绍兴）
17. 如图，把一张长方形的纸分别卷成两个不同的圆柱形纸筒。如果再给它们分别都做上底面，则圆柱A的表面积（ ）圆柱B的表面积。
A. 大于B. 小于C. 等于D. 无法确定
（2022六下·河北沧州）
18. 圆柱的体积公式推导过程，将圆柱切拼成一个近似的长方体后，（ ）。
A. 表面积不变，体积不变B. 表面积变大，体积不变
C. 表面积变大，体积变大D. 表面积变小，体积变小
（2022六下·辽宁沈阳）
19. 如图是甲乙两名同学对同一个圆柱的不同切法。甲切开后表面积增加了（ ），乙切开后表面积增加了（ ）。
A. ；B. ；C. ；D. ；
（2021六下·浙江金华）
20. 下面图形的体积不能用“底面积×高”计算的是（ ）。
A. B. C. D.
（2022六下·辽宁沈阳）
21. 将一个底面直径是2，高是3的圆柱形容器注满水，垂直轻轻插入一根底面积是0.6，高是4的方钢，溢出的水的体积是（ ）。
A. 2.4B. 1.8C. 2400D. 180
三、判断。
（2022六下·湖北襄阳）
22. 把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分的两倍。（ ）
（2022六下·安徽芜湖）
23. 正方体的棱长扩大为原来的5倍，它的表面积就扩大为原来的30倍。（ ）
（2022六上·河北石家庄）
24. 一个正方体的棱长总和是72厘米，它的体积和表面积相等。（ ）
（2022六下·陕西榆林）
25. 一个圆柱形橡皮泥的高是7厘米，把它捏成底面半径相同的圆锥，这个圆锥的高是21厘米。（ ）
四、计算。
（2022六下·贵州黔西）
26. 下图是从圆柱中挖去一个圆锥，请计算挖去这个圆锥所剩下的体积。（单位：厘米）
五、解决问题。
（2022六下·湖北武汉）
27. 为了防止鱼缸破碎，李明自己动手给鱼缸的每条棱上装上防撞条，共计用掉480厘米防撞条，已知鱼缸的长、宽、高的比是3∶2∶1，那么鱼缸的容积是多少升（防撞条与玻璃的厚度忽略不计）？
（2022六下·北京昌平）
28. 学校科技小组制做了一个长方体水漏，这个水漏长2.5分米，宽1.5分米，高2分米。经过试验，这个水漏装满水全部漏完要6小时。这个水漏平均每小时漏多少升水？
（2022六上·江苏扬州）
29. 用一张长60厘米、宽40厘米的长方形铁皮制作一个无盖的长方体容器。（铁皮厚度忽略）
（1）通常如图（1）所示，在四角剪去四个一样的正方形，再通过翻折、焊接，做成一个无盖的长方体容器。如果剪去的正方形的边长是8厘米，那么做成的长方体容器的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米，容积是（ ）立方分米。
（2）图（1）制作容器的方法会浪费掉一些铁皮，为了不浪费，我们还可以如图（2），在长方形铁皮左边两个角剪去边长为10厘米的正方形再将两个正方形移到右边中间，并焊接起来，再通过翻折、焊接，做成一个无盖的长方体容器。做成的长方体容器的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米，容积是（ ）立方分米。
（3）如果给你一张长70厘米、宽60厘米的长方形铁皮用图（2）的方法制作一个长、宽、高都是整厘米数的无盖长方体容器，你会怎样设计？（请画出草图，标出数据，并计算出这个无盖长方体容器的容积）
（2021六下·浙江金华）
30. 小明在解决“已知圆柱的底面直径为6cm，高为8cm，求这个圆柱的体积”这一问题的时候，没有直接用体积公式进行计算，而是根据圆柱体积计算公式的推导过程，想出了一种别出心裁的方法，分步计算圆柱的体积。你能看懂他的方法吗？请你补上小明的最后一步（第三步）算式，计算出圆柱的体积。
第一步：3.14×6÷2＝9.42（cm）
第二步：6÷2＝3（cm）
第三步：________________
请你根据下图说说小明这样做的理由。
（2022六下·湖北武汉）
31. 为测量一个不规则铁块的体积，一个学习小组做了以下实验：
请根据以上信息求出这个铁块体积。
（2020六下·浙江绍兴）
32. 在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把线直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥。那么，请你思考：
