陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高二上学期第3次月考（12月）数学试题

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1．已知数列an满足，若，则（ ）
A．2B．−2C．D．
【答案】C
【详解】因为,,所以,,,
所以数列的周期为3,所以．
故选：C．
2．已知空间向量， 则下列结论正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量是 B．
C． D．
【答案】A
【详解】A.在上的投影，
与同向的单位向量为，
所以向量在向量上的投影向量是，
故A正确；
B.，故B错误；
C.因为，所以与不垂直，故C错误；
D.，故D错误.
故选：A.
3．已知直线与，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用两直线垂直的充要条件得到，从而得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.
【详解】当直线与垂直时，，即，
解得或，
所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
4 .在等差数列中，，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为d，因为，所以公差．
故选：C
已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A．1或B．1C．3D．或3
【答案】C
【解析】因为是圆的方程，
所以，解得或，
又因为圆的圆心为，
且圆关于直线对称，所以，
即，解得（舍）或，
故选：C.
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，
的面积为（ ）
B．C．3D．5
【答案】C
【详解】由椭圆的定义可知，且，
因为，所以，
又，故，
所以．
7．如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（ ）
B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意可得，所以，
所以该笔筒中间最窄处的直径为.
故选：B.
8．关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线与直线的斜率，列式求解即可.
【详解】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设，
则切线，即，切线的斜率，
直线的斜率，则，所以.
故选：C
二、选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．)
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出的值判断A，B；根据向量垂直的坐标表示计算得出的关系判断C，D.
【详解】若，则，得，故A正确，B错误；
若，则，即，故C正确，D错误；
故选：AC.
10．设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（ ）
A．B．以线段为直径的圆必与准线相切
C．线段的长为定值D．线段的中点到轴的距离为定值
【答案】AD
【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得，
所以抛物线的焦点为 且，所以A正确；
对于B中，如图，当线段过焦点时，过作，
取的中点作，可得，
此时以线段为直径的圆与准线相切，
因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误.
对于C中，设，
由抛物线得的定义得，所以，
当直线过原点时，设，则，此时，可得，
当直线为时，可得，不妨设，可得，
所以AB的长不是定值，所以C错误；
对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确.
故选：AD.
11．如图，已知在棱长为2的正方体中，点E，F，H分别是，，的中点，点G是上的动点，下列结论正确的是（ ）

A．平面ABHB．平面
C．直线EF与所成的角为30°D．三棱锥的体积最大值为
【答案】BCD
【详解】

因为为正方体，所以，则，，，四点共面，
即在平面ABH上，故A错；
连接BD，AC，，，，
在正方体中，，面ABCD，平面，
∴，
∵，AC，⊂面，∴BD⊥面，
又⊂面，∴，
又∵，面，平面，
∴．
∵，，⊂面，∴⊥面，
∵平面，
∴，
又，，，BD⊂面，
∴面，故B正确；
取AD中点I，连接FI，EF，EI，，
在中，∵F，I分别为，DA的中点，
∴，
又，∴，∴EF与所成角为∠IFE，
在中，，，，
∴，
∴EF与所成的角为30°，故C正确；
当G位于点时，三棱锥的体积最大，
故，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知等差数列的前n项和为，已知，则公差 ．
【答案】3
【详解】解：依题意，得，而，得，
故答案为：3
13.双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为 ．
13.【详解】由题意可作图如下：

则①，②，
在等边中，，可得，
则，由，则，
在中，，由余弦定理可得
，即，
由，则，解得.
14. 已知圆和两点、，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是 ．
【解析】
【分析】根据题意可知，圆与圆的位置关系为相交、内切或内含，利用圆心距和两圆半径之间的关系即可求得.
【详解】圆的圆心，半径为，
因为圆上至少存在一点，使得，则，
所以圆与圆的位置关系为相交、内切或内含，
所以可得，又因为，
所以，即.
即实数的取值范围是.
15.
16．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）取的中点，连接，，结合等边三角形和菱形可证明，，从而可证明平面，进而可证.
（2）由的面积为可求出的边长为4，由平面平面可知，平面，则分别求出的面积以及 的长，利用可求出点到平面的距离.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，.
因为是等边三角形，是的中点，所以.
因为四边形是菱形，，所以是等边三角形，所以.
因为，且平面，平面，所以平面.
又因平面，所以.
（2）解：设，则，解得.
因为平面平面，，所以平面.
记点到平面的距离为，则.
易知，.在中，由，得
.边上的高为.
所以.而，
所以.解得.即点到平面的距离为.
【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了棱锥体积的求解.证明线线垂直，可利用矩形的临边垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理证明，也可先证明线面垂直，进而可证线线垂直.在求点到平面的距离时，常用的思路有两个：一是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解；二是结合几何体的体积进行求.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据抛物线焦半径公式计算得出，再得出抛物线方程进而得出焦点即可；
（2）先设直线方程，再联立方程组，再分和两种情况应用直线与只有一个交点求参即可得出直线方程.
【详解】（1）因为抛物线，，
所以，所以，可得
所以焦点的坐标.
（2）因为点在抛物线上，所以，
又位于第一象限，所以，所以，
过点的直线与只有一个交点，直线斜率不存在不合题意；
设直线与有且只有一个交点，
由，得，
当时，，即，即，
当时，，只有一个根符合题意；
所以的方程为或，即或.
18．(1)，，
(2)是等差数列，理由见解析
(3)，．
【分析】（1）由结合递推式求出，再利用可求出，，；
（2）由可得，再由结合等差数列的定义可得结论；
（3）由（2）结合可求得，从而可求出.
【详解】（1）由，，
知当时，，
即，解得或（舍）．
当时，，
即，解得或（舍），
，，．
（2）数列为等差数列，理由如下：
由可知．
，，又，故（且）．
当时，．
又，是以0为首项，1为公差的等差数列．
（3）由（2）可知，，
．
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可得，据此可求得椭圆方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合，可得m与k的关系即可得直线恒过的定点.
【详解】（1）由题知，，，，
由的面积为，得，
又，代入可得，，∴椭圆的方程为.
（2）联立得，
设，，可得，，
由题知，
即，
即，解得，
∴直线的方程为，故直线恒过定点.
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C
A
A
C
C
C
B
C
AC
AD
BCD