（1）下列两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图。
（2）如下图（图2），有这样一个长方形ABCD，BC＝6cm，AB＝10cm，已知对角线AC、BD相交点。如果图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？
第十二节：图形的认识与测量（二） 立体图形
立体图形的特征
【例1】
“母亲节”到了，李老师在商场给妈妈买了一个礼物，请售货员用一个精美的长方体礼盒包装。已知礼盒长4分米，宽2.5分米，高3分米，售货员很贴心的用彩带把礼盒扎起来（如下图），打结处彩带长2分米，请你算一算售货员一共用了多长的彩带扎礼盒？
思路引导
根据题意和示意图可知，礼盒是长方体的，长4分米，宽2.5分米，高3分米，根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，则所需彩带的长度＝4条高的长度＋2条长的长度和＋2条宽的长度和＋打结处彩带长。
正确解答：
4×3＋2×4＋2×2.5＋2
＝12＋8＋5＋2
＝20＋5＋2
＝27（分米）
答：售货员一共用了27分米的彩带扎礼盒。
解决此类捆扎长方体盒子需要绳子长度的问题，就是把求绳子的长度转化为求几条长、几条宽、几条高和打结部分的长度。如果捆扎的是圆柱体，就转化为求几条直径、几条高和打结部分一共的长度。
【变式1】
（2021六下·江苏扬州）
1. 奶奶过生日，妈妈买了一个大蛋糕。蛋糕盒是圆柱形的，妈妈准备配上十字形的丝带再打上蝴蝶结，需要买多长的丝带？（蝴蝶结需要25cm）
【答案】305厘米
【解析】
【分析】通过观察，捆扎这个盒子至少用去丝带4个蛋糕盒底面直径和4个蛋糕盒高，再加上打结用去丝带长25厘米，由此得解。
【详解】45×4＋25×4＋25
＝180＋100＋25
＝305（厘米）
答：需要买305厘米长的丝带。
【点评】此题要求学生要有空间想象力，能够想到底面和背面也有和我们现在看到的一样多的丝带。
【例2】
用一块长25.12cm、宽18.84cm的长方形铁皮，配上下面（ ）的圆形铁片正好可以做成圆柱形容器。（单位：cm）
A.r＝2 B.r＝3 C.r＝6 D.r＝8
思路引导
长方形铁皮做圆柱的侧面，围成圆柱时，有两种围法：
第一种围法：用25.12cm做底面的周长，可以求出底面圆形的半径是25.12÷3.14÷2＝4（cm）；
第二种围法：用18.84cm做底面的周长，可以求出底面圆形的半径是18.84÷3.14 ÷2＝3（cm）。
正确解答：B
把一个长方形围成圆柱有种围法，分别是用长或宽做圆柱底面周长；把一个正方形围成圆柱，只有一种围法。
【变式2】
（2022六下·山西运城）
2. 数学来源于生活，又用于生活，请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮供搭配选择。
你选择的材料是（ ）号和（ ）号
【答案】 ①. ② ②. ③
【解析】
【分析】根据圆柱的特点，圆柱的底面周长等于侧面展开图长方形的长，据此进行选择即可。
【详解】3.14×4＝12.56（dm）
则应选择的材料是②号和③号
【点睛】本题考查圆柱，明确圆柱的特征是解题的关键。
立体图形的展开图
【例3】
用“○”“△”“☆”分别标出下列立体图形的展开图中相对的面。
思路引导
图1属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折叠成正方体后，相对符号的面相对；同理，图2是长方体展开图，也属于“1﹣4﹣1”型，折叠成长方体后也是相同符号的面相对。
正确解答：
用“○”“△”“☆”分别标出下列立体图形的展开图中相对的面如下：
解决展开图相关的问题可以想象将展开图复原成正方体或长方体，根据各个面在展开图中分布的位置找到相对的面。
变式3】
3. 下列图形中，（ ）不是圆柱体的展开图．
A.
B.
C.
【答案】C
【解析】
【分析】
圆柱的侧面展开图是一个长方形和两个圆，长方形的长等于圆柱的底面周长，据此计算判断.
【详解】选项A，圆柱的底面周长是：3.14×1=3.14（m），圆柱的底面周长等于长方形的长，图A是圆柱体的展开图；
选项B，圆柱的底面周长是：3.14×0.5=1.57（cm），圆柱的底面周长等于长方形的长，图B是圆柱体的展开图；
选项C，圆柱的底面周长是：3.14×2×2=12.56（dm），12.56dm≠8dm，所以图C不是圆柱体的展开图.
故答案为：C.
观察物体
【例4】
一个立体图形，从左面看到的形状是，从上面看到的形状是，这个立体图形可能是下面的（ ）图。
A. B. C. D.
思路引导
根据从上面看到的图形，可以确定下层是4个正方体，后排3个，前排靠右1个；根据从左面看到的图形，确定总共上下两层，上层的1个正方体在后排上，对照给出的4个图形，这个图形应该是。
从以上分析得出：一个立体图形，从左面看到的形状是，从上面看到的形状是，这个立体图形可能是。
正确解答：D
解决此类问题时，要善于发现拼成的立体图形的特点，主要看从某一角度观察，每行有几个，每层摆了几行，有几层，找出突破口。
【变式4】
（2022六下·广东揭阳）
4. 一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要（ ）个小正方体。
A 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】从正面看只有1层，有4个小正方体；从左面看，也是1层，有2个小正方体。由此可知，这个立体图形只有1层，有2排，则至少有4个小正方体分成2排排列即可，据此解答。
【详解】通过观察、分析，一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要4个小正方体。
故答案为：A
【点睛】解答此题的关键是学生需要具有一定的空间想象能力，从前视图和左视图分析图形数量。
立体图形的表面积和体积
【例5】
一个长方体铁皮油箱长80厘米、宽50厘米，高40厘米。
（1）做这个油箱至少要用铁皮多少平方分米？
（2）这个油箱的容积是多少升？（铁皮的厚度忽略不计）
思路引导
此题主要考查的是长方体的表面积和容积的计算。
（1）要求做这个油箱至少要用铁皮多少平方分米，就是求这个长方体铁皮油箱的表面积，可直接利用长方体表面积的公式计算，计算时注意单位换算。
（2）铁皮的厚度忽略不计，所以求这个油箱的容积就相当于求这个油箱的体积。
正确解答：
（1）（80×50＋80×40＋50×40）×2
＝9200×2
＝18400（平方厘米）
＝184（平方分米）
答：做这个油箱至少要用铁皮184 平方分米。
（2）80×50×40＝160000（立方厘米）
160000立方厘米＝160立方分米＝160升
答：这个油箱的容积是160升。
求表面积和求容积（体积）是不同的，要注意区分。
【变式5】
5. 一张长方形纸板长30厘米、宽18厘米，从它的四个角上各剪去一个边长是2厘米的小正方形，然后用剩下的部分折成一个无盖的长方体纸盒（接头处忽略不计），这个纸盒的容积是多少毫升？（纸板的厚度忽略不计）
【答案】728毫升
【解析】
【分析】从长方形纸板的四个角上各剪去一个边长是2厘米的小正方形，折成的长方体纸盒的长是（30－2－2）厘米，宽是（18－2－2）厘米，高是2厘米，利用长方体体积公式直接求体积，再换算成容积即可。
【详解】（30－2－2）×（18－2－2）×2
＝26×14×2
＝728（立方厘米）
＝728（毫升）
答：这个纸盒的容积是728毫升。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积（容积）公式，确定长方体的长和宽是解答本题的关键。
【例6】
如图所示，在容器中放入1个圆柱形铁块和2个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了部分水，则每个圆锥形零件的体积是（ ）立方厘米。
思路引导
根据题意和示意图知，溢出水的体积是容器内1个圆柱和2个圆锥的体积和。由于容器内圆柱和圆锥等底等高，那么圆柱体积＝3×圆锥体积，那么相当于容器内有5个相同的圆锥。用600毫升除以5，求出每个圆锥的体积。
正确解答：
600÷（3＋2）
＝600÷5
＝120（毫升）
120毫升＝120立方厘米
所以：每个圆锥形零件的体积是120立方厘米。
解决此类题的关键点在于理解圆柱和圆锥的体积关系：等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
【变式6】
6. 一块圆柱形橡皮泥，底面积是24平方厘米，高是5厘米，如果捏成与圆柱等底的圆锥形，高是（ ）厘米；如果捏成与圆柱等高的圆锥形，底面积是（ ）平方厘米。
【答案】 ①. 15 ②. 72
【解析】
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，据此求出橡皮泥的体积，橡皮泥的体积不变，根据圆锥的体积公式：V＝Sh，据此解答即可；
【详解】24×5×3÷24
＝120×3÷24
＝360÷24
＝15（厘米）
24×5×3÷5
＝120×3÷5
＝360÷5
＝72（平方厘米）
如果捏成与圆柱等底的圆锥形，高是15厘米；如果捏成与圆柱等高的圆锥形，底面积是72平方厘米。
【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
不规则物体的体积
【例7】
一个圆柱形水槽，底面半径是10厘米，里面盛有15厘米高的水，现将一个底面直径是12厘米的圆锥形铁块，完全浸入水中，水面高度比原来上升了1.5厘米，圆锥形铁块的高是多少厘米？
思路引导
放人铁块后，水面上升了，铁块的体积就等于上升的那部分水的体积，即水槽的底面积乘水上升了的高度。而求铁块的高，可根据公式“圆锥的高 ＝体积×3÷底面积”列式计算。
正确解答：
3.14×102×1.5＝471（立方厘米）
3.14×（12÷2）2＝113.04（平方厘米）
471÷÷113.04 ＝12.5（厘米）
答：圆锥形铁块的高是12.5厘米。
解答排水法求物体的体积的问题，关键是把浸没在水中的物体体积转化为求上升（或下降）部分的水的体积。而已知圆锥的体积，要求它的底面积（或高），注意用体积乘3（即除以），再除以高（或底面积）。
【变式7】
（2022六下·贵州黔西）
7. 一瓶果汁，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶子的容积为32立方厘米，当瓶子正放时，瓶内果汁液面高度为8厘米，当瓶子倒放时，空余部分为2厘米，请你算一算，瓶内果汁的体积是多少立方厘米？
【答案】25.6立方厘米
【解析】
【分析】分析题意，可知果汁的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，假设瓶身全部呈圆柱形，圆柱的高为（8＋2）厘米，进而根据瓶子的容积，求得瓶子的底面积；接下来用底面积乘瓶内的果汁的高度即可得果汁的体积。
【详解】32÷（8＋2）
＝32÷10
＝3.2（平方厘米）
3.2×8＝25.6（立方厘米）
答：瓶内果汁的体积是25.6立方厘米。
【点睛】解答此题的关键是根据瓶子的容积和高度求出瓶子的底面积。
立体图形的切割与拼组
【例8】
一根长6米的长方体木料，把它从中间截成两段，表面积增加了12平方分米，那么原来长方体木料的体积是多少立方米？
思路引导
求原来长方体木料的体积可以用“横截面面积×长”。可以画出示意图帮助我们分析：
把木料从中间截成两段，表面积增加了两个横截面面积，用12÷2＝6（平方分米）求出横截面的面积，再根据公式就能求出原来长方体木料的体积了。
正确解答：
12÷2＝6（平方分米）
6平方分米＝0.06平方米
0.06×6＝0.36（立方米）
答：原来长方体木料的体积是0.36立方米。
长方体（或正方体）的体积公式是长方体（或正方体）的体积＝底面积×高，也可以变形为长方体（或正方体）的体积＝横截面的面积×长。解决问题时，我们要灵活选用合适的公式进行计算。
【变式8】
（2022六下·北京昌平）
8. 把一根长4米的长方体木料，截成3段，表面积增加了0.24平方米（如图所示）这根木料原来的体积是（ ）立方米。
【答案】0.24
【解析】
【分析】根据题意可知，把这根木料平均锯成3段，表面积增加0.24平方米，表面积增加的是4个截面的面积，由此可以求出木料的底面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答即可。
【详解】底面积：
0.24÷4＝0.06（平方米）
体积：
0.06×4＝0.24（立方米）
【点睛】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，抓住长方体的切割特点和增加的表面积，先求出长方体的底面积是解决此类问题的关键。
【例9】
如图：这只工具箱的下半部是棱长为20厘米的正方体，上半部是圆柱体的一半。算出它的表面积和体积。
思路引导
根据圆柱和正方体的表面积的计算方法，它的表面积是上面圆柱的表面积的一半加上下面正方体的5个面的面积；再根据圆柱和正方体的体积公式，计算上面圆柱体积的一半加上下面正方体的体积即可。
正确解答：
表面积：
3.14×20×20÷2＋3.14×102＋20×20×5
＝1256÷2＋3.14×100＋400×5
＝628＋314＋2000
＝2942（平方厘米）
体积：
3.14×102×20÷2＋20×20×20
＝3.14×100×20÷2＋8000
＝3140＋8000
＝11140（立方厘米）
答：它的表面积是2942平方厘米，体积是11140立方厘米。
解答求组合图形的表面积和体积，关键是分析图形是由哪几部分组成，然后根据它们的表面积公式和体积公式进行解答。
【变式9】
（2022六上·江苏徐州）
9. 一个棱长4厘米的正方体，在正中从上到下挖出一个长方体孔洞，孔洞的底面为边长2厘米的正方形，这个空心图形的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？
【答案】120平方厘米；48立方厘米
【解析】
【分析】这个空心图形的表面积＝棱长4厘米的正方体的表面积－边长2厘米的正方形面积×2＋长4厘米宽2厘米的长方形面积×4；
体积＝棱长4厘米的正方体体积－长2厘米宽2厘米高4厘米的长方体体积；依此列式计算即可求解。
【详解】4×4×6－2×2×2＋4×2×4
＝96－8＋32
＝120（平方厘米）
4×4×4－2×2×4
＝64－16
＝48（立方厘米）
答：这个空心图形的表面积是120平方厘米，体积是48立方厘米。
【点睛】解答此题的关键是弄清楚：现在的表面积由哪些面组成，问题即可得解。
一、填空。
（2022六下·山西运城）
10. 一个长方体的高截去2厘米，表面积减少了24平方厘米，剩下的部分正好是正方体，正方体的表面积是（ ）平方厘米，原来长方体的表面积是（ ）平方厘米。
【答案】 ①. 54 ②. 78
【解析】
【分析】根据题意，高减少2厘米，表面积比原来减少24平方厘米，表面积减少的只是4个侧面的面积，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出减少的一个面的面积，用面积除以宽（2厘米），即可求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入解答即可。
【详解】24÷4÷2
＝6÷2
＝3（厘米）
3＋2＝5（厘米）
3×3×6
＝9×6
＝54（平方厘米）
（3×3＋3×5＋3×5）×2
＝（9＋15＋15）×2
＝39×2
＝78（平方厘米）
则正方体的表面积是54平方厘米，原来长方体的表面积是78平方厘米。
【点睛】本题考查正方体和长方体的表面积，熟记公式是解题的关键。
（2022六下·陕西榆林）
11. 以下图中这个三角形4cm的边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个（ ）（填“圆柱”或“圆锥”），这个图形的体积是（ ）。
【答案】 ①. 圆锥 ②. 37.68
【解析】
【分析】根据题意可知，以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个底面半径是3cm，高是4cm的圆锥；根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，进行解答。
【详解】3.14×32×4×
＝3.14×9×4×
＝28.26×4×
＝113.04×
＝37.68（cm3）
以下图中这个三角形4cm的边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，这个图形的体积是37.68cm3。
【点睛】本题考查圆锥的特征以及圆锥体积公式的应用。
（2022六下·宁夏）
12. 工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有（ ）个，2个面涂色的有（ ）个。
【答案】 ①. 4 ②. 20
【解析】
【分析】观察这个大正方体，如图，只有四个顶点上小正方体3个面会被涂色，所以3个面涂色的小正方体木块有4个；如图，蓝色箭头所指的小正方体2个面会被涂色，共有（2×4）个，红色箭头所指的小正方体2个面也会被涂色，共有（3×4）个，加起来即可计算得出2个面涂色的小正方体共有20个。
【详解】根据分析得，1×4＝4（个）
2×4＋3×4
＝8＋12
＝20（个）
所以3个面涂色的小正方体木块有4个，2个面涂色的有20个。
【点睛】此题的解题关键是抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点。
二、选择。
（2022六下·陕西榆林）
13. 看一看，画一画。
2022年5月10日在人民大会堂举行了“庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会”，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在会上发表重要讲话强调，青春孕育无限希望，青年创造美好明天。下图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，与“望”字相对面上的字是什么字？在正确答案下面画“√”。
青 春 孕 育 希
（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）
【答案】见详解
【解析】
【分析】此图属于正方体展开图的“1−4−1”结构，折成正方体后，“望”与“青”相对，“春”与“育”相对，“孕”与“希”相对。
【详解】与“望”字相对面上的字是“青”字。
青 春 孕 育 希
（ √ ）（ ）（ ）（ ）（ ）
【点睛】本题考查了正方体的展开图，正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。
（2022六下·河南郑州）
14. 下图是正方体，各个面展开后如图所示，对应的六个面分别用字母A、B、C、D、E、F表示，则正方体前、后两个面，分别是展开后图中的（ ）。
A. A和DB. B和DC. B和ED. C和D
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方体的特征可知，相对的面中间有1个正方形，所以A的相对面是F，B的相对面是D，C的相对面是E，据此选择即可。
【详解】由分析可知：
正方体前、后两个面，分别是展开后图中的B和D。
故答案为：B
【点睛】本题考查正方体的特征，明确其特征是解题的关键。
（2022六下·陕西榆林）
15. 一个立体图形，从左面看到的形状是，从正面看到的形状是，这个立体图形可能是（ ）。
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从左面观察，立体图形分为上下两层，前后两排，上面的正方体在后排，结合正面观察，立体图形的上面有1个小正方体在中间位置。
【详解】通过分析可知，上层中间位置有一个小正方体的立体图形可能是第四个。
故答案为：D
【点睛】此题主要考查学生根据三视图判断立体图形的能力，要把左视图和前视图结合考虑。
（2020六下·江苏）
16. 将一个大长方体切分成两个完全一样的小长方体，按下图所示的三种切法，表面积分别增加50平方厘米、40平方厘米、90平方厘米。原来大长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A. 360B. 90C. 180D. 390
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知，若三种不同的方法切成两个完全一样的长方体，方法分别是平切、横切、和纵切，每一种切法就增加两个面，把三种切法增加的面相加，就是原来长方体的表面积，据此解答。
【详解】50＋40＋90
＝90＋90
＝180（平方厘米）
故答案选：C
【点睛】本题的重点是明确三中切法增加的面积的和就是长方体的表面积。
（2020六下·浙江绍兴）
17. 如图，把一张长方形的纸分别卷成两个不同的圆柱形纸筒。如果再给它们分别都做上底面，则圆柱A的表面积（ ）圆柱B的表面积。
A. 大于B. 小于C. 等于D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】观察可知，圆柱A和圆柱B的侧面积一样，都是这张长方形纸，圆柱A的底面积＜圆柱B的底面积，所以圆柱A的表面积比圆柱B的表面积小。
【详解】圆柱表面积＝侧面积＋底面积×2，根据分析，圆柱A的表面积＜圆柱B的表面积。
故答案为：B
【点睛】关键是看懂图示，掌握圆柱表面积求法。
（2022六下·河北沧州）
18. 圆柱的体积公式推导过程，将圆柱切拼成一个近似的长方体后，（ ）。
A. 表面积不变，体积不变B. 表面积变大，体积不变
C. 表面积变大，体积变大D. 表面积变小，体积变小
【答案】B
【解析】
【分析】如下图：
一个圆柱切拼成一个近似的长方体后，圆柱的两个底面变成了长方体的上、下两个面，圆柱的侧面变成了长方体的前、后两个面，而长方体的左、右两个侧面是增加的面，则一个圆柱切拼成一个近似的长方体后，表面积变大；形状改变，但体积不变。
【详解】根据分析可知，圆柱的体积公式推导过程，将圆柱切拼成一个近似的长方体后，表面积变大，体积不变。
故答案为：B
【点睛】本题考查立体图形的切拼。理解立体图形表面积和体积的意义是解题的关键。
（2022六下·辽宁沈阳）
19. 如图是甲乙两名同学对同一个圆柱的不同切法。甲切开后表面积增加了（ ），乙切开后表面积增加了（ ）。
A. ；B. ；C. ；D. ；
【答案】B
【解析】
【分析】甲切割方法，把圆柱切割成两部分后，表面积增加了2个圆柱的底面积；乙切割方法，把圆柱切割成两部分后，表面积增加了2个以圆柱的高为长，直径为宽的长方形的面积；由此即可解决问题。
【详解】甲切割方法增加的表面积：
乙切割方法增加的表面积：
故答案为：B
【点睛】本题考查了圆柱的计算，抓住圆柱的切割特点，得出切割后增加部分的面的面积是解决本题的关键。
（2021六下·浙江金华）
20. 下面图形的体积不能用“底面积×高”计算的是（ ）。
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】有些立体图形的体积可以看作是由n个相同的底面层层累积而成，n个就是高， 所以可以用“底面积×高”计算这些图形的体积。
【详解】A．圆柱的体积可以看作n个相同的圆（底面积）累积而成，则它的体积可以用“底面积×高”计算；
B．圆台的底面越往上越小，累积的底面积不同，则它的体积不能用“底面积×高”计算；
C．这个图形可以看作是由n个相同的梯形累积而成，则它的体积可以用“底面积×高”计算；
D．这个图形可以看作是由n个相同的环形累积而成，则它的体积可以用“底面积×高”计算。
故答案为：B
【点睛】本题考查体积的意义。掌握“某些立体图形的体积可以看作是由n个相同的底面层层累积而成”是解题的关键。
（2022六下·辽宁沈阳）
21. 将一个底面直径是2，高是3的圆柱形容器注满水，垂直轻轻插入一根底面积是0.6，高是4的方钢，溢出的水的体积是（ ）。
A. 2.4B. 1.8C. 2400D. 180
【答案】B
【解析】
【分析】溢出水的体积，就是底面积是0.6，浸入水中的高度为3的方钢的体积，由此利用长方体的体积公式求得这段方钢的体积即可解决问题。
【详解】溢出水的体积为：0.6×3＝1.8（）
1.83＝1.8
故答案为：B
【点睛】根据题干得出溢出水的体积等于浸入水中的方钢的体积是解决本题的关键。
三、判断。
（2022六下·湖北襄阳）
22. 把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分的两倍。（ ）
【答案】×
【解析】
【分析】把圆柱削成最大的圆锥，圆锥与圆柱等底等高，体积是圆柱体积的，削去部分是圆柱体积的1－＝。÷＝，则圆锥的体积是削去部分的。
【详解】1－＝
÷＝
把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分的，不是2倍。
故答案为：×
【点睛】熟练掌握圆柱与圆锥体积的关系是解题的关键。
（2022六下·安徽芜湖）
23. 正方体的棱长扩大为原来的5倍，它的表面积就扩大为原来的30倍。（ ）
【答案】×
【解析】
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，再结合积的变化规律，一个因数乘n，另一个因数乘m，则积乘nm。据此进行判断即可。
【详解】正方体的棱长扩大到原来的5倍，则它的表面积就扩大为原来的5×5＝25倍。所以原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查正方体的表面积，结合积的变化规律是解题的关键。
（2022六上·河北石家庄）
24. 一个正方体的棱长总和是72厘米，它的体积和表面积相等。（ ）
【答案】×
【解析】
【分析】体积表示物体所占空间大小，表面积表示物体表面的总面积，两个概念不同，无法比较。
【详解】一个正方体的棱长总和是72厘米，它的体积和表面积无法比较，因为概念不同。
故答案为：×
【点睛】本题考查了体积和表面积的概念和区别。
（2022六下·陕西榆林）
25. 一个圆柱形橡皮泥的高是7厘米，把它捏成底面半径相同的圆锥，这个圆锥的高是21厘米。（ ）
【答案】√
【解析】
【分析】根据圆柱体积公式：V＝Sh，圆锥体积公式：V＝Sh，若把圆锥体积看作单位“1”，则同底等高的圆柱体积是该圆锥体积的3倍，所以当圆柱和圆锥的体积相等、底面积也相等时，圆锥的高就是圆柱高的3倍，据此解答即可。
【详解】由分析可得：
同底等高时，圆柱高是7厘米，
则圆锥高为：7×3＝21（厘米）
综上所述：一个圆柱形橡皮泥的高是7厘米，把它捏成底面半径相同的圆锥，这个圆锥的高是21厘米。
故答案为：√
【点睛】本题考查了同底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，熟记圆柱和圆锥的体积公式是解题的关键。
四、计算。
（2022六下·贵州黔西）
26. 下图是从圆柱中挖去一个圆锥，请计算挖去这个圆锥所剩下的体积。（单位：厘米）
【答案】1884立方厘米
【解析】
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝以及圆锥的体积公式：V＝，圆柱和圆锥的底面半径都是（12÷2）厘米，圆柱的高为20厘米，圆锥的高为10厘米，代入数据，分别求出圆柱和圆锥的体积，再用圆柱的体积减去圆锥的体积即可求出剩下的体积。
【详解】3.14×（12÷2）2×20－×3.14×（12÷2）2×10
＝3.14×62×20－×3.14×62×10
＝3.14×36×20－×36×3.14×10
＝2260.8－376.8
＝1884（立方厘米）
五、解决问题。
（2022六下·湖北武汉）
27. 为了防止鱼缸破碎，李明自己动手给鱼缸的每条棱上装上防撞条，共计用掉480厘米防撞条，已知鱼缸的长、宽、高的比是3∶2∶1，那么鱼缸的容积是多少升（防撞条与玻璃的厚度忽略不计）？
【答案】48升
【解析】
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4；然后根据长、宽、高的比是3∶2∶1，用长、宽、高之和除以总份数（3＋2＋1）份，求出一份数；再用一份数分别乘3份、2份、1份，求出长、宽、高；最后根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算即可。注意单位的换算：1升＝1000立方厘米。
【详解】480÷4＝120（厘米）
120÷（3＋2＋1）
＝120÷6
＝20（厘米）
20×3＝60（厘米）
20×2＝40（厘米）
20×1＝20（厘米）
60×40×20
＝2400×20
＝48000（立方厘米）
48000立方厘米＝48升
答：鱼缸的容积是48升。
【点睛】本题考查长方体的棱长总和、长方体的体积（容积）公式的灵活运用，运用按比例分配求出长方体的长、宽、高是解题的关键。
（2022六下·北京昌平）
28. 学校科技小组制做了一个长方体水漏，这个水漏长2.5分米，宽1.5分米，高2分米。经过试验，这个水漏装满水全部漏完要6小时。这个水漏平均每小时漏多少升水？
【答案】1.25升
【解析】
【分析】根据长方体的容积＝长×宽×高，计算出这个水漏里水的体积是多少，再用这个水漏里水的体积除以时间，由此计算出这个水漏平均每小时漏多少升水。
【详解】2.5×1.5×2
＝3.75×2
＝7.5（立方分米）
7.5立方分米＝7.5升
7.5÷6＝1.25（升）
答：这个水漏平均每小时漏1.25升水。
【点睛】本题解题关键是熟练掌握长方体容积的计算方法和体积容积单位换算的方法。
（2022六上·江苏扬州）
29. 用一张长60厘米、宽40厘米的长方形铁皮制作一个无盖的长方体容器。（铁皮厚度忽略）
（1）通常如图（1）所示，在四角剪去四个一样的正方形，再通过翻折、焊接，做成一个无盖的长方体容器。如果剪去的正方形的边长是8厘米，那么做成的长方体容器的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米，容积是（ ）立方分米。
（2）图（1）制作容器的方法会浪费掉一些铁皮，为了不浪费，我们还可以如图（2），在长方形铁皮左边两个角剪去边长为10厘米的正方形再将两个正方形移到右边中间，并焊接起来，再通过翻折、焊接，做成一个无盖的长方体容器。做成的长方体容器的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米，容积是（ ）立方分米。
（3）如果给你一张长70厘米、宽60厘米的长方形铁皮用图（2）的方法制作一个长、宽、高都是整厘米数的无盖长方体容器，你会怎样设计？（请画出草图，标出数据，并计算出这个无盖长方体容器的容积）
【答案】（1）44；24；8；8.448
（2）50；20；10；10
（3）画图见详解；24.75立方分米
【解析】
【分析】（1）容器的长是（60－8×2）厘米，宽是（40－8×2）厘米，高是8厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
（2）由图形可知，在长方形的铁皮左边两个角剪去边长为10厘米的正方形移到右边中间焊接起来，再通过折、焊接，制成无盖的长方体容器，容器的长是60－10＝50厘米，宽是（40 －10×2）厘米，高是10厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
（3）如下图：
在长方形的铁皮左边两个角剪去边长为15厘米的正方形移到右边中间焊接起来，再通过折、焊接，制成无盖的长方体容器，容器的长是70－15＝55厘米，宽是（60－15×2）厘米，高是15厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】由分析得：
（1）长：60－8×2
＝60－16
＝44（厘米）
宽：40－8×2
＝40－16
＝24（厘米）
高：8厘米
容积：44×24×8
＝1056×8
＝8448（立方厘米）
8448立方厘米＝8.448立方分米
那么做成的长方体容器的长是44厘米，宽是24厘米，高是8厘米，容积是8.448立方分米。
（2）长：60－10＝50（厘米）
宽：40－10×2
＝40－20
＝20（厘米）
高：10厘米
容积：50×20×10
＝1000×10
＝10000（立方厘米）
10000立方厘米＝10立方分米
做成的长方体容器的长是50厘米，宽是20厘米，高是10厘米，容积是10立方分米。
（3）如图：
长：70－15＝55（厘米）
宽：60－15×2
＝60－30
＝30（厘米）
高：15厘米
容积：55×30×15
＝1650×15
＝24750（立方厘米）
24750立方厘米＝24.75立方分米
答：这个无盖长方体容器的容积是24.75立方分米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体的容积公式的灵活运用。
（2021六下·浙江金华）
30. 小明在解决“已知圆柱的底面直径为6cm，高为8cm，求这个圆柱的体积”这一问题的时候，没有直接用体积公式进行计算，而是根据圆柱体积计算公式的推导过程，想出了一种别出心裁的方法，分步计算圆柱的体积。你能看懂他的方法吗？请你补上小明的最后一步（第三步）算式，计算出圆柱的体积。
第一步：3.14×6÷2＝9.42（cm）
第二步：6÷2＝3（cm）
第三步：________________
请你根据下图说说小明这样做的理由。
【答案】9.42×3×8＝226.08（cm3）；理由见详解
【解析】
【分析】把一个圆柱体沿半径切开后拼成一个近似的长方体，长方体的长是底面周长的一半，宽是底面的半径，高是圆柱的高，根据长方体体积公式：V＝abh，即可求出圆柱的体积。小明的第一步、第二步分别求的是长和宽，第三步用长乘宽乘高即可解答。
【详解】第三步：
9.42×3×8
＝28.26×8
＝226.08（cm3）
小明把圆柱拼成一个长方体，分别把长方体的长用圆柱底面周长的一半，宽用圆柱的半径，高是圆柱的高来表示，最后根据长方体的体积公式计算出圆柱的体积。
【点睛】此题重点考查圆柱体积计算公式的推导过程，熟练掌握圆柱的体积推导过程是解题的关键。
（2022六下·湖北武汉）
31. 为测量一个不规则铁块的体积，一个学习小组做了以下实验：
请根据以上信息求出这个铁块的体积。
【答案】157立方厘米
【解析】
【分析】先利用圆的面积公式：S=代入求出圆柱的底面积是78.5平方厘米，铁块放入后，水面上升了（8－6）厘米，铁块的体积等于水面上升的体积，水面上升的体积可以看作底面积是78.5平方厘米，高为（8－6）厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，代入即可求出这个铁块的体积。
【详解】3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
78.5×（8－6）
＝78.5×2
＝157（立方厘米）
答：这个铁块的体积是157立方厘米。
【点睛】此题的解题关键是掌握求不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用圆柱的体积公式求解。
（2020六下·浙江绍兴）
32. 在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把线直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥。那么，请你思考：
（1）下列两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图。
（2）如下图（图2），有这样一个长方形ABCD，BC＝6cm，AB＝10cm，已知对角线AC、BD相交点。如果图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？
【答案】（1）见详解
（2）565.2立方厘米
【解析】
【分析】（1）左边梯形可以看成三角形和长方形，下边长方形旋转一周是圆柱，上边三角形绕直角边旋转一周是圆锥，即圆柱上边摞一个圆锥；右边提醒是绕上底旋转，相当于圆柱上边挖去一个倒着的圆锥，据此作图。
（2）这个立体图形可以看成两个圆锥削掉上半部分然后叠加，但还要减去两个小圆锥，才是阴影部分扫出的立体图形的真实体积。
【详解】（1）；
（2）设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是V，则
V＝×6²×10×π－2××3²×5×π
＝120π－30π
＝90π（立方厘米）
2V＝180π＝565.2（立方厘米）
答：阴影部分扫过的立体的体积是565.2立方厘米。
【点睛】关键是熟悉圆柱和圆锥的特点，圆锥体积＝底面积×高×。
①用天平称出这个铁块的重量是0.4千克；
②从内部量出圆柱形容器的底面半径是5厘米；
③从内部量出圆柱形容器的高是10厘米；
④在容器里注入一定量的水，量出水面高度为6厘米：
⑤将铁块完全浸没水中（水没溢出），量出水面高度为8厘米。
①用天平称出这个铁块的重量是0.4千克；
②从内部量出圆柱形容器的底面半径是5厘米；
③从内部量出圆柱形容器的高是10厘米；
④在容器里注入一定量的水，量出水面高度为6厘米：
⑤将铁块完全浸没水中（水没溢出），量出水面高度为8厘米。